> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/koren-n-y-stepeni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/koren-n-y-stepeni). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Корень n\-й степени \- разбор темы и задания с решениями На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Корень n\-й степени»** для учащихся **10 класса**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с формулами, графиками функций и пошаговым разбором типовых примеров \(соответствует школьной программе по алгебре и началам математического анализа и ФГОС\), чтобы помочь десятиклассникам освоить свойства арифметического корня, научиться преобразовывать иррациональные выражения и успешно подготовиться к контрольным работам и ЕГЭ\. В 10 классе понятие квадратного и кубического корня обобщается на случай любой натуральной степени $n \ge 2$\. Главное различие при работе с корнем $n$\-й степени заключается в чётности или нечётности показателя $n$\. ## Понятие корня n\-й степени > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/koren-n-y-stepeni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/koren-n-y-stepeni). **Корнем **$n$**\-й степени из числа **$a$ \($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$\) называется такое число $b$, $n$\-я степень которого равна $a$ \($b^n = a$\)\. • **Арифметический корень **$n$**\-й степени из неотрицательного числа **$a$** \(**$a \ge 0$**\):** это неотрицательное число $b \ge 0$, такое, что $b^n = a$\. Обозначается: $\sqrt[n]{a}$\. • **При нечётном **$n$**:** корень существует из любого действительного числа $a$, причём $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$\. • **При чётном **$n$**:** корень определен только при $a \ge 0$\. Выражение $\sqrt[n]{a}$ при $a < 0$ не имеет смысла в действительных числах\. ### Основные свойства арифметического корня n\-й степени Большая часть заданий в теме корень n\-й степени решается только по свойствам, которые перечислены в таблице ниже, однако важно отметить, что с основной массой этих свойств вы уже знакомы из прошлых классов\. Для любых $a \ge 0$, $b \ge 0$ и натуральных $n, k \ge 2$ справедливо следующие ключевые свойства: ##### Свойство / Тождество ##### Формула ##### Пример вычисления **Корень из произведения** $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ $\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = \mathbf{6}$ **Корень из частного \(дроби\)** $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ \($b > 0$\) $\sqrt[4]{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$ **Возведение корня в степень** $\left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \sqrt[n]{a^k}$ $\left(\sqrt[3]{2}\right)^6 = \sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{64} = \mathbf{4}$ **Корень из корня** $\sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[k \cdot n]{a}$ $\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = \mathbf{2}$ **Сокращение показателей** $\sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{a^m}$ $\sqrt[6]{5^3} = \sqrt[2]{5^1} = \mathbf{\sqrt{5}}$ **Важнейшее тождество с модулем** $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ \(при чётном $n$\) $\sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = \mathbf{3}$ #### Свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ Свойства степенной функции с дробным показателем зависят от чётности показателя корня $n$: ##### 1\. Функция $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном $n$ \(2, 4, 6\.\.\.\) 📈 • **Область определения \(**$D(y)$**\):** $[0; +\infty)$\. • **Область значений \(**$E(y)$**\):** $[0; +\infty)$\. • **Чётность:** ни чётная, ни нечётная\. • **Монотонность:** строго возрастает на $[0; +\infty)$\. • **График:** ветвь, расположенная в I координатной четверти\. ##### 2\. Функция $y = \sqrt[n]{x}$ при нечётном $n$ \(3, 5, 7\.\.\.\) 📉 • **Область определения \(**$D(y)$**\):** $(-\infty; +\infty)$\. • **Область значений \(**$E(y)$**\):** $(-\infty; +\infty)$\. • **Чётность:** нечётная \($\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$\)\. • **Монотонность:** строго возрастает на всей числовой прямой\. • **График:** симметричен относительно начала координат \(I и III четверти\)\. #### Главная ловушка на ЕГЭ и контрольных в заданиях на корень n\-ой степени\! Самая распространенная ошибка с корнями n\-ой степени точно такая же, как и с квадратными корнями \- забывают модуль в четных степенях, давайте разберем её подробнее\. ##### Осторожно: Потеря модуля при чётном показателе\! ⚠️ Самая распространенная ошибка в 10 классе — писáть $\sqrt[4]{a^4} = a$\. Помните: переменная $a$ может быть отрицательной\! Правильная запись: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$\. Например, $\sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5|$\. ##### Разбор практических примеров решения заданий Рассмотрите полные образцы решения типовых заданий из программы 10 класса и прототипов ЕГЭ\. **Задание:** Найдите значение выражения: $\sqrt[3]{-24} \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[4]{(-5)^4}$\. **Подробное решение:** 1\) **Вычислим первое слагаемое **$\sqrt[3]{-24} \cdot \sqrt[3]{9}$**:** • Используем свойство произведения корней нечётной степени: $\sqrt[3]{-24 \cdot 9} = \sqrt[3]{-216} = -6$\. 2\) **Вычислим второе слагаемое **$\sqrt[4]{(-5)^4}$**:** • Применяем свойство корня чётной степени с модулем: $\sqrt[4]{(-5)^4} = |-5| = 5$\. 3\) **Сложим полученные результаты:** $-6 + 5 = -1$\. **Ответ:** $-1$\. **Задание:** Упростите выражение $\sqrt[4]{x^4} + \sqrt[3]{x^3}$ при $x < 0$\. **Подробное решение:** 1\) **Упростим первый корень \(чётная степень\):** $\sqrt[4]{x^4} = |x|$\. Так как по условию $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$\. 2\) **Упростим второй корень \(нечётная степень\):** $\sqrt[3]{x^3} = x$ \(для нечётных степеней модуль не нужен\)\. 3\) **Сложим выражения:** $-x + x = 0$\. **Ответ:** $0$\. ## Тренажёры по корням n\-ой степени на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/koren-n-y-stepeni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/koren-n-y-stepeni). На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены онлайн\-тренажёры по теме **«Корень n\-й степени» для 10 класса** с мгновенной проверкой ответов и пошаговыми разборами\. Решай примеры на применение свойств корней, вычисляй значения сложных иррациональных выражений, готовишься к ЕГЭ и получай только отличные оценки по алгебре\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/koren-n-y-stepeni](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/koren-n-y-stepeni).