> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Площади и периметры всех фигур планиметрии ЕГЭ по математике На этой странице собраны абсолютно все формулы площадей и периметров **фигур планиметрии\(плоских фигур\)**\. В основном этот материал понадобится в первом задании ЕГЭ по математике профильного уровня, но может быть так же полезен для всех задач на геометрию и стереометрию\. ## Площадь и периметер, их основные свойства для ЕГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii). Прежде чем переходить к изучению конкретных формул, важно вспомнить что такое периметр и площади в геометрии: #### **Периметр  P:** Это суммарная длина всех граней \(сторон\) или внешней границы плоской геометрической фигуры\. Выражается в линейных единицах измерения \(см, м\)\. Для любого многоугольника со сторонами $a_1, a_2, \dots, a_n$ периметр определяется как $P = a_1 + a_2 + \dots + a_n$\. В формулах площади на ЕГЭ по математике также часто используется **полупериметр** $p = \dfrac{P}{2}$\. #### **Площадь S:** Это двумерная величина, характеризующая размер области плоскости, ограниченной замкнутым контуром фигуры\. Измеряется в квадратных единицах \($\text{см}^2$, $\text{м}^2$\)\. ##### **Основные аксиомы площади:** • **Положительность:** Площадь любой геометрической фигуры всегда выражается строго положительным числом \($S > 0$\)\. • **Равновеликость равных фигур:** Равные фигуры имеют равные площади \($F_1 = F_2 \implies S_1 = S_2$\)\. • **Аддитивность:** Если фигура разделена на несколько частей без общих внутренних точек, её общая площадь равна сумме площадей всех этих частей \($S = S_1 + S_2 + \dots + S_n$\)\. ### Площадь треугольника \- все формулы для ЕГЭ по математике Треугольник — ключевая фигура планиметрии, его начинают проходить ещё в 7 классе, а на ЕГЭ задачи на треугольник встречаются и в первой части и во второй, при чем на ЕГЭ по математике очень часто вы будете иметь дело именно с площадью треугольника\. Выбор формул площади и периметра зависит от известных по условию элементов\. Большая часть 1 задания на профильном ЕГЭ по математике связана именно с треугольниками, поэтому уделите формулам особое внимание перед их отработкой на тренажерах\. ### Произвольный треугольник \- все формулы площади > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii). Подходит для любого треугольника со сторонами $a, b, c$, высотой $h_a$, углом $\gamma$ между $a$ и $b$, полупериметром $p = \dfrac{a+b+c}{2}$, а также радиусами вписанной \($r$\) и описанной \($R$\) окружностей\.  ##### Через сторону и высоту / угол $$ S = \dfrac{1}{2} a h_a $$ $$ S = \dfrac{1}{2} a b \sin \alpha $$ α \- угол между сторонами a и b, h \- высота проведенная к основанию a ##### Формула Герона $$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$ где p \- полупериметр $$ p = \frac{a + b + c}2 $$ Очень удобная формула, если известны все стороны, но нет углов ##### Через радиусы окружностей $$ S = p \cdot r $$ $$ S = \dfrac{a b c}{4R} $$ в формулах r \- радиус вписанной окружности, R \- радиус описанной окружности, p \- полупериметр, a,b,c \- стороны треугольника Теперь давайте разберемся с особыми видами треугольников, которые тоже встречаются на экзамене в 11 классе, #### Прямоугольный треугольник Треугольник с прямым углом $90^\circ$, катетами $a, b$, гипотенузой $c$ \($c = \sqrt{a^2+b^2}$\) и высотой $h_c$, опущенной на гипотенузу\. ##### Площадь \($S$\) $$ S = \dfrac{1}{2} a b = \dfrac{1}{2} c h_c $$ ##### Периметр \($P$\) $$ P = a + b + c $$ ##### Связь с радиусами $r$ и $R$ $$ r = \dfrac{a + b - c}{2}, R = \dfrac{c}{2} $$ #### Равнобедренный треугольник Треугольник, у которого две боковые стороны равны $a$, а основание равно $b$\. Высота, проведённая к основанию, равна $h_b = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2}$ \- вычисляется из теоремы Пифагора\. ##### Площадь \($S$\) $$ S = \dfrac{1}{2} b h_b = \dfrac{1}{2} a^2 \sin \alpha $$ ##### Периметр \($P$\) $$ P = 2a + b $$ ##### Особенности углов Углы при основании равны \($\alpha = \beta$\) ##### Равносторонний \(правильный\) треугольник Для правильного треугольника существуют особенные формулы площадей, почти все выражения ниже выводятся при помощи тригонометрии, синусов, косинусов и тангенса угла в 60 градусов\. Использование этих формул на ЕГЭ необязательно, но они могут очень сильно ускорить решение задач\. ##### Площадь и Периметр $$ S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$ ##### Вписанный радиус \($r$\) $$ r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{h}{3} $$ ##### Описанный радиус \($R$\) $$ R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2h}{3} $$ ## Четырёхугольники Ещё один достаточно большой блок первых заданий на ЕГЭ по математике связан с четырехугольниками \- ниже собрали все формулы по всем видам четырехугольников\. ### Параллелограмм Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны \($a, b$\)\. $\alpha$ — угол между сторонами, $\varphi$ — угол между диагоналями $d_1, d_2$\. ##### Через высоту / угол $$ S = a \cdot h_a = b \cdot h_b $$ $$ S = a b \sin \alpha $$ ##### Через диагонали $$ S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi $$ ##### Периметр и свойства $$ P = 2(a + b) $$ $$ d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) $$ ### Прямоугольник > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii). Параллелограмм, у которого все углы прямые \($90^\circ$\)\. $a, b$ — стороны, $d = \sqrt{a^2+b^2}$ — диагональ, $\varphi$ — угол между диагоналями\. ##### Площадь \($S$\) $$ S = a \cdot b $$ $$ S = \dfrac{1}{2} d^2 \sin \varphi $$ ##### Периметр \($P$\) $$ P = 2(a + b) $$ ##### Описанный радиус $R$ $$ R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} $$ ### Ромб Параллелограмм, у которого все стороны равны $a$\. Диагонали $d_1, d_2$ взаимно перпендикулярны \($\varphi = 90^\circ$\)\. ##### Через высоту / угол $$ S = a \cdot h $$ $$ S = a^2 \sin \alpha $$ ##### Через диагонали $$ S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 $$ ##### Периметр и радиус $r$ $$ P = 4a $$ $$ r = \dfrac{h}{2} = \dfrac{d_1 d_2}{4a} $$ ### Квадрат Правильный четырёхугольник со стороной $a$, у которого все стороны равны и все углы прямые\. Диагональ равна $d = a\sqrt{2}$\. ##### Площадь \($S$\) $$ S = a^2 = \dfrac{1}{2} d^2 $$ ##### Периметр \($P$\) $$ P = 4a $$ ##### Радиусы $r$ и $R$ $$ r = \dfrac{a}{2}, \quad R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} $$ ### Трапеция > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii). Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны \(основания $a, b$\), а две другие — нет \(боковые стороны $c, d$\)\. $h$ — высота, $m = \dfrac{a+b}{2}$ — средняя линия\. ##### Площадь \($S$\) $$ S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h $$ $$ S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi $$ ##### Периметр \($P$\) $$ P = a + b + c + d $$ *\(для равнобедренной *$P = a + b + 2c$*\)* ##### Описанная равнобедренная $$ c = m, \quad h = 2r = \sqrt{a b} $$ ### Произвольный четырёхугольник Универсальные зависимости для любого выпуклого четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$, диагоналями $d_1, d_2$ и полупериметром $p = \dfrac{P}{2}$\. ##### Площадь через диагонали $$ S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi $$ ##### Описанный около $r$ $$ S = p \cdot r $$ *\(условие: *$a + c = b + d$*\)* ##### Вписанный в окружность \(Брахмагупта\) $$ S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} $$ *\(условие: *$\alpha + \gamma = 180^\circ$*\)* ### Круг, Окружность и их части Геометрические фигуры, ограниченные окружностью радиуса $R$ \(или диаметром $D = 2R$\)\. $\alpha^\circ$ — градусная мера центрального угла\. ### Круг, Длина окружности и Сектор > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii). ##### Круг и Окружность Площадь: $$ S = \pi R^2 = \dfrac{\pi D^2}{4} $$ Длина/периметр $$ C = 2\pi R = \pi D $$ *\(\)* ##### Круговой сектор $$ S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \dfrac{1}{2} L R $$ $$ L = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ} $$ *\(дуга\)* ##### Сегмент и Кольцо $$ S_{\text{сегм}} = S_{\text{сект}} \pm S_{\triangle}, S_{\text{кольца}} = \pi(R_1^2 - R_2^2) $$ ## 4\. Правильные многоугольники Выпуклый многоугольник, у которого все $n$ сторон и все $n$ углов равны между собой\. $a$ — сторона многоугольника\. ##### Периметр и Углы $$ P = n \cdot a, \sum \alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ,\alpha_n = \dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} $$ ##### Площадь через $r$ и $R$ $$ S = p \cdot r = \dfrac{1}{2} P \cdot r, S = \dfrac{1}{2} n R^2 \sin\left(\dfrac{360^\circ}{n}\right) $$ ##### Правильный шестиугольник $$ P = 6a, \quad S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2, r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, \quad R = a $$ #### Лайфхаки для планиметрии в ЕГЭ\! 1\. **Отношение периметров и площадей подобных фигур:** • Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия: $\dfrac{P_1}{P_2} = k$\. • Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$\. *\(Пример: Если средняя линия отсекает треугольник со сторонами в 2 раза меньше исходного \(*$k = \dfrac{1}{2}$*\), то его периметр уменьшится в 2 раза, а площадь составит *$k^2 = \dfrac{1}{4}$* от площади всего треугольника\)\.* 2\. **Треугольники с общей высотой:** Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как длины их оснований: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$\. 3\. **Свойства медианы:** Медиана делит треугольник на два равновеликих \(равных по площади\) треугольника \($S_1 = S_2 = \dfrac{1}{2} S_{\text{общ}}$\)\. Все 3 медианы делят треугольник на **6 равновеликих треугольников**\. ### Пошаговый алгоритм решения планиметрических задач При решении Заданий 1, 3 и 17 профильного ЕГЭ по математике придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii). **Проанализируйте дано задачи:** определите вид фигуры и то, какие элементы известны \(стороны, высоты, диагонали, углы, радиусы\)\. **Выберите наиболее эффективную формулу:** подберите формулу площади или периметра, которая требует наименьшего количества дополнительных построений\. **Вычислите искомую величину:** подставьте числа, аккуратно проверьте расчёты и запишите ответ\. ### Разбор типовых задач ЕГЭ по математике Рассмотрите решения характерных прототипов Задания 1 планиметрии из открытого банка ФИПИ\. **Задание:** Стороны параллелограмма равны $9\text{ см}$ и $12\text{ см}$\. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна $8\text{ см}$\. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма\. **Подробное решение:** 1\) Площадь одного и того же параллелограмма можно найти двумя способами через разные основания и соответствующие им высоты: $$ S = a \cdot h_a = b \cdot h_b $$ 2\) Пусть $a = 9\text{ см}$, тогда опущенная на неё высота $h_a = 8\text{ см}$\. Вычислим площадь параллелограмма: $$ S = 9 \cdot 8 = 72\text{ см}^2 $$ 3\) Пусть вторая \(большая\) сторона $b = 12\text{ см}$, а искомая высота — $h_b$\. Приравняем площадь: $$ 72 = 12 \cdot h_b \implies h_b = \dfrac{72}{12} = 6\text{ см} $$ **Ответ:** $6$\. **Задание:** Основания равнобедренной трапеции равны $7$ и $17$, а ее периметр равен $44$\. Найдите площадь трапеции\. **Подробное решение:** 1\) Пусть основания трапеции $a = 7$, $b = 17$, а боковые стороны $c$ равны между собой \(трапеция равнобедренная\)\. 2\) Вычислим боковую сторону $c$ из формулы периметра: $$ P = a + b + 2c \implies 44 = 7 + 17 + 2c \implies 44 = 24 + 2c \implies 2c = 20 \implies c = 10 $$ 3\) Проведём две высоты из вершин меньшего основания на большее\. Они отсекают прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника\. Катет каждого треугольника равен полуразности оснований: $$ k = \dfrac{b - a}{2} = \dfrac{17 - 7}{2} = 5 $$ 4\) Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $c = 10$ и катетом $k = 5$ по теореме Пифагора находим высоту трапеции $h$: $$ h = \sqrt{c^2 - k^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $$ 5\) Вычислим площадь трапеции: $$ S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = \dfrac{7 + 17}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 12 \cdot 5\sqrt{3} = 60\sqrt{3} $$ **Ответ:** $60\sqrt{3}$\. ## Тренажёры по теме «Площади и периметры плоских фигур» на ЕГЭ по математике Отработать вычисление площадей и периметров плоских фигур можно с помощью интерактивных тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит сотни актуальных прототипов Заданий 1, 3 и 17 профильного и базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ\. Интерактивная система проверяет полученные ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с наглядными геометрическими чертежами к каждой задаче\. Занимайтесь на **Экзамео** в удобном ритме, повторяйте формулы и гарантированно забирайте максимальные баллы на экзамене\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/ege_math/topics/ploshchadi-i-perimetry-figur-planimetrii).