> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Определение числовой функции и способы её задания **Числовая функция в курсе алгебры и начал математического анализа 10 класса **— центральное математическое понятие, объединяющее алгебру, геометрию и математический анализ\. Практически любой закон природы, физический процесс или экономическая закономерность описываются функциональной зависимостью: траектория движения тела, изменение температуры воздуха в течение суток, курс валюты или зависимость громкости звука от расстояния до источника\. Вы изучали функции и раньше, но в курсе 10 класса предстоит перейти от изучения отдельных частных функций к строгому теоретическому аппарату\. Эта страница открывает большой раздел функций в старшей школе и вводит основные определения для успешного выполнения заданий 10 класса, а также профильного и базового ЕГЭ по математике\. Ниже приведена полная теория, сравнительная таблица способов задания, алгоритм исследования функций, пошаговые эталоны решений задач и [онлайн\-тренажёры Экзамео с подробными решениями](#trenazher-chislovye-funktsii-10-klass-ekzameo) и проверкой ответов\. ## Определение числовой функции и её элементы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya). **Числовой функцией** с областью определения $D$ называется такое соответствие \(правило, закон\) $f$, при котором каждому числу $x$ из числового множества $D$ сопоставляется единственное действительное число $y$, обозначаемое $f(x)$\. Символическая запись функции: $y = f(x)$, где $x \in D$\.  ##### Базовые элементы числовой функции: **Независимая переменная \(аргумент\):** переменная $x$, значения которой можно выбирать произвольно из области определения функции\. **Зависимая переменная \(значение функции\):** переменная $y$, числовое значение которой однозначно определяется выбранным аргументом $x$ и правилом $f$\. **Область определения функции **$D(f)$**:** множество всех допустимых значений аргумента $x$, для которых определено правило $f$ \(для которых формула имеет действительный смысл\)\. **Множество значений функции **$E(f)$**:** множество всех действительных чисел $y$, которые принимает зависимая переменная при прохождении аргументом всей области определения: $E(f) = \{f(x) \mid x \in D(f)\}$\. **Критерий однозначности:** каждому допустимому значению $x$ ставится в соответствие **ровно одно** значение $y$\. Если хотя бы одному значению $x$ соответствует два или более значений $y$ \(например, геометрическое уравнение окружности $x^2 + y^2 = 25$, где при $x = 0$ получается $y = 5$ и $y = -5$\), такое правило соответствия функцией не является\.  Задать функцию — значит указать её область определения $D(f)$ и правило, позволяющее для каждого аргумента $x$ найти значение $y$\. В математике и прикладных науках применяются четыре основных способа задания функций: ##### **1\. Аналитический способ \(с помощью формулы\):** Закон соответствия задаётся математической формулой: $y = x^2 - 4x + 3$, $y = \sqrt{2x + 1}$, $y = \sin x$\. Если область определения не указана явно, под $D(f)$ понимают *естественную область определения* — множество всех действительных чисел, при которых аналитическое выражение имеет числовой смысл \(знаменатель дроби не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно и т\. д\.\)\. Аналитически функция может задаваться и кусочно: $$ f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le 0, \\ x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases} $$ ##### **2\. Графический способ:** Функция задаётся своим графиком — геометрическим местом точек плоскости с координатами $(x; f(x))$\. Главное достоинство — наглядность: по графику сразу видны промежутки возрастания, убывания, нули и экстремумы\. **Тест вертикальной прямой:** линия на координатной плоскости является графиком некоторой функции тогда и только тогда, когда любая прямая, параллельная оси ординат $Oy$, пересекает эту линию *не более чем в одной точке*\. ##### **3\. Табличный способ:** Значения функции указываются в виде таблицы для заранее выбранного конечного набора аргументов $x$\. Этот способ незаменим в физике, химии и метеорологии при фиксации результатов опытов и наблюдений \(например, таблица зависимости атмосферного давления от высоты\)\. ##### **4\. Словесный \(описательный\) способ:** Правило соответствия формулируется обычным языком\. Примеры знаменитых словесно заданных функций: • *Функция «целая часть числа» \(антье\):* $y = [x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$ \(например, $[3{,}8] = 3$, $[-1{,}2] = -2$\); • *Функция знака числа \(сигнум\):* $y = \operatorname{sgn}(x)$ равна $1$, если $x > 0$; равна $0$, если $x = 0$; равна $-1$, если $x < 0$; • *Функция Дирихле:* $y = 1$, если $x$ — рациональное число, и $y = 0$, если $x$ — иррациональное число\. ### Сравнение способов задания числовой функции Каждый способ задания функции обладает специфическими преимуществами и ограничениями в зависимости от решаемой учебной или практической задачи: ##### Способ задания ##### Форма правила ##### Главные достоинства ##### Ограничения **Аналитический** Математическая формула вида $y = f(x)$\. Компактность; возможность вычислить точное значение $y$ для абсолютно любого допустимого $x$; применимость методов математического анализа \(производная, интеграл\)\. Отсутствие мгновенной наглядности общего поведения функции без предварительного построения графика\. **Графический** Линия на плоскости $xOy$, удовлетворяющая тесту вертикальной прямой\. Максимальная наглядность: сразу видны экстремумы, монотонность, наибольшее и наименьшее значения, промежутки знакопостоянства\. Приблизительность считывания числовых значений координат с чертежа\. **Табличный** Таблица упорядоченных пар чисел $(x_k; y_k)$\. Простота получения данных в реальных физических экспериментах; не требует знания аналитической формулы\. Неполнота: неизвестны значения функции между табличными узлами \(требуется интерполяция\)\. **Словесный** Текстовое описание правила на естественном языке\. Позволяет описывать сложные логические, дискретные и разрывные зависимости, которые трудно задать одной формулой\. Громоздкость формулировок и трудность выполнения аналитических преобразований\. ### Где встречается тема «Числовые функции» на уроках и ЕГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya). Понятие функции, нахождение области определения и чтение графиков формируют базу для решения ключевых экзаменационных задач: ##### Задания профильного ЕГЭ \(Графики функций\) Определение коэффициентов формулы по графику функции \(прямая, парабола, гипербола, логарифм, корень\), поиск области определения и вычисление значения функции в заданной точке\. Так же функции ждут вас в заданиях с параметрами и даже в задачах на производные\. ##### Задания в базовом ЕГЭ по математике В базовом ЕГЭ по математике вас ждут задания как на саму функцию и её поведение, так и на производную функции в самом своём базовом понимании ##### Контрольные работы 10 класса Базовые самостоятельные работы по началам анализа: нахождение области определения сложных функций с корнями и дробями, построение графиков кусочных функций и проверка условия однозначности\. ### Алгоритм исследования числовой функции При нахождении области определения и базовом анализе числовой функции в 10 классе важно сразу выявить все потенциальные математические ограничения, накладываемые формулой\. Запомните стандартный порядок действий: **Проверьте наличие дробей:** знаменатель любой алгебраической дроби не может быть равен нулю\. Выпишите условие: $\text{знаменатель} \neq 0$ и найдите запрещённые значения аргумента\. **Проверьте корни чётной степени:** подкоренное выражение корня чётной степени \($\sqrt{u}, \sqrt[4]{u}$\) обязано быть неотрицательным\. Составьте неравенство: $u(x) \ge 0$\. \(Для корней нечётной степени ограничений нет: подкоренное выражение может быть любым действительным числом\)\. **Проверьте тригонометрические и обратные функции:** если в формуле есть тангенс $\tan x$, исключите точки $\cos x = 0$ \($x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k$\); для котангенса $\cot x$ исключите $\sin x = 0$ \($x \neq \pi k$\); для функций $y = \arcsin u$ и $y = \arccos u$ задайте условие $-1 \le u(x) \le 1$\. **Объедините условия в систему и найдите пересечение:** запишите все найденные условия в виде системы ограничений и решите её методом интервалов на числовой прямой, получив итоговую область определения $D(f)$\. **Оцените множество значений **$E(f)$**:** проанализируйте поведение функции на области определения \(выделите полный квадрат, используйте свойства монотонности или ограниченности базовых функций\) и запишите диапазон изменения переменной $y$\. ### Задачи на числовые функции с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач по теме «Числовые функции», охватывающих программу 10 класса и материалы экзамена ЕГЭ\. **Условие:** Найдите область определения функции $y = \dfrac{\sqrt{x^2 - 4x - 5}}{x - 7}$\. **Пошаговое решение:** 1\) Аналитическое выражение содержит квадратный корень в числителе и переменную в знаменателе\. Составим систему условий: $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 5 \ge 0 \\ x - 7 \neq 0 \end{cases} $$ 2\) Решим первое квадратное неравенство: Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$\. Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$ (x + 1)(x - 5) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [5; +\infty) $$ 3\) Решим второе условие: $$ x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7 $$ 4\) Исключим точку $x = 7$ из найденных числовых промежутков: $$ D(y) = (-\infty; -1] \cup [5; 7) \cup (7; +\infty) $$ **Ответ:** $(-\infty; -1] \cup [5; 7) \cup (7; +\infty)$\. **Условие:** Задают ли функцию следующие уравнения: 1\) $y^2 - x = 0$; 2\) $y - x^2 = 0$; 3\) $|y| = x$? **Пошаговое решение:** 1\) **Уравнение 1 \(**$y^2 - x = 0 \implies y^2 = x$**\):** При $x = 4$ получаем $y^2 = 4 \implies y = 2$ или $y = -2$\. Одному значению аргумента $x = 4$ соответствуют два различных значения $y$\. Нарушается условие однозначности \(вертикальная прямая $x = 4$ пересекает параболу, лежащую на боку, в двух точках\)\. Вывод: **не является функцией**\. 2\) **Уравнение 2 \(**$y - x^2 = 0 \implies y = x^2$**\):** Для каждого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ вычисляется единственным образом\. Любая вертикальная прямая пересекает параболу ровно в одной точке\. Вывод: **является числовой функцией**\. 3\) **Уравнение 3 \(**$|y| = x$**\):** При $x = 3$ получаем $|y| = 3 \implies y = 3$ или $y = -3$\. Значению аргумента $x = 3$ соответствуют два значения $y$\. Условие однозначности не выполняется\. Вывод: **не является функцией**\. **Ответ:** 1\) не является; 2\) является; 3\) не является\. **Условие:** Найдите множество значений функции: 1\) $f(x) = x^2 - 6x + 13$; 2\) $g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Для функции **$f(x) = x^2 - 6x + 13$**:** Выделим полный квадрат двучлена: $$ f(x) = (x^2 - 6x + 9) + 4 = (x - 3)^2 + 4 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен \($(x - 3)^2 \ge 0$\), то: $$ (x - 3)^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4 $$ Наименьшее значение функции равно $4$ \(достигается при $x = 3$\), а ветви параболы направлены вверх\. Следовательно: $E(f) = [4; +\infty)$\. 2\) **Для функции **$g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2}$**:** Оценим знаменатель: так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 2 \ge 2$\. Так как знаменатель положителен и не меньше $2$, то дробь принимает максимальное значение при минимальном знаменателе: $$ g(x) \le \dfrac{1}{2} $$ С другой стороны, при неограниченном росте $x$ знаменатель стремится к бесконечности, а сама дробь стремится к $0$, оставаясь строго положительной: $g(x) > 0$\. Следовательно: $E(g) = (0; 0{,}5]$\. **Ответ:** 1\) $E(f) = [4; +\infty)$; 2\) $E(g) = (0; 0{,}5]$\. **Условие:** Функция задана аналитически кусочной формулой: $$ f(x) = \begin{cases} 3 - 2x, & \text{если } x < -1, \\ x^2 + 1, & \text{если } -1 \le x \le 2, \\ 7, & \text{если } x > 2 \end{cases} $$ Найдите значения: $f(-3)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$ и $f(5)$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Для **$x = -3$**:** Число $-3 < -1$, поэтому используем первую ветку формулы: $f(-3) = 3 - 2 \cdot (-3) = 3 + 6 = 9$\. 2\) **Для **$x = -1$**:** Число попадает в промежуток $[-1; 2]$, используем вторую ветку формулы: $f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$\. 3\) **Для **$x = 0$**:** Число лежит в промежутке $[-1; 2]$, считаем по второй ветке: $f(0) = 0^2 + 1 = 1$\. 4\) **Для **$x = 2$**:** Точка $x = 2$ включена во вторую ветку формулы: $f(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$\. 5\) **Для **$x = 5$**:** Число $5 > 2$, используем третью постоянную ветку: $f(5) = 7$\. **Ответ:** $f(-3) = 9$; $f(-1) = 2$; $f(0) = 1$; $f(2) = 5$; $f(5) = 7$\. **Условие:** Прямоугольный участок земли огорожен забором общей длиной $40\text{ м}$\. Задайте аналитической формулой зависимость площади участка $S$ от длины одной из его сторон $x$\. Найдите область определения этой функции и сторону, при которой площадь участка будет максимальной\. **Пошаговое решение:** 1\) Пусть длина одной стороны прямоугольника равна $x$ метрам\. Периметр прямоугольника равен $P = 2(x + y) = 40\text{ м}$, откуда полупериметр $x + y = 20\text{ м}$\. Выразим вторую сторону: $y = 20 - x$\. 2\) Составим формулу площади $S(x)$ как функцию от стороны $x$: $$ S(x) = x \cdot (20 - x) = 20x - x^2 $$ 3\) **Определим область определения **$D(S)$** по геометрическому смыслу задачи:** Длины обеих сторон прямоугольника обязаны быть строго положительными: • $x > 0$; • $20 - x > 0 \implies x < 20$\. Следовательно: $D(S) = (0; 20)$\. 4\) **Найдём значение **$x$**, при котором площадь максимальна:** График функции $S(x) = -x^2 + 20x$ — квадратичная парабола, ветви которой направлены вниз \($a = -1 < 0$\)\. Максимальное значение достигается в вершине параболы: $$ x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{20}{2 \cdot (-1)} = 10\text{ м} $$ При $x = 10\text{ м}$ вторая сторона также равна $y = 20 - 10 = 10\text{ м}$ \(участок является квадратом\), а площадь достигает максимума: $S_{\text{макс}} = 10 \cdot 10 = 100\text{ м}^2$\. **Ответ:** $S(x) = 20x - x^2$; $D(S) = (0; 20)$; площадь максимальна при $x = 10\text{ м}$\. ### Типичные ошибки в теме «Числовые функции» > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya). При выполнении контрольных работ по теме «Числовые функции» учащиеся 10 класса чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Забытое выкалывание корней знаменателя Для функции $y = \dfrac{x - 3}{x^2 - 9}$ сокращают дробь до $\dfrac{1}{x + 3}$ и ошибочно указывают $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$\. Область определения всегда находится **до любых сокращений формулы**: точка $x = 3$ обращает исходный знаменатель в ноль и обязана быть выколота: $x \neq \pm 3$\. ##### Путаница между D\(f\) и E\(f\) При чтении графика функции путают проекции графика на координатные оси\. Область определения $D(f)$ — это **проекция графика на ось абсцисс **$Ox$ \(слева направо\), а множество значений $E(f)$ — это **проекция на ось ординат **$Oy$ \(снизу вверх\)\. ##### Игнорирование условия однозначности Считают уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$ или дугу параболы с двумя ветками графиком функции\. По определению функции каждому $x$ ставится в соответствие **строго один **$y$\. Если вертикальная прямая пересекает линию более одного раза, линия графиком функции не является\. ##### Ограничение на подкоренное выражение нечётной степени Для функции с кубическим корнем $y = \sqrt[3]{x - 4}$ ставят условие $x - 4 \ge 0$\. Корень нечётной степени определён для любых чисел, включая отрицательные \($\sqrt[3]{-8} = -2$\)\. Неотрицательным обязано быть подкоренное выражение **только корней чётной степени** \($\sqrt{u}, \sqrt[4]{u}$\)\. ## Задания на тему «Определение числовой функции и способы её задания» для 10 класса Тренажёры по теме «Определение числовой функции и способы её задания» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по алгебре и началам анализа и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней\. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/opredelenie_chislovoi_funktsii_i_sposoby_ee_zadaniya).