> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie-predela-funktsii-v-tochke-i-funktsii-nepreryvnoy-v-tochke](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie-predela-funktsii-v-tochke-i-funktsii-nepreryvnoy-v-tochke). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Предел функции в точке и функция, непрерывная в точке На этой странице собрана полная теория, определения и типовые **задачи на предел функции в точке** из школьного курса алгебры и начал анализа за 10 класс, самостоятельных работ и экзаменационных банков заданий\. Вы узнаете, что такое предел функции в точке, как связаны предел и непрерывность, разберёте определение по Коши на языке $\varepsilon$ и $\delta$, свойства пределов и признаки непрерывности, а также сможете закрепить навык в [онлайн\-тренажёре с пошаговой проверкой ответов](#trenazher-predel-funktsii-ekzameo)\. Приступая к **пределу функции в точке**, важно понять его ключевую идею: нас интересует поведение функции *вблизи* точки, а не её значение *в самой точке*\. Функция может быть не определена в точке $a$ — предел при этом может существовать\. Именно эта идея лежит в основе понятия непрерывности и производной\. Так же важно отметить, что именно через предел вводится понятие производной #### **Определение предела функции в точке по Коши** **Число b называется пределом функции f\(x\) в точке a**\(или при $x \to a$\), если для любого сколь угодно малого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - b| < \varepsilon$\. **Обозначение:** $$ \lim_{x \to a} f(x) = b $$ **Важно:** условие $0 < |x - a|$ означает, что сама точка $a$ исключается из рассмотрения\.  Понимаем, что из определения по Коши в 10 классе можно понять ровно ничего, поэтому давайте рассмотрим определение предела простым языком\. ## Что такое предел функции в точке > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie-predela-funktsii-v-tochke-i-funktsii-nepreryvnoy-v-tochke](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie-predela-funktsii-v-tochke-i-funktsii-nepreryvnoy-v-tochke). **Предел функции в точке** — это число, к которому неограниченно приближаются значения функции, когда аргумент приближается к заданной точке, но не совпадает с ней\. В отличии от простой подстановки: предел описывает *поведение* функции вблизи точки, а не её значение в самой точке Рассмотрим классический пример: функцию $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ в точке $x = 1$\. В самой точке $x = 1$ функция не определена \(деление на ноль\), но при $x \to 1$ значения функции стремятся к $2$\. Значит, $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$\. Этот пример показывает главное: для существования предела в точке функция не обязана быть определена в самой точке\. Достаточно, чтобы она была определена в некоторой проколотой окрестности этой точки\. ### Свойства пределов функции Свойства пределов позволяют вычислять сложные пределы, не прибегая каждый раз к определению\. Эти правила изучаются в **алгебре 10 класса** и активно используются в самостоятельных работах\. ##### Свойство ##### Формула **Предел суммы** $\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ **Предел произведения** $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$ **Предел частного** $\lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\lim f}{\lim g}$, если $\lim g \neq 0$ **Предел постоянной** $\lim C = C$ **Предел степенной функции** $\lim x^n = a^n$ ### Функция, непрерывная в точке > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie-predela-funktsii-v-tochke-i-funktsii-nepreryvnoy-v-tochke](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie-predela-funktsii-v-tochke-i-funktsii-nepreryvnoy-v-tochke). **Функция называется непрерывной в точке** $a$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке: $$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$ Это означает одновременное выполнение трёх условий: 1 ##### Определена в точке Функция $f(x)$ определена в точке $a$\. 2 ##### Существует предел Предел $\lim_{x \to a} f(x)$ существует и конечен\. 3 ##### Предел равен значению Предел совпадает со значением функции: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$\. #### Связь предела и непрерывности: Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда её предел в этой точке существует и равен значению функции\. Именно поэтому **непрерывность — это «хорошее поведение» графика без разрывов**\.  #### Примеры решения задач на предел и непрерывность Понимание пределов необходимо для изучения производной, которая встречается в ЕГЭ по математике профильного и базового уровня, поэтому рассмотрим подробные решения типовых задач на **предел функции** формата самостоятельных работ в 10 классе\. **Условие:** Вычислите предел $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$\. **Пошаговое решение:** 1\) При подстановке $x = 3$ получаем неопределённость вида $\dfrac{0}{0}$\. 2\) Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $$ 3\) Сократим дробь на $(x - 3)$ при условии $x \neq 3$: $$ \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 $$ 4\) Вычислим предел: $$ \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 $$ **Ответ:** 6\. **Условие:** Исследуйте на непрерывность в точке $x = 2$ функцию: $$ f(x) = \begin{cases} x^2, & x \neq 2 \\ 5, & x = 2 \end{cases} $$ **Пошаговое решение:** 1\) Найдём предел функции при $x \to 2$: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} x^2 = 4 $$ 2\) Найдём значение функции в точке $x = 2$: $$ f(2) = 5 $$ 3\) Сравним предел и значение функции: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq 5 = f(2) $$ Предел существует, но не равен значению функции в точке\. **Ответ:** функция имеет разрыв в точке $x = 2$\. #### Ошибки при решении задач на предел и непрерывность При вычислении пределов и проверке непрерывности ученики 10 класса чаще всего допускают следующие ошибки: ##### Путают предел и значение функции Считают, что для нахождения предела достаточно подставить точку в функцию\. Это работает только для непрерывных функций\. При неопределённости $\dfrac{0}{0}$ нужно преобразовывать выражение\. ##### Забывают про условие равенства предела значению При проверке непрерывности находят только предел, но не сравнивают его со значением функции в точке\. Непрерывность требует выполнения **всех трёх условий** одновременно\. ## Задачи на предел функции с решениями Задания на вычисление предела функции в точке, раскрытие неопределённостей и проверку непрерывности собраны ниже для подготовки к самостоятельным и контрольным работам по алгебре в 10 классе\. В каждом задании вы найдёте подробное пошаговое решение и проверку ответов, а интерактивный тренажёр поможет довести навык работы с пределами до автоматизма\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie-predela-funktsii-v-tochke-i-funktsii-nepreryvnoy-v-tochke](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie-predela-funktsii-v-tochke-i-funktsii-nepreryvnoy-v-tochke).