Свойства степеней: вся теория и задачи с решениями

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Степень с целым и рациональным показателем. Свойства степеней» для профильного ЕГЭ по математике. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео подготовили этот материал, чтобы помочь старшеклассникам довести до автоматизма преобразования любых алгебраических выражений, овладеть правилами работы с корнями и уверенно решать задания первой и второй частей профильного экзамена 2026 года.

Где степени и их свойства встречаются на профильном ЕГЭ?

Свойства степеней с целым и дробным показателем проверяются прямо или косвенно почти в каждом третьем задании КИМ ЕГЭ профильного уровня:

Первая часть КИМ (Профиль) 🎯

- Задание 6 (Простейшие уравнения): простейшие показательные уравнения вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ и иррациональные уравнения с корнями.
- Задание 7 (Вычисления и преобразования): числовые и буквенные степенные выражения с целыми и рациональными показателями.
- Задание 8 (Производная и исслед. функций): дифференцирование степенных функций вида $y = x^n$ и $y = x^{\frac{m}{n}}$ .

Вторая часть КИМ (Профиль) 🚀

- Задание 13 (Уравнения): показательные и смешанные уравнения с заменой переменных $a^x = t$ и приведением к общему основанию.
- Задание 15 (Неравенства): показательные неравенства вида $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}$ и обобщенный метод интервалов.
- Задания 18 и 19 (Параметры и олимпиада): свойства монотонности степенных функций.

На данной странице разбираем только свойства степеней и 7 задание ЕГЭ по математике, тема Показательные уравнения имеет свои особенности и разбирается на отдельной странице.

Степени и их свойства - вся теория для ЕГЭ

Математическое понятие степени развивалось поэтапно: от простого повторного умножения натуральных чисел до непрерывных показателей действительного типа.

Степень с целым показателем

Разберемся с основными определениями и самыми главными свойствами, которые могут понадобиться при решении заданий со степенями в ЕГЭ по математике

Степень с натуральным показателем ( $n \in \mathbb{N}$ ):

Для любого числа $a$ и натурального $n > 1$ запись $a^n$ означает произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ :

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}

Степень с нулевым показателем ( $a \neq 0$ ):

Любое основание, не равное нулю, в нулевой степени равно единице:

a^0=1\quad(a\neq0)

(Выражение $0^0$ в школьной математике не определено).

Степень с отрицательным целым показателем ( $a \neq 0, n \in \mathbb{N}$ ):

Отрицательный показатель переворачивает основание степени в обратную дробь:

a^{-n}=\dfrac{1}{a^n},\qquad\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}

Степень с рациональным показателем и арифметический корень

Рациональное число — это число вида $\frac{m}{n}$ , где $m \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$ . Переход к дробному показателю позволяет выразить знаки арифметического корня через степени.

Формула связи степени и корня:

Для любого строго положительного основания $a > 0$ , целого $m$ и натурального $n \ge 2$ :

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Важнейшее ограничение ОДЗ на профильном ЕГЭ! ⚠️

Степень с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ определена только для неотрицательных оснований ( $a \ge 0$ ).
Нельзя писать $(-8)^{\frac{1}{3}}$ , несмотря на то что $\sqrt[3]{-8} = -2$ существует!

На профильном ЕГЭ переход от выражений с отрицательным основанием к дробной степени считается математической ошибкой во второй части.

Таблица всех свойств степеней

Все приведённые ниже тождества выполняются для любых допустимых оснований $a > 0$ , $b > 0$ и действительных показателей $r, s \in \mathbb{R}$ :

Название свойства

Математическое тождество

Комментарий и пример

Умножение степеней с одинаковым основанием

$a^r \cdot a^s = a^{r + s}$

Основание остается прежним, показатели складываются: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ .

Деление степеней с одинаковым основанием

$\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r - s}$

Основание остается прежним, показатели вычитаются: $\dfrac{5^7}{5^4} = 5^3 = 125$ .

Возведение степени в степень

$(a^r)^s = a^{r \cdot s}$

Основание остается прежним, показатели перемножаются: $(3^2)^3 = 3^6 = 729$ .

Степень произведения

$(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$

Каждый множитель возводится в степень отдельно: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 1000$ .

Степень частного (дроби)

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}$

Числитель и знаменатель возводятся в степень отдельно: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{16}{81}$ .

Ловушка: сложение степеней! ⚠️

Запомните: НЕТ формулы для $a^r + a^s$ или $(a + b)^r$ !
Нельзя писать $2^3 + 2^4 = 2^7$ ! Правильное вычисление выполняется через вынесение общего множителя за скобки: $2^3 + 2^4 = 2^3(1 + 2^1) = 8 \cdot 3 = 24$ .

Разбор типовых заданий №7 ЕГЭ профильного уровня на свойства степеней

В 7 задании профильного ЕГЭ встречаются два основных прототипа на тему степеней: числовые и буквенные выражения.

Числовые степенные выражения

Пример 1: Преобразование числового выражения с разным основанием

Задание (Задание 7 ЕГЭ Профиль): Найдите значение выражения $\dfrac{4^9 \cdot 11^{10}}{44^8}$ .

Подробное решение:

1) Разложим составное основание в знаменателе: $44 = 4 \cdot 11$ .

2) Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$ :

44^8 = (4 \cdot 11)^8 = 4^8 \cdot 11^8

3) Подставим полученное выражение в исходную дробь:

\dfrac{4^9 \cdot 11^{10}}{44^8} = \dfrac{4^9 \cdot 11^{10}}{4^8 \cdot 11^8}

4) Применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$ раздельно для четверок и одиннадцати:

\dfrac{4^9}{4^8} \cdot \dfrac{11^{10}}{11^8} = 4^{9-8} \cdot 11^{10-8} = 4^1 \cdot 11^2 = 4 \cdot 121 = 484

Ответ: $484$ .

Буквенные степенные выражения

Пример 2: Упрощение буквенного выражения с дробными показателями

Задание 7 ЕГЭ Профиль: Найдите значение выражения $\dfrac{(a^3)^4 \cdot a^{-7}}{a^2}$ при $a = 5$ .

Подробное решение:

1) Преобразуем числитель. Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$ :

(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}

2) Применим свойство умножения степеней $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ в числителе:

a^{12} \cdot a^{-7} = a^{12 + (-7)} = a^5

3) Применим свойство деления степеней $\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$ :

\dfrac{a^5}{a^2} = a^{5 - 2} = a^3

4) Подставим значение $a = 5$ в упрощенное выражение $a^3$ :

5^3 = 125

Ответ: $125$ .

Тренажёры по свойствам степеней для профильного ЕГЭ на Экзамео

Закрепите свойства степеней и доведите до автоматизма решение заданий 6, 7, 13 и 15 с помощью интерактивной базы тренажёров платформы Экзамео. Все учебные материалы, карточки со свойствами и тесты для подготовки к профильному ЕГЭ по математике 2026 года составлены строго в соответствии со спецификацией ФИПИ.

Задача 1

Корень из четной степени

Темы3

Курсы4

Задача на свойства корней и степени с рациональным показателемВариант 1

Найдите значение выражения:

\sqrt{4^{6}}

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Корень из дроби

Темы4

Курсы3

Задания, в которых нужно найти значение выражение из дроби под корнемВариант 1

Найдите значение выражения:

\sqrt{\frac{9a^{8}}{a^{4}}}

при $a = 6$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план