> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Правильная пирамида \- теория и задания **Правильная пирамида в курсе геометрии 10 класса** — центральный многогранник раздела стереометрии и один из самых частых объектов экзаменационных заданий \(задание 3 и задание 14 профильного ЕГЭ по математике, задание 13 базового ЕГЭ\)\. В архитектуре и истории именно правильная пирамида стала символом монументальности: форму правильных четырёхугольных пирамид имеют великие пирамиды Гизы в Египте и стеклянный купол входа в Лувр в Париже\. В курсе 10 класса стереометрия систематизирует свойства правильной пирамиды: куда проецируется вершина, почему равны боковые рёбра и апофемы, как связаны линейные размеры через опорные прямоугольные треугольники, а также как находить площадь боковой и полной поверхности и объём фигуры\. Ниже приведены все ключевые соотношения, сводная таблица формул, подробный алгоритм и пошаговые эталоны решений задач, а также открыт доступ к [онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-pravilnaya-piramida-10-klass-ekzameo) с моментальной проверкой ответов\. ## Определение и ключевые свойства правильной пирамиды > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida). **Пирамида называется правильной**, если одновременно выполняются строго два условия: 1\. В её основании лежит **правильный многоугольник** \(равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник\); 2\. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её **высотой** \(вершина проецируется строго в центр симметрии основания\)\.  Из этих двух условий следуют фундаментальные геометрические свойства: • **Все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой:** $SA = SB = SC = SD = l$\. Прямоугольные треугольники, образованные высотой, радиусом описанной окружности и боковым ребром, равны по двум катетам \($SO$ — общий, $OA = OB = OC = R$\)\. • **Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники:** основание каждой боковой грани равно стороне правильного многоугольника $a$, а боковые стороны равны длине ребра $l$\. • **Все апофемы равны между собой:** апофема \($h_a$\) — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания\. В равных равнобедренных треугольниках граней высоты, опущенные на основания, равны\. • **Равенство углов наклона:** все боковые рёбра образуют с плоскостью основания **одинаковые углы **$\alpha$, и все боковые грани наклонены к плоскости основания под **одинаковым двугранным углом **$\beta$\. Точка $O$ \(основание высоты пирамиды\) является центром правильного многоугольника, в котором совпадают центры вписанной \($r$\) и описанной \($R$\) окружностей: **1\. Правильная треугольная пирамида \(в основании — равносторонний **$\Delta ABC$** со стороной **$a$**\):** • Высота основания: $h_{\Delta} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$\. • Центр $O$ делит медиану\-высоту в отношении $2 : 1$, считая от вершины\. • **Радиус описанной окружности **$R$** \(расстояние от центра до вершины\):** $$ R = \dfrac{2}{3} h_{\Delta} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} $$ • **Радиус вписанной окружности **$r$** \(расстояние от центра до стороны\):** $$ r = \dfrac{1}{3} h_{\Delta} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} $$ **2\. Правильная четырёхугольная пирамида \(в основании — квадрат **$ABCD$** со стороной **$a$**\):** • Центр $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата\. • Диагональ квадрата: $d = a\sqrt{2}$\. • **Радиус описанной окружности **$R$** \(расстояние до вершины квадрата\):** $$ R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} $$ • **Радиус вписанной окружности **$r$** \(расстояние до стороны квадрата\):** $$ r = \dfrac{a}{2} $$ \[Место для иллюстрации: Основание правильной треугольной пирамиды с центром O, радиусами R и r, и основание четырёхугольной пирамиды \(квадрат\) с диагоналями\] ### Три опорных прямоугольных треугольника в правильной пирамиде Стереометрические расчёты правильной пирамиды сводятся к применению теоремы Пифагора в трёх плоских прямоугольных треугольниках: ##### Треугольник ребра \($\Delta SOA$\) **Катеты:** высота $H$ и радиус $R$\. **Гипотенуза:** боковое ребро $l$\. $$ H^2 + R^2 = l^2 $$ Угол наклона бокового ребра к основанию: $\cos\alpha = \dfrac{R}{l}$\. ##### Треугольник грани \($\Delta SOM$\) **Катеты:** высота $H$ и радиус $r$\. **Гипотенуза:** апофема $h_a$\. $$ H^2 + r^2 = h_a^2 $$ Угол наклона боковой грани \(двугранный угол\): $\cos\beta = \dfrac{r}{h_a}$\. ##### В боковой грани \($\Delta SMA$\) **Катеты:** апофема $h_a$ и половина стороны основания $\dfrac{a}{2}$\. **Гипотенуза:** боковое ребро $l$\. $$ h_a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = l^2 $$ Связывает апофему со стороной и ребром\. ### Сводная таблица формул правильной пирамиды > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida). Для каждого вида правильных пирамид существуют отдельные формулы\. Их не нужно выучивать, но можно провести параллели с формулами для правильных фигур в планиметрии\. Справочная таблица основных формул для правильной треугольной и четырёхугольной пирамид представлена ниже: ##### Величина ##### Общая формула ##### Правильная треугольная ##### Правильная четырёхугольная **Площадь основания \(**$S_{\text{осн}}$**\)** $S_{\text{многоуг}}$ $S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $S_{\text{осн}} = a^2$ **Радиус **$R$** \(к вершине основания\)** $R_{\text{опис}}$ $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ **Радиус **$r$** \(к стороне основания\)** $r_{\text{впис}}$ $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{R}{2}$ $r = \dfrac{a}{2}$ **Боковая поверхность \(**$S_{\text{бок}}$**\)** $\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot h_a$ $S_{\text{бок}} = \dfrac{3}{2} a \cdot h_a$ $S_{\text{бок}} = 2 a \cdot h_a$ **Через двугранный угол \(**$\beta$**\)** $S_{\text{бок}} = \dfrac{S_{\text{осн}}}{\cos\beta}$ $\beta$ — угол между гранью и основанием $\beta$ — угол между гранью и основанием **Полная поверхность \(**$S_{\text{полн}}$**\)** $S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$ $S_{\text{полн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3}{2}ah_a$ $S_{\text{полн}} = a^2 + 2ah_a$ **Объём пирамиды \(**$V$**\)** $\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$ $V = \dfrac{a^2 H \sqrt{3}}{12}$ $V = \dfrac{1}{3} a^2 H$ ### Где встречаются задачи на правильную пирамиду Задачи на правильную пирамиду достаточно часто встречаются в экзаменах 11 классе и распределены по следующим экзаменационным блокам: ##### Задание 3 Профильного ЕГЭ Базовые задачи в 1–2 действия: нахождение высоты пирамиды по боковому ребру и стороне основания, расчёт площади боковой поверхности правильной треугольной или четырёхугольной пирамиды и поиск апофемы\. ##### Задание 14 Профильного ЕГЭ \(Часть 2\) Сложные задачи с развёрнутым ответом \(3 балла\): построение сечений правильной пирамиды плоскостью, вычисление расстояния от точки до плоскости грани и нахождение угла между скрещивающимися рёбрами пирамиды\. ##### Задание 13 Базового ЕГЭ Практические расчётные задачи на вычисление объёма насыпей, шатров и палаток в форме правильной четырёхугольной пирамиды, а также расчёт расхода кровельных материалов по площади боковой поверхности\. ##### Контрольные работы 10 класса Тематические контрольные по разделу «Пирамида»: вычисление двугранных углов при основании, нахождение площади диагонального сечения и радиусов вписанных/описанных шаров правильной пирамиды\. ### Алгоритм решения задач на правильную пирамиду Приступая к решению стереометрической задачи на контрольной работе или экзамене, важно не пытаться находить всё подряд, а сразу разделить данные условия на две группы: элементы основания \(плоские\) и пространственные элементы высоты и граней\. Чертёж пирамиды всегда начинайте с основания, отображая центр пересечением медиан или диагоналей, после чего строго вертикально восстанавливайте отрезок высоты $SO$\. **Идентифицируйте фигуру в основании и её параметры:** определите вид основания \(квадрат или равносторонний треугольник\)\. По известной стороне основания $a$ найдите площадь основания $S_{\text{осн}}$, радиус описанной окружности $R$ \(расстояние от центра $O$ до вершины основания\) и радиус вписанной окружности $r$ \(расстояние от центра $O$ до середины стороны\)\. **Определите тип заданного пространственного элемента:** проанализируйте, какая наклонная величина дана в условии: боковое ребро $l$ \(отрезок от вершины к вершине основания\), апофема $h_a$ \(отрезок от вершины к середине стороны\) или угол наклона \(к ребру $\alpha$ или к грани $\beta$\)\. **Выберите опорный прямоугольный треугольник для связи с высотой:** • если в условии фигурирует боковое ребро $l$ или угол его наклона $\alpha$, переходите к треугольнику $\Delta SOA$ с радиусом описанной окружности: $H^2 + R^2 = l^2$; • если дана апофема $h_a$ или двугранный угол боковой грани $\beta$, переходите к треугольнику $\Delta SOM$ с радиусом вписанной окружности: $H^2 + r^2 = h_a^2$\. **Вычислите недостающую высоту или апофему:** примените теорему Пифагора к выбранному опорному треугольнику или используйте соотношение в боковой грани $h_a^2 + (a/2)^2 = l^2$, чтобы найти недостающие линейные размеры пирамиды\. **Подставьте результаты в итоговые формулы площадей или объёма:** вычислите боковую поверхность по формуле $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot h_a$ \(или через теорему о проекции $S_{\text{бок}} = \dfrac{S_{\text{осн}}}{\cos\beta}$\), полную поверхность $S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$ либо объём пирамиды $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$\. ### Задачи на правильную пирамиду с пошаговыми решениями > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida). Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач, охватывающих основные конфигурации треугольных и четырёхугольных пирамид на экзаменах\. **Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $12$, а высота пирамиды равна $8$\. Найдите длину апофемы и площадь боковой поверхности пирамиды\. **Пошаговое решение:** 1\) **Исследуем основание:** В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат со стороной $a = 12$\. Периметр основания: $P_{\text{осн}} = 4 \cdot 12 = 48$\. Радиус вписанной в основание окружности \(расстояние от центра $O$ до стороны\): $$ r = \dfrac{a}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 $$ 2\) **Найдём апофему через треугольник **$\Delta SOM$**:** Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta SOM$, где $SO = H = 8$ \(высота\), $OM = r = 6$ \(радиус\), $SM = h_a$ \(апофема — гипотенуза\)\. По теореме Пифагора: $$ h_a = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 $$ 3\) **Вычислим площадь боковой поверхности:** $$ S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot h_a = \dfrac{1}{2} \cdot 48 \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240 $$ **Ответ:** апофема равна $10$, площадь боковой поверхности равна $240$\. **Условие:** В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $6$, а боковое ребро равно $\sqrt{13}$\. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём площадь основания:** В основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 6$: $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} $$ 2\) **Найдём апофему **$h_a$** из боковой грани:** Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l = \sqrt{13}$ и основанием $a = 6$\. Высота $h_a$ делит основание пополам \($3$ и $3$\)\. По теореме Пифагора: $$ h_a = \sqrt{l^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2} = \sqrt{13 - 9} = \sqrt{4} = 2 $$ 3\) **Найдём площадь боковой поверхности:** Периметр основания: $P_{\text{осн}} = 3 \cdot 6 = 18$\. $$ S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot h_a = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 2 = 18 $$ 4\) **Найдём площадь полной поверхности:** $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 9\sqrt{3} + 18 = 9(\sqrt{3} + 2) $$ **Ответ:** $9\sqrt{3} + 18$\. **Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $4\sqrt{2}$, а боковое ребро равно $5$\. Найдите объём пирамиды\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём площадь основания и радиус **$R$**:** В основании лежит квадрат со стороной $a = 4\sqrt{2}$\. $$ S_{\text{осн}} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 $$ Диагональ квадрата: $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8$\. Радиус описанной окружности \(половина диагонали\): $$ R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 $$ 2\) **Найдём высоту пирамиды \(**$H$**\) из треугольника ребра **$\Delta SOA$**:** В треугольнике $\Delta SOA$: гипотенуза $SA = l = 5$, катет $OA = R = 4$\. По теореме Пифагора \(египетский треугольник\): $$ H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 $$ 3\) **Вычислим объём пирамиды:** $$ V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot H = \dfrac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3 = 32 $$ **Ответ:** $32$\. **Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде площадь основания равна $64$, а площадь боковой поверхности равна $128$\. Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания и высоту пирамиды\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём косинус двугранного угла через теорему о площади проекции:** Основание пирамиды является ортогональной проекцией её боковой поверхности на горизонтальную плоскость: $S_{\text{осн}} = S_{\text{бок}} \cdot \cos\beta$\. Отсюда: $$ \cos\beta = \dfrac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{бок}}} = \dfrac{64}{128} = \dfrac{1}{2} $$ Так как $\cos\beta = \dfrac{1}{2}$, угол наклона боковой грани равен строго: $$ \beta = 60^\circ $$ 2\) **Найдём сторону основания и радиус **$r$**:** $S_{\text{осн}} = a^2 = 64 \implies a = 8$\. Радиус вписанной окружности квадрата: $r = \dfrac{a}{2} = 4$\. 3\) **Найдём высоту пирамиды \(**$H$**\) из треугольника **$\Delta SOM$**:** В прямоугольном треугольнике $\Delta SOM$ угол $\angle SMO = \beta = 60^\circ$: $$ H = r \cdot \tan\beta = 4 \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{3} $$ **Ответ:** угол наклона равен $60^\circ$, высота равна $4\sqrt{3}$\. **Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $6$, а боковое ребро равно $5$\. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды\. **Пошаговое решение:** 1\) **Геометрия сечения:** Диагональное сечение проходит через противоположные боковые рёбра $SA$ и $SC$ и диагональ основания $AC$\. Сечением является равнобедренный треугольник $\Delta SAC$, где $SA = SC = l = 5$, а основанием служит диагональ квадрата $AC = d$\. Высотой сечения является высота пирамиды $SO = H$\. 2\) **Найдём диагональ основания **$AC$**:** $$ AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \implies AO = R = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $$ 3\) **Найдём высоту пирамиды **$SO = H$** из треугольника **$\Delta SOA$**:** $$ H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7} $$ 4\) **Вычислим площадь треугольника **$\Delta SAC$**:** $$ S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot H = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{14} $$ **Ответ:** $3\sqrt{14}$\. ### Типичные ошибки в задачах на правильную пирамиду Четыре главные ошибки, на которых теряют баллы в 10 классе и на ЕГЭ: ##### Подстановка ребра вместо апофемы В формулу площади боковой поверхности $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot h_a$ ошибочно подставляют длину бокового ребра $l$\. Боковое ребро $l$ — это наклонная сторона грани, а апофема $h_a$ — её высота\! Всегда помните: $h_a < l$\. ##### Путаница радиусов R и r Связывают апофему с описанным радиусом $R$: $h_a^2 = H^2 + R^2$\. Апофема идёт к середине стороны, поэтому она работает **строго с радиусом вписанной окружности **$r$ \($h_a^2 = H^2 + r^2$\)\. Ребро идёт к вершине — оно работает с $R$ \($l^2 = H^2 + R^2$\)\. ##### Потеря коэффициента 1/3 в объёме Считают объём пирамиды по формуле призмы: $V = S_{\text{осн}} \cdot H$, получая завышенный в 3 раза результат\. В любой пирамиде объём всегда строго равен $\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} H$\! ##### Смешение угла наклона ребра и грани Считают, что угол наклона бокового ребра $\alpha$ и двугранный угол боковой грани $\beta$ равны\. Угол грани всегда круче: $\beta > \alpha$\. Ребро наклонено положе, так как расстояние до вершины $R$ больше расстояния до стороны $r$\. ## Задания на тему «Правильная пирамида» для 10 класса Тренажёры по теме «Правильная пирамида» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней\. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pravilnaya_piramida).