> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/differentsirovanie_slozhnoi_funktsii_differentsirovanie_obratnoi_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/differentsirovanie_slozhnoi_funktsii_differentsirovanie_obratnoi_funktsii). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Производная сложной и обратной функции \- разбор и примеры На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Дифференцирование сложной функции\. Дифференцирование обратной функции»** для учащихся **10 класса**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с пошаговыми алгоритмами, чтобы сделать даже самые закрученные темы математического анализа наглядными, простыми и понятными для каждого десятиклассника\. На первых порах дифференцирование сложных \(«многоэтажных»\) функций кажется школьникам запутанным\. Главный секрет успеха здесь — относиться к функции как к матрешке или порядку арифметических действий: определять, какая операция выполняется последней \(внешняя функция\), берется её производная, а затем результат умножается на производную внутренней функции\. ## Что такое сложная функция и её производная? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/differentsirovanie_slozhnoi_funktsii_differentsirovanie_obratnoi_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/differentsirovanie_slozhnoi_funktsii_differentsirovanie_obratnoi_funktsii). **Сложная функция \(композиция функций\)** — это функция от функции, то есть выражение вида $y = f(g(x))$, где значению $x$ сначала сопоставляется число $u = g(x)$ \(внутренняя функция\), а затем к полученному числу $u$ применяется функция $f$ \(внешняя функция\)\. • **Внутренняя функция **$g(x)$**:** то действие, которое выполняется **ПЕРВЫМ**, если бы мы подставили конкретное число вместо $x$\. • **Внешняя функция **$f(u)$**:** то действие, которое выполняется **ПОСЛЕДНИМ**\. **Аналогия с порядком действий:** Рассмотрим выражение $y = \sin(x^2 + 1)$\. Если взять $x = 2$: 1\) Сначала считаем $2^2 + 1 = 5$ — это **внутренняя часть** $u = x^2 + 1$\. 2\) Затем берем синус от 5 \($\sin 5$\) — это **внешняя оболочка** $y = \sin u$\. ### Формула производной сложной функции Чтобы взять производную от сложной функции, используется **правило цепочки, когда производные берутся по порядку начиная со внешней функции по цепочке до самой внутренней**: #### $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ **Словесное правило:** Производная сложной функции равна производной **внешней функции** \(вычисленной относительно внутренней\) **УМНОЖЕННОЙ** на производную **внутренней функции**\. ### Техника взятия производной сложной функции > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/differentsirovanie_slozhnoi_funktsii_differentsirovanie_obratnoi_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/differentsirovanie_slozhnoi_funktsii_differentsirovanie_obratnoi_funktsii). Чтобы никогда не путаться в случае вычисления производной сложной функции, расставляйте порядок действий и двигайтесь **снаружи внутрь** по этой пошаговой цепочке: ##### Шаг 1\. Расставьте порядок действий 🔍 Представьте, что вы вычисляете значение выражения при заданном $x$\. Определите, какое действие выполняется **последним** \(внешняя функция $f$\), а какое — внутри \(внутренняя функция $g$\)\. ##### Шаг 2\. Возьмите производную ВНЕШНЕЙ функции 🧅 Возьмите производную от внешней оболочки по таблице производных, **сохраняя внутреннюю часть нетронутой** \(как единую переменную $u$\)\. ##### Шаг 3\. Возьмите производную ВНУТРЕННЕЙ функции ⚙️ Отдельно найдите производную от того выражения, которое находилось внутри \($g'(x)$\)\. ##### Шаг 4\. Перемножьте полученные результаты ✖️ Соедините результаты знаком умножения: $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и приведите выражение к упрощенному виду\. #### Дифференцирование обратной функции Если функция $y = f(x)$ строго монотонна на интервале, то для неё существует **обратная функция** $x = g(y)$ \(обозначается $f^{-1}$\)\. #### Теорема о производной обратной функции Если функция $y = f(x)$ имеет непрерывную и ненулевую производную $f'(x) \neq 0$ в точке $x_0$, то обратная функция $x = g(y)$ также имеет производную в соответствующей точке $y_0 = f(x_0)$, равную **обратной величине:** $$ g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \quad \text{или} \quad (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} $$ • **Геометрический смысл:** Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$\. Поэтому тангенсы углов наклона их касательных являются взаимно обратными числами \($\tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha}$\)\. #### Типичные ошибки при вычислении производной сложной функции При дифференцировании сложных и обратных функций старшеклассники чаще всего допускают такие ошибки: ##### Забывание домножить на производную внутренней части Взять производную внешнего действия и «потерять» внутреннее \(например, написать $((3x - 5)^4)' = 4(3x - 5)^3$ ❌\)\. Запомните: обязательно домножаем на производную внутренней скобки $\cdot (3x - 5)' = \cdot 3$ ✅\! ##### Изменение внутреннего выражения при внешнем шаге Одновременно дифференцировать и внешнюю, и внутреннюю функции \(написать $(\sin(x^2))' = \cos(2x)$ ❌\)\. Внутренняя часть при взятии производной от внешней остается **абсолютно неизменной**: $\cos(x^2) \cdot 2x$ ✅\! Постарайтесь обращать на это внимание при решении самостоятельных работ и вариантов ЕГЭ\. В 12 задании ЕГЭ по математике вы будете редко встречать прямо очень сложные функции, чаще всего проблема будет в коэффициенте при переменной, который нужно будет обязательно учитывать\. ##### Разбор практических примеров с пошаговой расстановкой действий Рассмотрите полные образцы решения задач на дифференцирование сложных и обратных функций\. **Задание:** Найдите производную функции $y = (5x^3 - 2x + 7)^4$\. **Разбор по шагам:** 1\) **Шаг 1\. Определим порядок действий:** • Внутренняя функция: $u = 5x^3 - 2x + 7$ \(считаем в первую очередь\)\. • Внешняя функция: $y = u^4$ \(возведение в 4\-ю степень — последнее действие\)\. 2\) **Шаг 2\. Берем производную ВНЕШНЕЙ функции **$u^4$**:** По таблице $(u^4)' = 4u^3 = 4(5x^3 - 2x + 7)^3$\. 3\) **Шаг 3\. Берем производную ВНУТРЕННЕЙ функции **$u$**:** $(5x^3 - 2x + 7)' = 15x^2 - 2$\. 4\) **Шаг 4\. Перемножаем результаты:** $y' = 4(5x^3 - 2x + 7)^3 \cdot (15x^2 - 2)$\. **Ответ:** $y' = 4(15x^2 - 2)(5x^3 - 2x + 7)^3$\. Важно отметить, что в подобных задачах на производную сложной функции вы можете так же просто раскрыть скобки и взять производную суммы\. **Задание:** Найдите производную функции $y = \cos(\sqrt{x})$\. **Разбор по шагам:** 1\) **Порядок действий:** • Внутренняя: $u = \sqrt{x}$\. • Внешняя: $y = \cos(u)$\. 2\) **Производная ВНЕШНЕЙ функции:** $(\cos u)' = -\sin u = -\sin(\sqrt{x})$\. 3\) **Производная ВНУТРЕННЕЙ функции:** $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$\. 4\) **Перемножаем результаты:** $y' = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$\. **Ответ:** $y' = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$\. **Задание:** Пусть задана функция $f(x) = x^3 + 2x$\. Найти производную обратной функции $(f^{-1})'(y)$ в точке $y_0 = 3$\. **Подробное решение:** 1\) **Найдем значение **$x_0$**, соответствующее **$y_0 = 3$**:** $x^3 + 2x = 3 \implies x^3 + 2x - 3 = 0$\. Подбором находим корень $x_0 = 1$ \(так как $1^3 + 2(1) = 3$\)\. 2\) **Найдем производную исходной функции **$f'(x)$**:** $f'(x) = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$\. 3\) **Вычислим значение **$f'(x_0)$** при **$x_0 = 1$**:** $f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5$\. 4\) **Применим формулу производной обратной функции:** $(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5} = 0{,}2$\. **Ответ:** $0{,}2$\. ## Задания на производную сложной функции на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены интерактивные онлайн\-тренажёры по теме **«Дифференцирование сложной и обратной функции» для 10 класса с подробными решениями и проверкой ответов**\. Задачи в тренажерах на производную сложной функции составлены по учебникам по алгебре за 10 класс и на основании материалов открытого банка заданий ФИПИ профильного ЕГЭ по математике\(Задание 12 профильного ЕГЭ\)\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/differentsirovanie_slozhnoi_funktsii_differentsirovanie_obratnoi_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/differentsirovanie_slozhnoi_funktsii_differentsirovanie_obratnoi_funktsii).