> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/dvugrannyy_ugol](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/dvugrannyy_ugol). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Двугранный угол \- разбор темы для 10 класса и тренажеры **Двугранный угол в курсе геометрии 10 класса** это основное понятие стереометрии, которое помогает понять где находится угол между плоскостями\. В реальном мире с двугранным углом мы встречаемся постоянно: полуоткрытая дверь, страницы раскрытой книги, стык двух скатов крыши дома или смыкание стен классной комнаты\. В курсе 10 класса стереометрия переходит от качественного описания пересекающихся плоскостей к количественным расчётам: вводится понятие линейного угла двугранного угла, формулируется признак перпендикулярности плоскостей и применяется теорема о трёх перпендикулярах\. Умение безошибочно находить и строить линейный угол необходимо для решения геометрических задач на многогранники в контрольных работах 10 класса и для выполнения стереометрического задания №14 профильного ЕГЭ по математике\. Ниже подробно разобрана теоретическая база, приведена сводная таблица свойств, изложен алгоритм построения линейного угла, разобраны типовые задачи и открыт доступ к [онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-dvugrannyy-ugol-10-klass-ekzameo) с проверкой ответов и подробными решениями\. ## Определение двугранного угла и его линейный угол > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/dvugrannyy_ugol](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/dvugrannyy_ugol). **Двугранным углом** называется геометрическая фигура, образованная прямой $a$ и двумя полуплоскостями с общей границей $a$, не принадлежащими одной плоскости\. Прямая $a$ называется **ребром двугранного угла**, а образующие полуплоскости — его **гранями**\.  Основные геометрические элементы двугранного угла: • **Линейный угол двугранного угла:** угол, образованный двумя лучами, которые выходят из одной точки на ребре угла перпендикулярно к этому ребру и лежат в его гранях\. Выберем на ребре $a$ произвольную точку $O$ и проведём лучи $OA \subset \alpha$ \($OA \perp a$\) и $OB \subset \beta$ \($OB \perp a$\)\. Угол $\angle AOB$ называется **линейным углом двугранного угла**\. • **Независимость от выбора точки:** все линейные углы одного и того же двугранного угла равны между собой\. При смене точки на ребре плоскости линейных углов параллельны, а углы с сонаправленными сторонами равны\. • **Градусная мера двугранного угла:** принимается равной градусной мере его линейного угла: $\angle (\alpha, \beta) = \angle AOB$\. Двугранный угол может быть острым \($< 90^\circ$\), прямым \($= 90^\circ$\), тупым \($> 90^\circ$\) или развёрнутым \($= 180^\circ$\)\. • **Перпендикулярность плоскостей:** две пересекающиеся плоскости называются взаимно перпендикулярными \($\alpha \perp \beta$\), если двугранный угол между ними равен $90^\circ$\. В задачах стереометрии доказательство перпендикулярности плоскостей и построение линейного угла опираются на две базовые теоремы: **1\. **[Признак перпендикулярности двух плоскостей](/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey)**:** Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны\. *Следствие:* Плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, перпендикулярна к обеим его граням и пересекает грани по сторонам его линейного угла\. **2\. Роль теоремы о трёх перпендикулярах \(ТТП\):** Чтобы построить линейный угол двугранного угла между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания, опускают высоту $SO \perp (ABC)$ и проводят перпендикуляр $OM \perp AB$ к ребру основания\. По ТТП отрезок $SM$ \(наклонная\) также перпендикулярен ребру $AB$ \($SM \perp AB$\)\. Следовательно, угол $\angle SMO$ является искомым линейным углом двугранного угла при основании\. **3\. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника:** Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус двугранного угла $\varphi$ между их плоскостями: $$ S_{\text{пр}} = S \cdot \cos\varphi \implies \cos\varphi = \dfrac{S_{\text{пр}}}{S} $$ ### Классификация двугранных углов и их свойства Двугранные углы классифицируются по величине соответствующего линейного угла точно так же, как плоские углы в планиметрии: ##### Вид двугранного угла ##### Градусная мера \($\varphi$\) ##### Свойство / Взаимное положение ##### Пример на каркасе многогранника **Острый** $0^\circ < \varphi < 90^\circ$ Линейный угол острый; косинус угла положителен \($\cos\varphi > 0$\)\. Угол между боковой гранью и основанием правильной пирамиды\. **Прямой** $\varphi = 90^\circ$ Плоскости граней взаимно перпендикулярны \($\alpha \perp \beta$\); $\cos\varphi = 0$\. Угол между смежными гранями куба или прямоугольного параллелепипеда\. **Тупой** $90^\circ < \varphi < 180^\circ$ Линейный угол тупой; косинус угла отрицателен \($\cos\varphi < 0$\)\. Угол между смежными боковыми гранями правильной восьмиугольной призмы\. **Развёрнутый** $\varphi = 180^\circ$ Грани угла дополняют друг друга до единой плоскости; $\cos\varphi = -1$\. Плоскость чертёжного листа или развёрнутой книги\. **Смежные двугранные углы** $\varphi_1 + \varphi_2 = 180^\circ$ Имеют общее ребро и одну общую грань, а две другие грани образуют развёрнутый угол\. Углы по обе стороны от вертикальной перегородки на плоском полу\. ### Где встречаются задачи на двугранный угол > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/dvugrannyy_ugol](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/dvugrannyy_ugol). Задачи на вычисление двугранных углов и перпендикулярность плоскостей входят во все разделы стереометрии: ##### Задание 14 Профильного ЕГЭ \(Часть 2\) Нахождение угла между плоскостями сечений и граней пирамид или призм\. В пункте \(а\) часто требуется доказать взаимную перпендикулярность плоскостей через признак, а в пункте \(б\) — рассчитать угол\. ##### Задание 3 Профильного ЕГЭ Нахождение площади боковой поверхности правильных пирамид через площадь основания и косинус двугранного угла при основании по теореме проекции \($S_{\text{бок}} = S_{\text{осн}} / \cos\varphi$\)\. ##### Контрольные работы 10 класса Тематические контрольные по главе «Перпендикулярность прямых и плоскостей»: построение линейных углов по теореме о трёх перпендикулярах и доказательство перпендикулярности плоскостей граней\. ##### Задание 13 Базового ЕГЭ Практические расчёты: определение угла наклона скатов шатровых крыш к перекрытиям, расчёт высоты конька кровли и площадей кровельных конструкций\. ### Алгоритм нахождения линейного угла двугранного угла При решении стереометрических задач на двугранный угол самая частая ошибка — выбор произвольного угла между прямыми в гранях\. Линейный угол образуется строго теми лучами, которые перпендикулярны ребру угла в одной общей точке\. Чертёж начинайте с чёткого выделения линии пересечения двух плоскостей \(ребра\)\. **Определите ребро двугранного угла:** найдите прямую, по которой пересекаются рассматриваемые плоскости $\alpha$ и $\beta$ \($a = \alpha \cap \beta$\)\. **Опустите перпендикуляр из точки одной грани на вторую грань:** выберите удобную точку $S$ в плоскости $\alpha$ и опустите перпендикуляр $SO \perp \beta$ на плоскость $\beta$ \(часто это высота пирамиды или призмы\)\. **Проведите перпендикуляр к ребру в базовой плоскости:** из основания перпендикуляра $O$ проведите отрезок $OM \perp a$ к ребру угла\. **Примените теорему о трёх перпендикулярах:** соедините точки $S$ и $M$\. По ТТП отрезок $SM$ перпендикулярен ребру $a$ \($SM \perp a$\)\. Угол $\angle SMO$ является искомым линейным углом данного двугранного угла\. **Вычислите величину угла из прямоугольного треугольника:** в прямоугольном треугольнике $\Delta SOM$ найдите тригонометрическую функцию угла: $\cos\angle SMO = \dfrac{OM}{SM}$, $\sin\angle SMO = \dfrac{SO}{SM}$ или $\tan\angle SMO = \dfrac{SO}{OM}$\. #### Задачи на двугранный угол с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач, охватывающих учебный курс 10 класса и стереометрические задания ЕГЭ\. **Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $8$, а высота пирамиды равна $4\sqrt{3}$\. Найдите величину двугранного угла между боковой гранью $SAB$ и плоскостью основания\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём ребро двугранного угла:** Плоскость грани $(SAB)$ и плоскость основания $(ABC)$ пересекаются по прямой $AB$\. Ребро угла — отрезок $AB$\. 2\) **Построим линейный угол:** • Высота пирамиды $SO \perp (ABC)$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$; $SO = 4\sqrt{3}$\. • Проведём отрезок $OM \perp AB$, где точка $M$ — середина стороны $AB$\. В квадрате расстояние от центра до стороны равно половине стороны: $OM = \dfrac{a}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$\. • Отрезок $SM$ является апофемой \(высотой равнобедренного треугольника $\Delta SAB$\), значит, $SM \perp AB$\. • Лучи $SM$ и $OM$ перпендикулярны ребру $AB$, следовательно, угол $\angle SMO = \varphi$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$\. 3\) **Вычислим величину угла из прямоугольного треугольника **$\Delta SOM$**:** Треугольник $\Delta SOM$ прямоугольный \($\angle SOM = 90^\circ$\)\. Найдём тангенс угла $\varphi$: $$ \tan\varphi = \dfrac{SO}{OM} = \dfrac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} $$ 4\) Так как тангенс угла равен $\sqrt{3}$, угол равен: $$ \varphi = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ $$ **Ответ:** $60^\circ$\. **Условие:** В треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$\. Отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$\. Докажите, что плоскость $(ACD)$ перпендикулярна плоскости $(BCD)$\. **Пошаговое доказательство:** 1\) По условию прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$ \($AD \perp (ABC)$\)\. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе $BC$: $$ AD \perp BC \implies BC \perp AD $$ 2\) По условию треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$, значит: $$ BC \perp AC $$ 3\) Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $(ACD)$ — прямой $AC$ и прямой $AD$ \($AC \cap AD = A$\)\. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(ACD)$: $$ BC \perp (ACD) $$ 4\) Плоскость $(BCD)$ проходит через прямую $BC$, перпендикулярную плоскости $(ACD)$\. По признаку перпендикулярности двух плоскостей: $$ (BCD) \perp (ACD) $$ Требуемое утверждение полностью доказано\. **Условие:** Равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $6$ спроектирован на плоскость $\alpha$\. Ортогональной проекцией треугольника является треугольник $A_1B_1C_1$ площадью $4{,}5$\. Найдите величину двугранного угла между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью проекции $\alpha$\. **Пошаговое решение:** 1\) Вычислим площадь исходного правильного треугольника $ABC$ со стороной $a = 6$: $$ S_{\Delta ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} $$ 2\) По теореме о площади ортогональной проекции: $$ S_{\text{пр}} = S \cdot \cos\varphi \implies \cos\varphi = \dfrac{S_{\text{пр}}}{S} $$ 3\) Подставим числовые значения \($S_{\text{пр}} = 4{,}5$, $S = 9\sqrt{3}$\): $$ \cos\varphi = \dfrac{4{,}5}{9\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6} $$ 4\) Найдём угол $\varphi$: $$ \varphi = \arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\right) $$ **Ответ:** $\arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\right)$\. **Условие:** В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите величину двугранного угла между плоскостью диагонального сечения $AA_1C_1C$ и плоскостью боковой грани $ABB_1A_1$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём ребро двугранного угла:** Плоскость $(AA_1C_1C)$ и плоскость $(ABB_1A_1)$ имеют две общие точки $A$ и $A_1$\. Линией их пересечения является вертикальное ребро куба $AA_1$\. 2\) **Построим линейный угол:** • Рассмотрим плоскость нижнего основания $(ABCD)$\. Боковое ребро куба $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания \($AA_1 \perp (ABCD)$\)\. • Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой основания, проходящей через точку $A$: $AB \perp AA_1$ и $AC \perp AA_1$\. • Прямая $AB$ лежит в грани $(ABB_1A_1)$, а прямая $AC$ лежит в плоскости сечения $(AA_1C_1C)$\. • Так как оба луча $AB$ и $AC$ выходят из точки $A$ перпендикулярно ребру $AA_1$, угол $\angle BAC$ является линейным углом искомого двугранного угла\. 3\) **Вычислим градусную меру угла **$\angle BAC$**:** В основании куба лежит квадрат $ABCD$\. Отрезок $AC$ — диагональ квадрата, которая делит прямой угол при вершине $A$ пополам: $$ \angle BAC = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ $$ **Ответ:** $45^\circ$\. **Условие:** Найдите косинус двугранного угла между любыми двумя смежными гранями правильного тетраэдра\. **Пошаговое решение:** 1\) Пусть ребро правильного тетраэдра $SABC$ равно $a$\. Все 4 грани тетраэдра — равные правильные треугольники со стороной $a$\. 2\) Найдём угол между боковой гранью $SAB$ и основанием $ABC$\. Ребром угла является прямая $AB$\. 3\) Проведём медианы\-высоты в гранях к ребру $AB$: • В правильном треугольнике основания $\Delta ABC$: высота $CM \perp AB$, длина $CM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$\. • В правильном треугольнике грани $\Delta SAB$: высота $SM \perp AB$, длина $SM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$\. Оба отрезка перпендикулярны ребру $AB$ в его середине $M$, значит, угол $\angle SMC = \varphi$ — искомый линейный угол\. 4\) Рассмотрим треугольник $\Delta SMC$: его стороны равны $SM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $CM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ и $SC = a$\. Применим теорему косинусов для стороны $SC$: $$ SC^2 = SM^2 + CM^2 - 2 \cdot SM \cdot CM \cdot \cos\varphi $$ $$ a^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\varphi $$ $$ a^2 = \dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{3a^2}{2} \cos\varphi $$ $$ a^2 = \dfrac{3a^2}{2} - \dfrac{3a^2}{2} \cos\varphi \implies \dfrac{3a^2}{2} \cos\varphi = \dfrac{a^2}{2} $$ 5\) Разделим обе части на $\dfrac{a^2}{2}$: $$ 3 \cos\varphi = 1 \implies \cos\varphi = \dfrac{1}{3} $$ **Ответ:** $\dfrac{1}{3}$\. ##### Типичные ошибки при нахождении двугранного угла При решении задач на нахождение двугранных углов и перпендикулярность плоскостей чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Выбор произвольного угла вместо линейного Берут угол между любыми наклонными отрезками в гранях, не проверив их перпендикулярность ребру\. Линейным углом является угол между лучами, которые **строго перпендикулярны ребру двугранного угла** и выходят из одной точки\. ##### Перпендикуляры к ребру в разных точках Проводят перпендикуляр в одной грани в точку $M_1$, а во второй грани — в другую точку $M_2$\. Стороны линейного угла обязаны выходить из **одной общей точки на ребре**, образуя плоский угол с общей вершиной\. ##### Путаница угла между плоскостями и двугранного угла Считают, что угол между плоскостями может быть равен $120^\circ$\. Двугранный угол может быть тупым \($> 90^\circ$\), но **угол между плоскостями всегда острый или прямой** \($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$\)\. При тупом двугранном угле углом между плоскостями считают смежный с ним острый угол \($180^\circ - \varphi$\)\. ##### Неполная формулировка признака перпендикулярности Утверждают, что плоскости перпендикулярны, если прямая в одной плоскости перпендикулярна прямой в другой плоскости\. Перпендикулярности двух прямых недостаточно: прямая обязана быть **перпендикулярна всей плоскости целиком** \(двум пересекающимся прямым этой плоскости\)\. ## Тренажеры на тему «Двугранный угол» для 10 класса Тренажёры по теме «Двугранный угол» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ФИПИ ЕГЭ по математике профильного уровня\. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов\. ##### Где двугранный угол применяется в реальной жизни Двугранные углы определяют аэродинамическую устойчивость летательных аппаратов, прочность строительных конструкций и эффективность солнечной энергетики: ##### Авиация и V\-образность крыла Крылья пассажирских самолётов устанавливают под небольшим положительным двугранным углом к горизонту \(поперечное V\)\. При случайном крене опустившееся крыло получает большую подъёмную силу, и самолёт автоматически выравнивается в воздухе\. ##### Архитектура и ендовы кровель При проектировании многоскатных крыш стык скатов образует двугранный угол \(коньковый или ендову\)\. Расчёт линейного угла необходим кровельщикам для точного раскроя металлочерепицы и обеспечения герметичного стока дождевых вод\. ##### Солнечные батареи Солнечные панели устанавливают под двугранным углом к горизонту, равным географической широте местности\. По теореме ортогональной проекции поток солнечной энергии максимален, когда солнечные лучи перпендикулярны плоскости панели\. **1\. Оптические спектральные призмы:** В оптических приборах стеклянные призмы преломляют световые лучи на двух плоских гранях, образующих двугранный угол \(преломляющий угол призмы\)\. Точный расчёт линейного угла позволяет разложить белый свет в спектр и исследовать химический состав далёких звёзд\. **2\. Военная технология малозаметности \(Stealth\):** Корпуса самолётов\-невидимок состоят из плоских панелей, соединённых под острыми и тупыми двугранными углами без прямых углов\. В отличие от прямоугольных отражателей, такие грани рассеивают лучи вражеских радаров в стороны, делая самолёт незаметным на экранах ПВО\. **3\. Инженерия складных конструкций и оригами:** Раскрытие солнечных батарей космических спутников на орбите, механизмы складных мостов и упаковочные коробки проектируются по законам изменения двугранных углов вдоль линий сгиба \(шарнирных рёбер\)\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/dvugrannyy_ugol](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/dvugrannyy_ugol).