> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/predmet_stereometrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/predmet_stereometrii). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Предмет стереометрии в 10 классе: понятия и задачи **Предмет стереометрии в 10 классе** открывает старший курс школьной геометрии и переводит изучение геометрических законов из плоскости в трёхмерное пространство\. Название раздела происходит от древнегреческих слов *«стереос»* — объёмный, телесный, пространственный и *«метрео»* — измерять\. Если планиметрия 7–9 классов исследовала плоские фигуры, то стереометрия изучает форму, размеры, взаимное положение и свойства геометрических тел в пространстве\. Главная сложность при знакомстве со стереометрией — переход к трёхмерному восприятию: пространственные фигуры приходится изображать на плоском листе тетради или доски, где неизбежно искажаются углы и расстояния\. Освоение базовых понятий \(точки, прямые, плоскости, многогранники и тела вращения\) формирует фундамент для решения задач контрольных работ 10 класса и стереометрических номеров 3 и 14 профильного ЕГЭ по математике\. Ниже подробно разобраны классификация пространственных тел, законы параллельного проектирования, пошаговый порядок чтения пространственных чертежей, примеры типовых задач и открыт доступ к [онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-predmet-stereometrii-10-klass-ekzameo) с подробными решениями и проверкой ответов\. ## Что изучает стереометрия > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/predmet_stereometrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/predmet_stereometrii). **Стереометрия** — это раздел геометрии, изучающий свойства фигур и пространственных тел в трёхмерном пространстве\.  • **Основные элементы пространства:** — **Точка** \($A, B, C \dots$\) — базовый объект без измерений; — **Прямая** \($a, b$ или $AB$\) — одномерный бесконечный объект; — **Плоскость** \($\alpha, \beta, \gamma \dots$\) — двумерная бесконечная поверхность, которую на чертежах изображают параллелограммом\. • **Многогранники:** тела, граница которых состоит из конечного числа плоских многоугольников\. Основные элементы многогранника: — **Грани** — многоугольники, из которых составлена поверхность; — **Рёбра** — стороны граней \(отрезки, по которым смыкаются грани\); — **Вершины** — концы рёбер \(точки пересечения трёх и более рёбер\)\. • **Круглые тела \(тела вращения\):** тела, полученные вращением плоской геометрической фигуры вокруг фиксированной оси: **цилиндр** \(вращение прямоугольника\), **конус** \(вращение прямоугольного треугольника\), **шар** \(вращение полукруга\)\. • **Главный принцип планиметрии в пространстве:** в любой фиксированной плоскости пространства в полной мере выполняются все теоремы, свойства и формулы планиметрии 7–9 классов\. Любой стереометрический чертёж в тетради представляет собой **параллельную проекцию** пространственного тела на плоскость листа бумаги\. Чтобы правильно строить и читать чертежи, необходимо знать, какие геометрические свойства сохраняются при проектировании, а какие искажаются: **Что ВСЕГДА сохраняется при проектировании:** 1\. Прямолинейность: проекцией прямой является прямая \(или точка, если прямая параллельна направлению проектирования\), а проекцией отрезка — отрезок\. 2\. Параллельность: если прямые в пространстве параллельны, то их проекции на плоскость также параллельны \($a \parallel b \implies a' \parallel b'$\) либо совпадают\. 3\. Отношение отрезков одной прямой: если отрезок разделён точкой в отношении $2 : 3$, то и проекция отрезка делится в отношении $2 : 3$\. В частности, **середина отрезка всегда проектируется в середину проекции**\. **Что ИСКАЖАЕТСЯ при проектировании:** 1\. Длины непараллельных отрезков: равные отрезки в пространстве на чертеже могут иметь разную длину\. 2\. Углы между прямыми: прямой угол \($90^\circ$\) на чертеже может изображаться острым или тупым\. 3\. Форма фигур: правильный треугольник изображается произвольным треугольником, квадрат и прямоугольник — параллелограммом, а круг — эллипсом \(овалом\)\. 4\. Невидимые линии каркаса фигуры обязательно проводятся **штриховым пунктиром**\.  ### Сравнение планиметрии и стереометрии Переход в трёхмерное пространство расширяет геометрические соотношения и добавляет новые геометрические измерения: ##### Характеристика ##### Планиметрия \(7–9 класс\) ##### Стереометрия \(10–11 класс\) **Пространство** Двумерное \(одна фиксированная плоскость\)\. Трёхмерное \(бесконечное множество плоскостей\)\. **Базовые объекты** Точки и прямые линии\. Точки, прямые линии и **плоскости**\. **Изучаемые объекты** Плоские фигуры: треугольники, четырёхугольники, круги\. Пространственные тела: многогранники, цилиндры, конусы, сферы\. **Взаимное положение двух прямых** 2 случая: либо пересекаются, либо параллельны\. 3 случая: пересекаются, параллельны или **скрещиваются**\. **Числовые измерения** Длина периметра \($P$\) и площадь \($S$\)\. Площадь поверхности \($S_{\text{полн}}$\) и **объём тела** \($V$\)\. **Координаты** Пара чисел на плоскости: $(x; y)$\. Тройка чисел в пространстве: $(x; y; z)$\. #### Стереометрия в экзаменационных заданиях ЕГЭ Освоение предмета стереометрии необходимо для решения двух ключевых блоков единого государственного экзамена: ##### Задание 3 Профильного ЕГЭ Базовая стереометрия первой части: нахождение длин рёбер, диагоналей, площадей поверхностей и объёмов составных многогранников и тел вращения\. ##### Задание 14 Профильного ЕГЭ \(Часть 2\) Сложная стереометрическая задача \(3 первичных балла\): строгое геометрическое доказательство взаимного положения прямых и плоскостей, построение сечений и расчёт углов или расстояний\. ##### Задания 13 и 16 Базового ЕГЭ Вычисление объёмов комнат, резервуаров, правильных пирамид и цилиндров, а также практические задачи на сопоставление реальных физических объектов с их объёмами\. ##### Контрольные работы 10 и 11 класса Вся программа 10 и 11 класса по геометрии направлена на изучение стереометрии #### Пошаговый алгоритм чтения и построения стереометрического чертежа Чтобы избежать пространственных оптических иллюзий и грамотно работать с чертежами многогранников, выполняйте действия по алгоритму: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/predmet_stereometrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/predmet_stereometrii). **Постройте основание с учётом проекционных искажений:** изобразите нижнюю грань тела \(прямоугольник или квадрат рисуйте параллелограммом, правильный треугольник — произвольным разносторонним треугольником\)\. **Проведите боковые рёбра с соблюдением параллельности:** вертикальные или наклонные рёбра одинаковой ориентации проводите строго параллельными отрезками одинаковой длины\. **Обозначьте невидимые линии пунктиром:** все внутренние и задние рёбра, которые перекрываются передними гранями тела, изображайте штриховой пунктирной линией\. **Идентифицируйте взаимное положение прямых:** перед началом вычислений проверьте, лежат ли интересующие прямые в одной грани \(пересекаются или параллельны\) или принадлежат разным несмежным плоскостям \(скрещиваются\)\. #### Задания по предмету стереометрии с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений пяти базовых задач первой темы курса стереометрии 10 класса\. **Условие:** Определите количество вершин \($В$\), рёбер \($Р$\) и граней \($Г$\) пятиугольной призмы\. Проверьте для неё выполнение теоремы Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Количество вершин \(**$В$**\):** У пятиугольной призмы два пятиугольных основания \(верхнее и нижнее\)\. В каждом основании по $5$ вершин: $$ В = 5 \cdot 2 = 10 $$ 2\) **Количество рёбер \(**$Р$**\):** • $5$ рёбер в нижнем основании; • $5$ рёбер в верхнем основании; • $5$ боковых рёбер, соединяющих основания: $$ Р = 5 + 5 + 5 = 15 $$ 3\) **Количество граней \(**$Г$**\):** • $2$ основания \(пятиугольники\); • $5$ боковых граней \(четырёхугольники\): $$ Г = 2 + 5 = 7 $$ 4\) **Проверка теоремы Эйлера \(**$В - Р + Г = 2$**\):** $$ 10 - 15 + 7 = -5 + 7 = 2 $$ Равенство строго выполняется\. **Ответ:** $В = 10$, $Р = 15$, $Г = 7$; теорема Эйлера верна \($10 - 15 + 7 = 2$\)\. **Условие:** В пространстве дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 12\text{ см}$ и боковыми сторонами по $10\text{ см}$\. Точка $M$ — середина стороны $AB$\. На плоскость листа бумаги выполнена параллельная проекция треугольника в виде треугольника $A'B'C'$\. Отрезок $A'B' = 8\text{ см}$, а отрезок $B'C' = 6\text{ см}$\. Найдите длину проекции отрезка $A'M'$\. **Пошаговое решение:** 1\) При параллельном проектировании длины отрезков искажаются, поэтому стороны $A'B'$ и $B'C'$ на чертеже не обязаны быть равными \($8\text{ см} \neq 6\text{ см}$\)\. 2\) Однако по основному закону параллельного проектирования **отношение отрезков одной прямой сохраняется неизменным**\. 3\) Так как точка $M$ является серединой стороны $AB$ \($AM : MB = 1 : 1$\), её проекция $M'$ делит отрезок $A'B'$ строго пополам \($A'M' : M'B' = 1 : 1$\)\. 4\) Вычислим длину проекции отрезка $A'M'$: $$ A'M' = \dfrac{A'B'}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\text{ см} $$ **Ответ:** $4\text{ см}$\. **Условие:** Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит параллелограмм $ABCD$\. Определите взаимное расположение прямых: 1\) $AB$ и $CD$; 2\) $SA$ и $SC$; 3\) $SA$ и $BC$; 4\) средней линии треугольника $\Delta SAB$ \(параллельной $AB$\) и прямой $CD$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Прямые **$AB$** и **$CD$**:** Отрезки $AB$ и $CD$ — противоположные стороны параллелограмма $ABCD$\. Они лежат в одной плоскости основания и не имеют общих точек\. Вывод: **параллельные** \($AB \parallel CD$\)\. 2\) **Прямые **$SA$** и **$SC$**:** Отрезки $SA$ и $SC$ пересекаются в общей вершине пирамиды — точке $S$\. Они лежат в одной диагональной плоскости $(SAC)$\. Вывод: **пересекающиеся** \($SA \cap SC = S$\)\. 3\) **Прямые **$SA$** и **$BC$**:** Прямая $BC$ лежит в плоскости основания $(ABC)$, а прямая $SA$ пересекает эту плоскость в точке $A$\. Точка $A$ не лежит на прямой $BC$\. Прямые не имеют общих точек и не могут быть помещены в одну плоскость\. Вывод: **скрещивающиеся**\. 4\) **Средняя линия треугольника **$\Delta SAB$** и прямая **$CD$**:** Средняя линия $MN \parallel AB$\. Так как $AB \parallel CD$, по свойству транзитивности параллельности в пространстве прямая $MN$ параллельна прямой $CD$\. Они лежат в одной плоскости\. Вывод: **параллельные**\. **Ответ:** 1\) параллельные; 2\) пересекающиеся; 3\) скрещивающиеся; 4\) параллельные\. **Условие:** Для изготовления проволочного каркаса куба с ребром $5\text{ см}$ и правильного тетраэдра \(треугольной пирамиды, все грани которой — равные равносторонние треугольники\) с ребром $8\text{ см}$ нарезали куски металлической проволоки\. Для какого каркаса потребовалось больше проволоки и на сколько сантиметров? **Пошаговое решение:** 1\) **Каркас куба:** Куб имеет $12$ равных рёбер\. При длине ребра $a = 5\text{ см}$ суммарная длина проволоки равна: $$ L_{\text{куб}} = 12 \cdot a = 12 \cdot 5 = 60\text{ см} $$ 2\) **Каркас правильного тетраэдра:** Тетраэдр имеет $4$ вершины и $6$ рёбер \($3$ ребра основания и $3$ боковых ребра\)\. При длине ребра $b = 8\text{ см}$ суммарная длина проволоки равна: $$ L_{\text{тетр}} = 6 \cdot b = 6 \cdot 8 = 48\text{ см} $$ 3\) **Сравним результаты:** $$ L_{\text{куб}} - L_{\text{тетр}} = 60 - 48 = 12\text{ см} $$ **Ответ:** для куба потребовалось на $12\text{ см}$ больше проволоки\. **Условие:** Из предложенного списка пространственных тел выберите отдельно: а\) многогранники; б\) тела вращения\. Укажите, какая плоская фигура образует каждое тело вращения при повороте вокруг оси\. Список: *цилиндр, шестиугольная пирамида, конус, октаэдр, усечённая пирамида, шар, треугольная призма\.* **Пошаговое решение:** 1\) **Многогранники \(поверхность составлена из плоских многоугольников\):** • шестиугольная пирамида; • октаэдр \(правильный восьмигранник\); • усечённая пирамида; • треугольная призма\. 2\) **Тела вращения \(поверхность получена вращением кривой или отрезка\):** • **Цилиндр** — получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон; • **Конус** — получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов; • **Шар** — получается вращением полукруга вокруг его диаметра\. **Ответ:** а\) многогранники: шестиугольная пирамида, октаэдр, усечённая пирамида, треугольная призма; б\) тела вращения: цилиндр \(прямоугольник\), конус \(прямоугольный треугольник\), шар \(полукруг\)\. ##### Типичные ошибки при изучении стереометрии В начале курса 10 класса школьники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Измерение углов транспортиром по чертежу Пытаются приложить транспортир или линейку к плоскому чертежу куба или пирамиды\. Из\-за параллельного проектирования прямой угол основания куба на чертеже выглядит углом в $45^\circ$ или $60^\circ$\. Все величины в стереометрии **вычисляются строго логически и по формулам**, а не измеряются линейкой\! ##### Путаница между гранью и ребром Называют рёбра гранями, а грани — сторонами тела\. Запомните строгую терминологию: **грань — это двумерная плоская стенка \(многоугольник\)**, а **ребро — это одномерный отрезок\-граница** между двумя соседними гранями\. ##### Изображение невидимых линий сплошными Чертят все линии каркаса сплошными, превращая чертёж в нечитаемый оптический лабиринт\. Любое ребро, заслонённое передними непрозрачными гранями тела, обязано изображаться **штриховым пунктиром**\. ##### Ложное пересечение скрещивающихся линий Точку пересечения двух линий на чертеже принимают за реальную общую точку прямых в пространстве\. Всегда проверяйте принадлежность: если прямые лежат в разных плоскостях \(например, ребро пола и ребро потолка\), их видимое пересечение на бумаге — это **проекция скрещивающихся прямых**\. ## Тренажёр по предмету стереометрии для 10 класса Тренажёры на платформе Экзамео содержат подборку заданий по теме «Предмет стереометрии» за 10 класс для того, чтобы помочь школьникам освоиться с базовыми определениями стереометрии\. В каждом задании вы найдете подробное пояснение\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/predmet_stereometrii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/predmet_stereometrii).