> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 2 задание ЕГЭ по математике \- векторы, разбор и тренажёры На этой странице представлен полный разбор теории и задачи из открытого банка ФИПИ и составителей ЕГЭ по векторам для успешного выполнения **2 задания ЕГЭ по математике профильного уровня**\. Методисты платформы Экзамео подготовили этот материал, охватывающий все типы задач из банка ФИПИ: от поиска координат и длины вектора на клетчатой бумаге до скалярного произведения, разложения по базису и нахождения косинуса угла между векторами\. Задание №2 — это гарантированный 1 первичный балл в первой части профильного ЕГЭ по математике\. Векторный аппарат из этого задания также закладывает фундамент для координатного метода решения трехмерной стереометрии \(Задание №14\) и задач с параметром\. ## 2 задание ЕГЭ по математике \- разбор теории по векторам > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory). Любая задача Задания 2 ЕГЭ основывается на умении находить координаты и длину \(модуль\) вектора\. Во втором задании ЕГЭ векторы обычно задаются координатами точек или изображаются на клетчатой бумаге \(сетке\)\. Давайте разберем как находить основные величины вектора\. ### Вектор и его координаты во втором задании ЕГЭ по математике Прежде всего, подготовку ко второму заданию ЕГЭ по математике профильного уровня стоит начинать с определения вектора #### Что такое вектор? 🎯 **Вектор \(направленный отрезок\)** — это отрезок, у которого зафиксированы начало \(точка $A$\) и конец \(точка $B$\)\. Обозначается как $\vec{AB}$ или одной малой буквой $\vec{a} = \{x; y\}$\. В ЕГЭ используются **два основных метода вычисления координат вектора**: **Способ 1 \(Алгебраический — через разность координат точек\):** Если заданы точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, то координаты вектора вычисляются строго по правилу: **«из координат КОНЦА вычитаем координаты НАЧАЛА»**: $$ \vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\} $$ **Способ 2 \(Геометрический — через прямоугольный треугольник на клетках\):** Если вектор нарисован на сетке без явных координат осей, отпустите проекции: достройте вектор до прямоугольного треугольника, где вектор служит гипотенузой\. Длины катетов по горизонтали и вертикали задают модули координат $x$ и $y$: • Координата $x$: равна длине горизонтального катета \(знак «\+», если вектор направлен вправо; знак «\-», если влево\)\. • Координата $y$: равна длине вертикального катета \(знак «\+», если вектор направлен вверх; знак «\-», если вниз\)\. #### Вычисление длины \(модуля\) вектора во 2 задании ЕГЭ Длина \(модуль\) вектора $\vec{a} = \{x; y\}$ обозначается $|\vec{a}|$ и вычисляется по теореме Пифагора: #### Формула длины вектора: $$ |\vec{a}|=\sqrt{x^2 + y^2} $$ Выглядит на задании на экзамене это следующим образом:  То есть вы можете посчитать координаты через координаты точки начала и конца, а затем вычесть их, либо посчитать длину катетов прямоугольного треугольника \- только не забывайте, что если по оси абсцисс ## Операции с векторами \- 2 задание ЕГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory). При выполнении 2 задания профильного ЕГЭ по математике абсолютное большинство задач на сложение, вычитание или умножение на число быстрее и надежнее решать **в координатах, чем использовать правила треугольника и параллелограмма**\. ### Операции с векторами в координатной форме Если даны два вектора $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$, а также число $k$, то линейные операции выполняются почленно: • **Сложение векторов:** $$ \vec{a} + \vec{b} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2\} $$ • **Вычитание векторов:** $$ \vec{a}-\vec{b}=\{x_1-x_2;y_1-y_2\} $$ • **Умножение вектора на число:** $$ k \cdot \vec{a} = \{k \cdot x_1; k \cdot y_1\} $$ #### Главное преимущество координатного метода на ЕГЭ\! 💡 Если в задаче требуется найти длину сложной комбинации векторов \(например, $|\vec{c}| = |2\vec{a} - 3\vec{b}|$\): 1\. Найдите координаты вектора $\vec{c}$: $x_c = 2x_a - 3x_b$ и $y_c = 2y_a - 3y_b$\. 2\. Вычислите его длину по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x_c^2 + y_c^2}$\. Это избавляет от необходимости делать геометрические построения на сетке\! Если задача требует геометрического построения суммы или вычитания: **1\. Правило треугольника:** чтобы сложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложите вектор $\vec{b}$ из *конца* вектора $\vec{a}$\. Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ соединяет *начало* первого вектора с *концом* второго\. **2\. Правило параллелограмма:** чтобы сложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложите их из *одной общей точки* и достройте до параллелограмма\. Диагональ, выходящая из этой общей точки, является вектором суммы $\vec{a} + \vec{b}$\. **3\. Вычитание векторов:** вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ откладывается из одной точки и направлен из *конца* вычитаемого \($\vec{b}$\) в *конец* уменьшаемого \($\vec{a}$\)\. Тут важно отметить, что задачи на графическое сложение/вычитание векторов встречаются только в пробниках, а на настоящих экзаменах их не было ### Разложение вектора по базису В прямоугольной системе координат вводятся единичные векторы \(орты\): $\vec{i} = \{1; 0\}$ \(вдоль оси $Ox$\) и $\vec{j} = \{0; 1\}$ \(вдоль оси $Oy$\)\. Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ образуют **базис** на плоскости\. Любой вектор $\vec{a} = \{x; y\}$ можно единственным образом разложить по базису: $$ \vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j} $$ Коэффициенты при базисных векторах $x$ и $y$ — это и есть **координаты вектора**\. Пример: Запись $\vec{a} = 4\vec{i} - 7\vec{j}$ означает, что вектор имеет координаты $\vec{a} = \{4; -7\}$\. ## Скалярное произведение и косинус угла между векторами > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory). Нахождение скалярного произведения и угла между векторами — самый популярный и зачастую самый сложный блок задач в открытом банке ФИПИ Задании 2 ЕГЭ\. Такие задачи бывают двух типов и решаются при помощи всего лишь трёх формул, давайте разберём их\. #### Нахождение скалярного произведения векторов Первый тип второго задания ЕГЭ по математике связан с поиском скалярного произведения, в зависимости от условий задачи используйте одну из двух формул: • **Через координаты \(если известны координаты векторов\):** $$ \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2 $$ • **Через длины и угол \(если известны длины векторов и угол **$\alpha$ **между векторами\):** $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha $$ #### Нахождение косинуса угла между векторами Приравнивая обе формулы, получаем универсальную формулу для нахождения косинуса угла между векторами: #### Формула косинуса угла: $$ \cos\alpha=\dfrac{\vec{a} \cdot\vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2}} $$ Она тоже используется при решении вторых заданий на ЕГЭ по математике, но так же очень полезна в стереометрических задачах во второй части ЕГЭ ### Разбор 2 заданий ЕГЭ профильного уровня Рассмотрите решения прототипов заданий, взятых из открытого банка задач ФИПИ для КИМ ЕГЭ 2026 года, чтобы лучше понять тему\. **Задание:** Даны векторы $\vec{a} = \{3; -4\}$ и $\vec{b} = \{-1; 2\}$\. Найдите длину вектора $\vec{c} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$\. **Подробное решение:** 1\) Находим координаты вектора $2\vec{a}$: $2\vec{a} = \{2 \cdot 3; 2 \cdot (-4)\} = \{6; -8\}$ 2\) Находим координаты вектора $3\vec{b}$: $3\vec{b} = \{3 \cdot (-1); 3 \cdot 2\} = \{-3; 6\}$ 3\) Складываем векторы $2\vec{a}$ и $3\vec{b}$ почленно для нахождения координат вектора $\vec{c}$: $x_c = 6 + (-3) = 3$ $y_c = -8 + 6 = -2$ Получаем координаты вектора $\vec{c} = \{3; -2\}$\. 4\) Находим длину \(модуль\) вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ **Ответ:** $\sqrt{13}$ \(или опустите корень, если в вопросе требовалось указать квадрат длины\)\. **Задание:** На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с концами в узлах сетки\. Вектор $\vec{a}$ направлен из точки $(1; 2)$ в точку $(5; 6)$\. Вектор $\vec{b}$ направлен из точки $(2; 1)$ в точку $(6; 2)$\. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$\. **Подробное решение:** 1\) Находим координаты вектора $\vec{a}$ \(конец минус начало\): $\vec{a} = \{5 - 1; 6 - 2\} = \{4; 4\}$ 2\) Находим координаты вектора $\vec{b}$: $\vec{b} = \{6 - 2; 2 - 1\} = \{4; 1\}$ 3\) Вычисляем скалярное произведение по координатной формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 4 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 16 + 4 = 20$ **Ответ:** $20$\. **Задание:** Даны векторы $\vec{a} = \{2; 4\}$ и $\vec{b} = \{3; -1\}$\. Найдите косинус угла между ними\. **Подробное решение:** 1\) Вычисляем скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) = 6 - 4 = 2$ 2\) Находим длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ 3\) Вычисляем косинус угла по формуле: $\cos \alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{2}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{50}} = \dfrac{1}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10} = 0{,}1 \sqrt{2}$ **Ответ:** $0{,}1 \sqrt{2}$\. ## Тренажеры по 2 заданию ЕГЭ по математике Ниже собраны все прототипы 2 задания ЕГЭ по математике профильного уровня на вектора и операции с ними из открытого банка ФИПИ, спецификатора и демоверсий прошлых лет\. К каждому заданию\-тренажеру вы найдете подробное решение, которое поможет лучше разобраться в теме и подготовиться к экзамену по математике на платформе **Экзамео\.** --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/2-zadanie-ege-po-matematike-vektory).