> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Призма в 10 классе: свойства, сечения, задачи **Призма в курсе стереометрии 10 класса** — один из фундаментальных пространственных многогранников, на свойствах которого строится большинство заданий самостоятельных и контрольных работ\. На этой странице систематизированы ключевые свойства всех видов призм, детально разобраны отличия призмы от пирамиды, приведён наглядный алгоритм решения задач, разобраны пять эталонных прототипов самостоятельных работ и задания в онлайн\-[тренажёрах Экзамео](#trenazher-prizma-10-klass-ekzameo) с автоматической проверкой ответов и подробными решениями\. ## Определение призмы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma). **Призмой** называется многогранник, две грани которого являются равными $n$\-угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные $n$ граней — параллелограммами\.  Классификация призм по ориентации боковых рёбер: • **Прямая призма:** призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований \($l \perp \alpha_{\text{осн}}$\)\. Высота прямой призмы равна длине её бокового ребра \($H = l$\), а все боковые грани являются **прямоугольниками**\. • **Правильная призма:** прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник \(равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник\)\. Все боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники\. • **Наклонная призма:** призма, боковые рёбра которой наклонены к плоскости оснований под острым углом $\varphi < 90^\circ$\. Высота наклонной призмы всегда строго меньше её бокового ребра \($H = l \cdot \sin\varphi < l$\), а боковые грани являются **произвольными параллелограммами**\. • **Общие свойства всех призм:** основания равны и лежат в параллельных плоскостях; все боковые рёбра параллельны и равны между собой \($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = BB_1 = CC_1 = l$\)\. Главная трудность при расчёте наклонной призмы заключается в том, что стороны оснований не перпендикулярны боковым рёбрам, поэтому формула $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H$ для неё неприменима\. Для решения этой проблемы вводят **перпендикулярное сечение**: 1\. **Определение:** Перпендикулярным \(нормальным\) сечением призмы называется сечение плоскостью, которая пересекает все боковые рёбра призмы и **перпендикулярна к ним**\. 2\. **Стороны сечения как высоты граней:** Стороны многоугольника перпендикулярного сечения являются высотами соответствующих параллелограммов боковых граней, опущенными на боковые рёбра\. 3\. **Боковая поверхность наклонной призмы:** Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра: $$ S_{\text{бок}} = P_{\text{перп}} \cdot l $$ 4\. **Объём наклонной призмы:** Объём можно вычислять двумя равнозначными способами — через основание и высоту или через перпендикулярное сечение и боковое ребро: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot H = S_{\text{перп}} \cdot l $$ 5\. **Связь высоты и ребра:** Если боковое ребро $l$ наклонено к плоскости основания под углом $\varphi$, то высота $H$ находится из прямоугольного треугольника, образованного ребром, высотой и проекцией ребра на основание: $H = l \cdot \sin\varphi$\.  ### Сравнение прямой и наклонной призмы: формулы и свойства Наклонная и прямая призма имеют достаточно большое количество различий\. Собрали их все в сводную таблицу, чтобы вы не перепутали их на экзамене и воспользовались правильными формулами\. ##### Элемент / Параметр ##### Прямая призма ##### Наклонная призма ##### Геометрическая суть различия **Боковое ребро и высота** $H = l$ $H = l \cdot \sin\varphi < l$ В прямой призме ребро перпендикулярно основанию; в наклонной образует наклонный угол $\varphi < 90^\circ$\. **Форма боковых граней** Прямоугольники Параллелограммы У прямой призмы углы граней равны $90^\circ$; у наклонной грани содержат острые и тупые углы\. **Боковая поверхность \(**$S_{\text{бок}}$**\)** $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H$ $S_{\text{бок}} = P_{\text{перп}} \cdot l$ Для наклонной призмы периметр основания нельзя умножать на высоту — расчёт ведётся через перпендикулярное сечение\. **Объём призмы \(**$V$**\)** $V = S_{\text{осн}} \cdot H$ $V = S_{\text{осн}} \cdot H = S_{\text{перп}} \cdot l$ Базовая формула $V = S_{\text{осн}} \cdot H$ едина для всех призм, но у наклонной объём равен также $S_{\text{перп}} \cdot l$\. **Полная поверхность \(**$S_{\text{полн}}$**\)** $S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$ $S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$ У любой призмы ровно два равных основания; боковая поверхность суммируется с удвоенной площадью основания\. **Диагональные сечения** Прямоугольники Параллелограммы Сечение, проходящее через два не принадлежащих одной грани боковых ребра и диагонали оснований\. ### Где встречаются задачи на прямую и наклонную призму > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma). Задания на свойства прямой и наклонной призмы встречаются как в экзаменах в 11 классе \- как в ЕГЭ базового уровня, так и профильного\. ##### Самостоятельные работы 10 класса Тематические проверочные работы по учебнику Атанасяна: построение сечений призм плоскостями через заданные точки, нахождение площади перпендикулярного сечения наклонной призмы, расчёт объёмов треугольных и шестиугольных призм\. ##### Задание 14 Профильного ЕГЭ \(Часть 2\) Стереометрия с развёрнутым ответом \(3 балла\): построение сечений призм плоскостями, доказательство перпендикулярности плоскостей, расчёт углов между скрещивающимися прямыми и нахождение площади сечений\. ##### Задание 3 Профильного ЕГЭ Базовые задачи в 1–2 действия: нахождение объёма отсечённой треугольной призмы, расчёт уровня жидкости при переливании в сосуд другой формы и вычисление площади поверхности призм с вырезами\. ##### Задание 13 Базового ЕГЭ Практические расчётные задачи: вычисление вместимости баков призматической формы, объёма деталей и расхода отделочных материалов по площади поверхности призмы\. ### Алгоритм решения задач на прямую и наклонную призму При решении стереометрических задач на призму важно последовательно разделить геометрический анализ на исследование основания и пространственную связь рёбер с высотой\. Чертёж начинайте с нижнего основания по правилам параллельного проектирования, после чего проводите строго равные параллельные боковые рёбра \(вертикальные — для прямой призмы, наклонные — для наклонной\), отображая невидимые внутренние линии штриховым пунктиром\. **Определите тип призмы и форму основания:** выясните, является ли призма прямой или наклонной, и какой многоугольник лежит в основании \(правильный треугольник, прямоугольный треугольник, ромб, трапеция или шестиугольник\)\. Вычислите площадь основания $S_{\text{осн}}$ и его периметр $P_{\text{осн}}$\. **Установите связь бокового ребра с высотой:** • если призма прямая, высота равна боковому ребру \($H = l$\); • если призма наклонная, найдите высоту через угол наклона ребра к плоскости основания \($H = l \cdot \sin\varphi$\) либо найдите параметры перпендикулярного сечения \($P_{\text{перп}}, S_{\text{перп}}$\)\. **Постройте сечение с учётом параллельности граней:** если строится сечение, помните: следы секущей плоскости на параллельных гранях \(на основаниях или на противоположных гранях четырёхугольной призмы\) **строго параллельны между собой**\. Соединяйте отрезками только те точки, которые принадлежат одной грани\. **Рассмотрите опорный прямоугольный треугольник:** если в задаче дана пространственная диагональ призмы $d$, найдите диагональ основания $d_{\text{осн}}$ и примените теорему Пифагора к диагональному сечению: $d = \sqrt{d_{\text{осн}}^2 + H^2}$\. **Вычислите итоговые числовые характеристики:** подставьте найденные величины в формулу боковой поверхности \($P_{\text{осн}} \cdot H$ для прямой или $P_{\text{перп}} \cdot l$ для наклонной\), полной поверхности \($S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$\) или объёма \($V = S_{\text{осн}} \cdot H$\)\. ### Задачи на прямую и наклонную призму с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные решения пяти типовых задач самостоятельных работ 10 класса и заданий ЕГЭ, охватывающих прямые, правильные и наклонные призмы, чтобы вам было понятнее, как они используются в заданиях\. **Условие:** В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямоугольный треугольник с катетами $6\text{ см}$ и $8\text{ см}$\. Боковое ребро призмы равно $10\text{ см}$\. Найдите площадь полной поверхности и объём призмы\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём гипотенузу и периметр основания:** По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника в основании: $$ c_{\text{гип}} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ см} $$ Периметр основания: $$ P_{\text{осн}} = 6 + 8 + 10 = 24\text{ см} $$ 2\) **Вычислим площадь основания:** Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\text{ см}^2 $$ 3\) **Вычислим площадь боковой поверхности прямой призмы:** Так как призма прямая, её высота равна длине бокового ребра \($H = 10\text{ см}$\): $$ S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H = 24 \cdot 10 = 240\text{ см}^2 $$ 4\) **Найдём площадь полной поверхности:** $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 240 + 2 \cdot 24 = 240 + 48 = 288\text{ см}^2 $$ 5\) **Вычислим объём призмы:** $$ V = S_{\text{осн}} \cdot H = 24 \cdot 10 = 240\text{ см}^3 $$ **Ответ:** $S_{\text{полн}} = 288\text{ см}^2$; $V = 240\text{ см}^3$\. **Условие:** В наклонной треугольной призме боковое ребро равно $12\text{ см}$\. Перпендикулярным сечением призмы является прямоугольный треугольник с катетами $9\text{ см}$ и $12\text{ см}$\. Найдите площадь боковой поверхности и объём этой наклонной призмы\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём гипотенузу и периметр перпендикулярного сечения:** Перпендикулярное сечение — прямоугольный треугольник с катетами $9\text{ см}$ и $12\text{ см}$\. По теореме Пифагора найдём его гипотенузу: $$ c_{\text{перп}} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\text{ см} $$ Периметр перпендикулярного сечения: $$ P_{\text{перп}} = 9 + 12 + 15 = 36\text{ см} $$ 2\) **Вычислим площадь боковой поверхности наклонной призмы:** $$ S_{\text{бок}} = P_{\text{перп}} \cdot l = 36 \cdot 12 = 432\text{ см}^2 $$ 3\) **Вычислим площадь перпендикулярного сечения:** $$ S_{\text{перп}} = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\text{ см}^2 $$ 4\) **Вычислим объём наклонной призмы через перпендикулярное сечение:** $$ V = S_{\text{перп}} \cdot l = 54 \cdot 12 = 648\text{ см}^3 $$ **Ответ:** $S_{\text{бок}} = 432\text{ см}^2$; $V = 648\text{ см}^3$\. **Условие:** В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $4$, а боковое ребро равно $\sqrt{17}$\. Найдите длину большей диагонали этой призмы\. **Пошаговое решение:** 1\) **Геометрический анализ диагоналей шестиугольника:** В правильном шестиугольнике со стороной $a$ большая диагональ проходит через центр и равна удвоенной стороне: $d_{\text{бол}} = 2a$\. При стороне основания $a = 4$: $$ d_{\text{осн}} = 2 \cdot 4 = 8 $$ 2\) Большее диагональное сечение правильной призмы является прямоугольником со сторонами $d_{\text{осн}} = 8$ и высотой $H = \sqrt{17}$\. 3\) Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника диагонального сечения: $$ d = \sqrt{d_{\text{осн}}^2 + H^2} = \sqrt{8^2 + (\sqrt{17})^2} = \sqrt{64 + 17} = \sqrt{81} = 9 $$ **Ответ:** $9$\. **Условие:** В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ стороны основания равны $6$, а боковое ребро равно $8$\. Через сторону основания $AB$ и точку $M$ — середину бокового ребра $CC_1$ — проведена секущая плоскость\. Найдите площадь получившегося сечения\. **Пошаговое решение:** 1\) **Построим сечение:** • Точки $A$ и $B$ лежат в основании $(ABC)$ — соединяем их отрезком $AB = 6$\. • Точки $A$ и $M$ лежат в грани $AA_1C_1C$ — соединяем их отрезком $AM$\. • Точки $B$ и $M$ лежат в грани $BB_1C_1C$ — соединяем их отрезком $BM$\. Сечением призмы является треугольник $\Delta ABM$\. 2\) **Найдём стороны треугольника сечения:** Ребро $CC_1 = 8$, точка $M$ — середина, значит $CM = 4$\. Боковые грани $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ — прямоугольники, поэтому треугольники $\Delta ACM$ и $\Delta BCM$ прямоугольные \($\angle C = 90^\circ$\): $$ AM = BM = \sqrt{AC^2 + CM^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $$ Треугольник $\Delta ABM$ — равнобедренный с основанием $AB = 6$\. 3\) **Вычислим высоту и площадь сечения:** Проведём высоту $MK$ к основанию $AB$\. Точка $K$ делит сторону $AB$ пополам \($AK = 3$\)\. Из прямоугольного треугольника $\Delta AKM$: $$ MK = \sqrt{AM^2 - AK^2} = \sqrt{52 - 3^2} = \sqrt{52 - 9} = \sqrt{43} $$ Площадь сечения: $$ S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{43} = 3\sqrt{43} $$ **Ответ:** $3\sqrt{43}$\. **Условие:** В основании наклонной призмы лежит квадрат со стороной $4\text{ см}$\. Боковое ребро призмы равно $6\text{ см}$ и наклонено к плоскости основания под углом $30^\circ$\. Найдите объём этой призмы\. **Пошаговое решение:** 1\) **Вычислим площадь основания:** В основании лежит квадрат со стороной $a = 4\text{ см}$: $$ S_{\text{осн}} = a^2 = 4^2 = 16\text{ см}^2 $$ 2\) **Найдём высоту наклонной призмы \(**$H$**\):** Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $l = 6\text{ см}$, высотой $H$ и проекцией ребра на основание\. Высота лежит напротив угла в $30^\circ$: $$ H = l \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 3\text{ см} $$ 3\) **Вычислим объём наклонной призмы:** $$ V = S_{\text{осн}} \cdot H = 16 \cdot 3 = 48\text{ см}^3 $$ **Ответ:** $48\text{ см}^3$\. ### Типичные ошибки в задачах на призму > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma). При решении стереометрических задач на прямую и наклонную призмы десятиклассники чаще всего допускают следующие ошибки, посмотрите их и постарайтесь избежать при нарешивании тренажеров: ##### Подстановка бокового ребра вместо высоты В наклонной призме вычисляют объём по формуле прямой призмы: $V = S_{\text{осн}} \cdot l$\. В наклонной призме ребро длиннее высоты\! Объём равен $V = S_{\text{осн}} \cdot H$, где высоту находят через синус угла наклона: $H = l \cdot \sin\varphi$\. ##### Потеря второго основания в полной площади Вычисляют полную поверхность призмы как $S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}$, копируя формулу пирамиды\. У любой призмы **два параллельных основания** \(верхнее и нижнее\)\! Правильная формула: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$\. ##### Непараллельные следы на параллельных гранях При построении сечения призмы соединяют точки на параллельных гранях под произвольными углами\. Линии пересечения секущей плоскости с параллельными гранями \(основаниями или стенками\) **всегда строго параллельны между собой**\. ## Задания на тему «Призма» для 10 класса Тренажёры по теме «Призма» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней\. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prizma).