> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/ponyatie_mnogogrannika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/ponyatie_mnogogrannika). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Многогранники 10 класс \- теория и задачи **Многогранники в 10 классе по геометрии** представляют собой фундаментальный класс пространственных фигур, с которого начинается систематическое изучение стереометрии\. В окружающем нас мире практически все рукотворные и природные объекты имеют форму многогранников: кристаллы кварца и пирита, огранённые алмазы, жилые и офисные здания, контейнеры, системные блоки и упаковочные коробки\. В курсе 10 класса геометрия переходит от рассмотрения отдельных плоских фигур к замкнутым пространственным телам\. Школьники осваивают базовые элементы многогранника \(грани, рёбра, вершины\), классификацию выпуклых и невыпуклых фигур, пространственные диагонали, правила построения многогранников на плоскости и методику работы с их **развёртками**\. Знание свойств многогранников необходимо для построения сечений, нахождения площадей поверхностей и объёмов в контрольных работах 10 класса, а также в стереометрических заданиях 3 и 14 профильного ЕГЭ по математике\. Ниже систематизирована вся теория, представлены пошаговые алгоритмы построения и развёрток, разобраны типовые задачи и открыт доступ к [онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-mnogogranniki-10-klass-ekzameo) с моментальной проверкой ответов\. ## Понятие многогранника и его элементы — 10 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/ponyatie_mnogogrannika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/ponyatie_mnogogrannika). **Многогранником** называется геометрическое тело, поверхность которого составлена из конечного числа плоских многоугольников\. \[Место для иллюстрации: Пространственный многогранник с наглядным выделением вершины V, ребра E, грани F, пространственной диагонали d и секущей плоскости\] • **Базовые элементы многогранника:** — **Грани** — плоские многоугольники, образующие поверхность многогранника\. — **Рёбра** — стороны граней\. Каждое ребро служит общей границей ровно двух смежных граней\. — **Вершины** — вершины граней \(концы рёбер\)\. В каждой вершине сходятся не менее трёх рёбер и трёх граней\. • **Диагональ многогранника:** отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани \(например, пространственная диагональ $AC_1$ в параллелепипеде\)\. Не путайте её с диагональю грани \(отрезком $AC$\)\. Плоскость, проходящая через три вершины, не лежащие в одной грани, называется **диагональной плоскостью**\. • **Выпуклый многогранник:** многогранник называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от плоскости каждой из своих граней\. Если продолжить любую его грань до бесконечной плоскости, всё тело останется строго в одном полупространстве\. • **Правильные многогранники \(Платоновы тела\):** выпуклые многогранники, все грани которых — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер\. В трёхмерном пространстве существует ровно **пять правильных многогранников**: тетраэдр, куб \(гексаэдр\), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр\. **Развёрткой многогранника** называется плоская фигура, получающаяся при разрезании поверхности многогранника по части его рёбер и совмещении всех его граней с одной плоскостью без взаимных наложений: 1\. **Сохранение площадей:** площадь плоской развёртки в точности равна площади полной поверхности многогранника \($S_{\text{разв}} = S_{\text{полн}}$\)\. Чтобы найти площадь поверхности пространственного тела, достаточно сложить площади всех многоугольников его развёртки\. 2\. **Развёртки куба:** поверхность куба состоит из $6$ одинаковых квадратов\. Существует ровно $11$** различных типов развёрток куба**, которые невозможно совместить друг с другом движениями на плоскости\. 3\. **Поиск кратчайшего пути по поверхности:** в стереометрии олимпиад и второй части ЕГЭ классическая задача о кратчайшем пути \(например, путь муравья из одной вершины в противоположную по стенкам коробки\) решается только через развёртку: *кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности многогранника равно длине прямолинейного отрезка, соединяющего эти точки на его плоской развёртке*\.  ### Элементы основных пространственных многогранников Используйте таблицу для сопоставления формы граней, количества вершин и рёбер пространственных тел: ##### Многогранник ##### Вершины \(V\) ##### Рёбра \(E\) ##### Грани \(F\) ##### Форма граней **Тетраэдр** \(треугольная пирамида\) $4$ $6$ $4$ Все $4$ грани — треугольники\. **Куб / Параллелепипед** $8$ $12$ $6$ Все $6$ граней — параллелограммы или прямоугольники \(квадраты\)\. **Октаэдр** \(восьмигранник\) $6$ $12$ $8$ Все $8$ граней — треугольники\. $n$**\-угольная призма** $2n$ $3n$ $n + 2$ $2$ основания \($n$\-угольники\) и $n$ боковых граней \(параллелограммы\)\. $n$**\-угольная пирамида** $n + 1$ $2n$ $n + 1$ $1$ основание \($n$\-угольник\) и $n$ боковых граней \(треугольники\)\. #### Где встречаются задачи на многогранники в 10 классе и на ЕГЭ Понятие многогранника лежит в основе заданий базового и профильного уровней экзамена: ##### Задание 3 Профильного ЕГЭ Задачи первой части: расчёт числа вершин, рёбер и граней многогранников, нахождение площади поверхности составных фигур \(«многогранники с вырезами»\), вычисление объёмов призм и пирамид\. ##### Задание 14 Профильного ЕГЭ \(Часть 2\) Сложная стереометрия: построение следов секущих плоскостей на гранях многогранника, доказательство перпендикулярности плоскостей и вычисление площадей сечений\. ##### Задание 13 Базового ЕГЭ Нахождение элементов многогранников по готовым чертежам, вычисление площади поверхности развёрток, подсчёт объёмов комнат и контейнеров\. ##### Контрольные работы 10 класса Школьные проверочные работы и тесты по главе «Многогранники»: построение каркасных чертежей, классификация правильных многогранников и поиск пространственных диагоналей\. #### Алгоритм изображения и построения многогранника Чтобы грамотно построить чертёж пространственного многогранника в тетради или презентации, придерживайтесь чёткой последовательности шагов, она вам понадобится в самом начале изучения стереометрии, чтобы вы смогли избежать ошибок, по мере изучения стереометрии в 10 классе он дойдет у вас до автоматизма: **Постройте основание с учётом параллельного проектирования:** изобразите нижнюю грань тела \(прямоугольник или квадрат рисуйте параллелограммом, правильный треугольник — разносторонним треугольником, сохраняя пропорции деления отрезков\)\. **Постройте высоты или боковые рёбра:** для призмы проведите равные параллельные отрезки из каждой вершины основания; для пирамиды найдите проекцию вершины на основание и восстановите вертикальную высоту\. **Замкните контур граней:** соедините верхние вершины между собой \(для призмы\) или соедините вершину пирамиды со всеми вершинами основания, формируя боковые рёбра\. **Оформите видимость линий:** все рёбра, заслонённые передними непрозрачными гранями тела, проведите **штриховым пунктиром**, а видимые внешние контуры — сплошными чёткими линиями\. #### Задания на многогранники с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач по теме «Многогранники», охватывающих программу 10 класса и материалы ЕГЭ по математике\. **Условие:** Многогранник составлен из $8$ треугольных граней и $6$ четырёхугольных граней\. Сколько рёбер имеет этот многогранник? **Пошаговое решение:** 1\) Каждая грань имеет определённое количество сторон: • $8$ треугольных граней содержат $8 \cdot 3 = 24$ стороны; • $6$ четырёхугольных граней содержат $6 \cdot 4 = 24$ стороны\. 2\) Найдём суммарное количество сторон всех граней: $$ \Sigma = 24 + 24 = 48 $$ 3\) Каждое ребро многогранника является общей стороной ровно двух смежных граней, поэтому при простом сложении сторон каждое ребро учтено ровно дважды: $$ 2Р = 48 \implies Р = \dfrac{48}{2} = 24 $$ **Ответ:** $24$ ребра\. **Условие:** Прямоугольный параллелепипед имеет размеры $2\text{ см} \times 2\text{ см} \times 4\text{ см}$\. Муравей ползёт по его поверхности из вершины $A$ в противоположную вершину $C_1$\. Найдите длину кратчайшего пути муравья\. **Пошаговое решение:** 1\) Кратчайший путь по поверхности трёхмерного тела на его плоской развёртке является прямым отрезком\. 2\) Развернём две смежные грани, через которые проходит муравей, на одну плоскость\. В зависимости от выбора смежных граней возможны два варианта развёртки: • **Вариант 1 \(через боковую грань и основание\):** стороны составного прямоугольника равны $(2 + 2) = 4\text{ см}$ и $4\text{ см}$\. По теореме Пифагора длина пути равна: $$ L_1 = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{ см} \approx 5{,}66\text{ см} $$ • **Вариант 2 \(через две смежные боковые грани\):** стороны составного прямоугольника равны $(2 + 4) = 6\text{ см}$ и $2\text{ см}$\. По теореме Пифагора длина пути равна: $$ L_2 = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\text{ см} \approx 6{,}32\text{ см} $$ 3\) Сравним результаты: $\sqrt{32} < \sqrt{40}$, следовательно, кратчайший путь равен $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{ см}$\. **Ответ:** $4\sqrt{2}\text{ см}$\. **Условие:** Из куба с ребром $4$ удалили угловой кубик с ребром $1$\. Найдите площадь поверхности получившегося многогранника\. **Пошаговое решение:** 1\) **Геометрический анализ:** При вырезании углового кубика удаляются три его внешние квадратные грани площадью $1 \times 1 = 1$ каждая\. Однако взамен них внутри образовавшейся ступеньки открываются ровно такие же три внутренние грани площадью $1 \times 1 = 1$, ориентированные по трём направлениям пространства\. 2\) Следовательно, убыль внешней поверхности в точности компенсируется появлением внутренней поверхности той же площади\. 3\) Площадь поверхности получившегося многогранника в точности равна площади поверхности исходного целого куба с ребром $a = 4$: $$ S_{\text{полн}} = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96 $$ **Ответ:** $96$\. **Условие:** Сколько пространственных диагоналей имеет шестиугольная призма? **Пошаговое решение:** 1\) Пространственная диагональ призмы соединяет вершину одного основания с вершиной другого основания, не лежащей с ней в одной боковой грани\. 2\) В $n$\-угольной призме из каждой вершины нижнего основания можно провести диагонали к вершинам верхнего основания за исключением: • вершины, лежащей на том же боковом ребре \($1$ вершина\); • двух соседних вершин верхнего основания, образующих смежные боковые грани \($2$ вершины\)\. 3\) Таким образом, из каждой вершины нижнего основания выходит $(n - 3)$ пространственные диагонали: $$ N = n(n - 3) $$ 4\) Для шестиугольной призмы \($n = 6$\): $$ N = 6 \cdot (6 - 3) = 6 \cdot 3 = 18\text{ диагоналей} $$ **Ответ:** $18$\. **Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $6$, а боковое ребро равно $5$\. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды\. **Пошаговое решение:** 1\) Диагональное сечение проходит через вершину пирамиды $S$ и диагональ квадратного основания $AC$\. Сечением является равнобедренный треугольник $\Delta SAC$, где $SA = SC = 5$\. 2\) Найдём длину основания сечения — диагональ квадрата со стороной $a = 6$: $$ AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} $$ 3\) Высота сечения $SO$ является высотой пирамиды\. Точка $O$ — центр квадрата, делит диагональ $AC$ пополам: $$ AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $$ 4\) Из прямоугольного треугольника $\Delta SOA$ по теореме Пифагора найдём высоту $SO$: $$ SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7} $$ 5\) Вычислим площадь треугольника сечения $\Delta SAC$: $$ S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{14} $$ **Ответ:** $3\sqrt{14}$\. ##### Типичные ошибки в теме «Многогранники» При решении стереометрических задач на многогранники десятиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Задвоение рёбер при подсчёте Складывая стороны всех граней многогранника, забывают разделить полученную сумму на 2\. Каждое ребро принадлежит строго **двум смежным граням**, поэтому сумму сторон всех многоугольников необходимо обязательно делить пополам: $Р = \dfrac{\Sigma \text{сторон}}{2}$\. ##### Сплошные линии для невидимых рёбер На чертеже все отрезки проводят сплошными линиями\. Невидимые внутренние и задние рёбра **обязаны изображаться пунктиром**, иначе чертёж искажает пространственную форму и приводит к грубым ошибкам при построении сечений\. ##### Путаница диагонали грани и диагонали тела При вычислении пространственной диагонали многогранника находят диагональ его плоского основания $AC$\. Диагональ грани лежит в плоскости одной стенки \($d = \sqrt{a^2 + b^2}$\), а **диагональ многогранника проходит сквозь внутреннее пространство тела** \($d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$\)\. ##### Поиск пути по поверхности через диагональ Ища путь муравья по поверхности коробки, вычисляют длину пространственной диагонали тела сквозь воздух\. Движение происходит строго по граням, поэтому кратчайший путь находится **по прямой на плоской развёртке** смежных граней\! ## Тренажёр по теме «Многогранники» для 10 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/ponyatie_mnogogrannika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/ponyatie_mnogogrannika). Тренажёры по теме многогранники содержат подборку практических заданий по теме «Многогранники» за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровня\. Для каждого задания вы найдете подробные решения и проверку ответов --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/ponyatie_mnogogrannika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/ponyatie_mnogogrannika).