> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/matritsa_sistemy_lineinyh_uravnenii_opredelitel_matritsy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/matritsa_sistemy_lineinyh_uravnenii_opredelitel_matritsy). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Матрица и определитель матрицы \- разбор темы ЕГЭ На этой странице представлен подробный теоретический справочник по теме **«Матрицы и определители» для профильного ЕГЭ по математике**\. Методисты образовательной платформы Экзамео подготовили этот материал, чтобы дать ответ на вопрос, встречаются ли матрицы на экзамене, и показать, как матричные методы и линейная алгебра помогают решать сложные задачи профильного уровня\. ## Есть ли матрицы и определители на ЕГЭ по математике? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/matritsa_sistemy_lineinyh_uravnenii_opredelitel_matritsy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/matritsa_sistemy_lineinyh_uravnenii_opredelitel_matritsy). Официальная спецификация ФИПИ и школьная программа не требуют обязательного знания матриц и способов вычисления определителей\. Одновременно с этим, тема **«Матрица и определитель матрицы» присутствует в кодификаторе ЕГЭ по математике и поэтому задания на неё могут неожиданно появиться в КИМ ЕГЭ прямо на экзамене\. **Хоть это и маловероятно, давайте разберем что такое матрица и её определитель\. ##### Где матрицы НЕ нужны напрямую ❌ В первой части ЕГЭ нет заданий, где в условии прямым текстом написано «вычислите определитель матрицы»\. Точно так же нет заданий, которые нельзя решить без матриц, ни в первой, ни во второй части Одновременно с этим, нужно понимать, что матрицы могут ускорить решение заданий в ЕГЭ по математике, что особенно важно при дефиците времени ##### Где матрицы ДАЮТ преимущество 🎯 \- **Задание 14 \(Векторы и Стереометрия\):** определитель 3х3 используется для вычисления смешанного произведения векторов, объёма тетраэдра и уравнения плоскости\. \- **Задания с системами уравнений:** метод Крамера через определитель матрицы позволяет находить единственные решения систем без длинных подстановок\. ### Основы матричного исчисления для ЕГЭ по математике Ниже подробно разобраны базовые понятия, которые помогут быстрее решать задания второй части на ЕГЭ по математике: определение матрицы, вычисление определителей второго и третьего порядков и правило Крамера\. #### Понятие матрицы и её виды #### Что такое матрица? 🎯 **Матрица** — это прямоугольная таблица чисел, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов \(размерностью $m \times n$\)\. • если число строк равно числу столбцов \($m = n$\), матрица называется **квадратной**\. • Числа, входящие в состав матрицы, называются её **элементами** и обозначаются $a_{ij}$ \(где $i$ — номер строки, $j$ — номер столбца\)\. #### Определитель матрицы 2х2 \(второго порядка\) Для каждой квадратной матрицы вычисляется специальная числовая характеристика — **определитель \(детерминант\)**, обозначаемый $\det A$ или $|A|$\. Для матрицы размером $2 \times 2$ определитель вычисляется как разность произведений элементов главной и побочной диагоналей: #### Формула определителя 2х2: $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$ #### Определитель матрицы 3х3 \(Правило треугольников\) Определитель матрицы $3 \times 3$ находит применение при расчете объёмов тетраэдра и смешанного произведения векторов в стереометрии профильного ЕГЭ\. #### Правило Саррюса \(треугольников\): $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 b_2 c_3 + b_1 c_2 a_3 + c_1 a_2 b_3 - c_1 b_2 a_3 - b_1 a_2 c_3 - a_1 c_2 b_3$ Первые 3 слагаемых берутся со знаком «\+» \(произведения по главной диагонали и в параллельных ей треугольниках\), а оставшиеся 3 слагаемых — со знаком «\-» \(по побочной диагонали\)\. #### Решение систем уравнений методом Крамера При решении Задания №20 \(системы с параметром\) метод Крамера позволяет моментально называть значения параметров, при которых система имеет единственное решение: Для системы $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ вычисляются три определителя: • Главный определитель: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$ • Вспомогательный по $x$: $\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - c_2 b_1$ • Вспомогательный по $y$: $\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - a_2 c_1$ **Критерий количества решений:** 1\. Если главный определитель $\Delta \neq 0$, система имеет **единственное решение**: $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$, $y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$\. 2\. Если $\Delta = 0$, а $\Delta_x \neq 0$ или $\Delta_y \neq 0$, система **не имеет решений**\. 3\. Если $\Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$, система имеет **бесконечно много решений**\. #### Пошаговый алгоритм применения матриц на ЕГЭ по математике При решении сложных задач на ЕГЭ с помощью определителей придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/matritsa_sistemy_lineinyh_uravnenii_opredelitel_matritsy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/matritsa_sistemy_lineinyh_uravnenii_opredelitel_matritsy). **Составьте матрицу коэффициентов:** выпишите коэффициенты при переменных или координаты трёх векторов в строгие строки таблицы\. **Вычислите определитель матрицы:** расчитайте детерминант по формуле $2 \times 2$ или по правилу Саррюса для $3 \times 3$\. **Проанализируйте результат:** примените результат к вопросу задачи \(нахождение корней, площади, объёма или условий на параметр\)\. ### Разбор примеров использования матричных методов на ЕГЭ Рассмотрите решения задач, демонстрирующих экономию времени на профильном ЕГЭ по математике\. **Задание:** Найдите площадь треугольника с вершинами в точках $O(0; 0)$, $A(4; 1)$ и $B(2; 5)$\. **Подробное решение:** 1\) Координаты векторов $\vec{OA} = \{4; 1\}$ и $\vec{OB} = \{2; 5\}$\. 2\) Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля определителя составленной из них матрицы $2 \times 2$: $S = \dfrac{1}{2} \cdot \left| \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \right|$ 3\) Вычисляем определитель: $\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 4 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 20 - 2 = 18$ 4\) Находим площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$\. **Ответ:** $9$\. **Задание:** При каких значениях параметра $a$ система не имеет решений: $\begin{cases} ax + 4y = 7 \\ 3x + ay = 2 \end{cases}$? **Подробное решение:** 1\) Запишем главный определитель системы $\Delta$: $\Delta = \begin{vmatrix} a & 4 \\ 3 & a \end{vmatrix} = a^2 - 12$ 2\) Чтобы система **не имела решений** \(или имела бесконечно много\), главный определитель должен ровняться нулю: $a^2 - 12 = 0 \implies a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ или $a = -2\sqrt{3}$\. 3\) Проверим вспомогательный определитель $\Delta_x$ для $a = 2\sqrt{3}$: $\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 2 & a \end{vmatrix} = 7a - 8 = 14\sqrt{3} - 8 \neq 0$\. Так как $\Delta = 0$, а $\Delta_x \neq 0$, система при $a = \pm 2\sqrt{3}$ не имеет решений\. **Ответ:** $a = \pm 2\sqrt{3}$\. ## Тренажёры на задания с матрицами из ЕГЭ по математике на Экзамео В тренажерах ниже собраны примеры заданий из ЕГЭ по математике, которые могут быть решены при помощи матриц, чтобы вы могли отработать теорию и способы вычисления определителей\. К каждому заданию вы найдете подробное решение и объяснение\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/matritsa_sistemy_lineinyh_uravnenii_opredelitel_matritsy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/matritsa_sistemy_lineinyh_uravnenii_opredelitel_matritsy).