> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Объёмы и площади всех фигур стереометрии ЕГЭ по математике На этой странице собраны абсолютно все формулы объёмов, площадей боковой и полной поверхностей пространственных фигур, необходимые для успешного решения Задания 3 \(База и Профиль\) и Задания 13 \(стереометрия второй части\) **ЕГЭ по математике**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео систематизировали весь теоретический материал по многогранникам и телам вращения, чтобы вы могли быстро освежить знания перед экзаменом и не допускать вычислительных ошибок\. ## Понятия объёма и площадей поверхностей в стереометрии > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur). Прежде чем переходить к изучению конкретных пространственных тел, важно чётко понимать физический и геометрический смысл ключевых стереометрических величин: 1\. **Объём геометрического тела \(**$V$**\):** Это количественная характеристика пространства, занимаемого геометрическим телом\. В базовых единицах объём измеряется в кубических единицах \($\text{см}^3$, $\text{м}^3$\)\. Для призматических фигур он равен произведению площади основания на высоту \($V = S_{\text{осн}} \cdot h$\), а для фигур, сходящихся в одну вершину \(пирамида, конус\), равен трети этого произведения \($V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$\)\. 2\. **Площадь боковой поверхности \(**$S_{\text{бок}}$**\):** Это суммарная площадь всех граней или поверхностей геометрического тела, **исключая его основания**\. Для призмы или цилиндра боковая поверхность разворачивается в прямоугольник, а для правильной пирамиды состоит из равных треугольников\-граней\. 3\. **Площадь полной поверхности \(**$S_{\text{полн}}$**\):** Это полная площадь внешней границы тела, складывающаяся из площади боковой поверхности и площадей всех его оснований: $$S\_\{\\text\{полн\}\} = S\_\{\\text\{бок\}\} \+ N \\cdot S\_\{\\text\{осн\}\}$$ где $N$ — количество оснований \($N = 2$ для призмы и цилиндра, $N = 1$ для пирамиды и конуса\)\. ## Справочник пространственных фигур и формул ### Куб > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur). Правильный многогранник, у которого все шесть граней являются равными квадратами со стороной $a$\. Диагональ куба равна $d = a\sqrt{3}$\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = a^3 $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = 4a^2 $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = 6a^2 $$ ### Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед, у которого все 6 граней являются прямоугольниками с линейными измерениями $a, b, c$\. Диагональ связана измерениями соотношением $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = a \cdot b \cdot c $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = 2(a + b)c = P_{\text{осн}} \cdot h $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac) $$ ### Прямая призма Многогранник, у которого две грани \(основания\) являются равными $n$\-угольниками, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны высоте $h$\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} $$ ### Наклонная призма > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur). Призма, у которой боковые рёбра длины $l$ наклонены к плоскости основания под углом, отличным от $90^\circ$\. $S_{\text{пер.сеч}}$ и $P_{\text{пер.сеч}}$ — параметры сечения, перпендикулярного боковым рёбрам\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h = S_{\text{пер.сеч}} \cdot l $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = P_{\text{пер.сеч}} \cdot l $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} $$ ### Произвольная пирамида Многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной\. Высота $h$ — перпендикуляр из вершины к основанию\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = \sum S_{\triangle \text{граней}} $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} $$ ### Правильная пирамида Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания\. Высота боковой грани называется апофемой $L$\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot L $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} $$ ### Правильный тетраэдр > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur). Треугольная пирамида, у которой абсолютно все четыре грани являются равными равносторонними треугольниками со стороной $a$\. Высота равна $h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = \dfrac{3a^2 \sqrt{3}}{4} $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = a^2 \sqrt{3} $$ ### Цилиндр Тело вращения, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон\. В основаниях лежат равные круги радиуса $R$, а образующая равна высоте $h$\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = \pi R^2 h $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = 2\pi R h $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = 2\pi Rh + 2\pi R^2 $$ ### Конус Тело вращения, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов\. $R$ — радиус основания, $h$ — высота, $l = \sqrt{h^2 + R^2}$ — образующая\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = \pi R l $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2 $$ ### Усечённый конус > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur). Часть конуса, заключённая между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию\. $R_1, R_2$ — радиусы оснований, $l$ — образующая\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = \dfrac{1}{3} \pi h (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2) $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + \pi R_1^2 + \pi R_2^2 $$ ### Шар и Сфера Сфера — замкнутая поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии $R$ от центра\. Шар — тело, ограниченное сферой\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = \dfrac{4}{3} \pi R^3 $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 У сферы отсутствует боковая поверхность ##### Площадь поверхности сферы \($S_{\text{сферы}}$\) 📊 $$ S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2 $$ ### Шаровой сегмент Часть шара, отсекаемая от него плоскостью\. $h$ — высота сегмента, $R$ — радиус шара, $r_{\text{осн}}$ — радиус круга в основании сегмента\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = \pi h^2 \left(R - \dfrac{h}{3}\right) $$ ##### Сферическая поверхность \($S_{\text{бок}}$\) 📐 $$ S_{\text{сегм}} = 2\pi R h $$ ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = 2\pi Rh + \pi r_{\text{осн}}^2 $$ ### Шаровой сектор > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur). Часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара\. $h$ — высота соответствующего сегмента\. ##### Объём \($V$\) 📦 $$ V = \dfrac{2}{3} \pi R^2 h $$ ##### Площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}}$\) 📐 Отсутствует отдельное деление ##### Площадь полной поверхности \($S_{\text{полн}}$\) 📊 $$ S_{\text{полн}} = \pi R (2h + r_{\text{осн}}) $$ #### Лайфхаки для Задания 3 профильного ЕГЭ\! 💡 1\. **Подобие пространственных тел:** • Если все линейные размеры тела \(рёбра, радиус, высота\) увеличить в $k$ раз, то **площадь его поверхности увеличится в **$k^2$** раз**, а **объём увеличится в **$k^3$** раз**\! *Пример: Если ребро куба увеличить в 3 раза, то площадь поверхности увеличится в *$3^2 = 9$* раз, а объём — в *$3^3 = 27$* раз\.* 2\. **Шар в цилиндре \(Описанный цилиндр\):** • Если шар радиуса $R$ вписан в цилиндр, то высота цилиндра $h = 2R$\. • Объём цилиндра $V_{\text{цил}} = 1{,}5 \cdot V_{\text{шара}}$\. • Площадь полной поверхности цилиндра в точности равна $1{,}5 \cdot S_{\text{сферы}}$\. ### Пошаговый алгоритм решения стереометрических задач При решении Задания 3 или Задания 13 профильного ЕГЭ по математике придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Определите тип фигуры и формулу:** установите, является ли фигура призматической \($V = S \cdot h$\), заострённой \($V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$\) или телом вращения\. **Найдите элемент основания и высоту:** выделите отдельно плоскую фигуру основания \(треугольник, квадрат, шестиугольник, круг\) и рассчитайте её площадь $S_{\text{осн}}$\. **Вычислите объем или площадь:** подставьте полученные значения в соответствующую формулу, обращая внимание на число $\pi$ \(если ответ требует его сокращения\) и запишите число\. ### Разбор типовых задач Задания 3 ЕГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur). Рассмотрите решения прототипов задач из открытого банка ФИПИ\. **Задание:** Во сколько раз уменьшится объём правильной треугольной пирамиды, если её высоту уменьшить в $2$ раза, а все стороны основания уменьшить в $3$ раза? **Подробное решение:** 1\) Запишем формулу объёма исходной пирамиды: $V_1 = \dfrac{1}{3} S_1 h_1$\. 2\) Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$\. Если стороны основания уменьшить в $3$ раза, то площадь основания уменьшится в $3^2 = 9$ раз: $S_2 = \dfrac{S_1}{9}$\. 3\) Высота уменьшилась в $2$ раза: $h_2 = \dfrac{h_1}{2}$\. 4\) Запишем объём новой пирамиды $V_2$: $$V\_2 = \\dfrac\{1\}\{3\} S\_2 h\_2 = \\dfrac\{1\}\{3\} \\cdot \\left\(\\dfrac\{S\_1\}\{9\}\\right\) \\cdot \\left\(\\dfrac\{h\_1\}\{2\}\\right\) = \\dfrac\{1\}\{18\} \\cdot \\left\(\\dfrac\{1\}\{3\} S\_1 h\_1\\right\) = \\dfrac\{V\_1\}\{18\}$$ 5\) Объём уменьшился в $18$ раз\. **Ответ:** $18$\. **Задание:** В цилиндрический сосуд налили $2000\text{ см}^3$ воды\. Уровень жидкости составляет $16\text{ см}$\. В жидкость полностью погрузили деталь\. При этом уровень воды в сосуде поднялся на $4\text{ см}$\. Найдите объём детали\. **Подробное решение:** 1\) По закону Архимеда объём вытесненной воды равен объёму погружённой детали\. 2\) Объём цилиндра вычисляется как $V = S_{\text{осн}} \cdot h$\. Поскольку площадь основания сосуда $S_{\text{осн}}$ остаётся постоянной, объём налитой жидкости прямо пропорционален её высоте $h$\. 3\) Высоте $16\text{ см}$ соответствует объём воды $2000\text{ см}^3$\. Подъёму уровня воды на $\Delta h = 4\text{ см}$ соответствует объём детали $V_{\text{дет}}$\. 4\) Составим пропорцию: $$\\dfrac\{V\_\{\\text\{дет\}\}\}\{2000\} = \\dfrac\{4\}\{16\} = \\dfrac\{1\}\{4\} \\implies V\_\{\\text\{дет\}\} = \\dfrac\{2000\}\{4\} = 500\\text\{ см\}^3$$ **Ответ:** $500$\. ## Тренажёры по теме «Объёмы и площади фигур» на Экзамео Отработайте вычисление объёмов и площадей поверхностей стереометрических тел с помощью интерактивных тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит сотни актуальных прототипов Задания 3 и Задания 13 профильного и базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ\. Интерактивная система проверяет полученные числовые ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с визуальными 3D\-чертежами к каждой задаче\. Занимайтесь на **Экзамео** в удобном ритме, повторяйте формулы и гарантированно забирайте высшие баллы на ЕГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/obemy-i-ploshchadi-figur).