> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Признак перпендикулярности двух плоскостей На этой странице разберем** признак перпендикулярности двух плоскостей в 10 классе** \- он связывает перпендикулярность двух плоскостей с более простым отношением — перпендикулярностью прямой и плоскости\. Знание этого признака пригодится для обоснования взаимного расположения плоскостей во второй части профильного ЕГЭ по математике\(стереометрическая задача\), а также для нахождения расстояний от точек до плоскостей и построения высот в пирамидах и призмах\. Ниже сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей, его доказательство, форматы применения в экзаменационных задачах, подробный алгоритм и [тренажёры](#trenazher-priznak-perpendikulyarnosti-ploskostey-10-klass-ekzameo) с подробными объяснениями\. ## Признак перпендикулярности двух плоскостей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey). **Признак перпендикулярности двух плоскостей:** если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны\. Краткая символическая запись теоремы: $$ b \subset \alpha, \quad b \perp \beta \implies \alpha \perp \beta $$  **Иными словами,** чтобы доказать, что две плоскости пересекаются под углом $90^\circ$, достаточно найти или построить в одной из них прямую, которая перпендикулярна всей второй плоскости целиком\. **Достаточность условия:** не требуется искать линейный угол двугранного угла — перпендикулярность прямой гарантирует, что линейный угол автоматически окажется прямым\. **Дано:** плоскости $\alpha$ и $\beta$; прямая $b \subset \alpha$; $b \perp \beta$\. **Доказать:** $\alpha \perp \beta$\. **Доказательство:** 1\. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $a$ \($\alpha \cap \beta = a$\), так как имеют общую точку пересечения прямой $b$ с плоскостью $\beta$\. Обозначим эту точку через $A$ \($b \cap a = A$\)\. 2\. Так как по условию прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\beta$ \($b \perp \beta$\), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости\. Прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, следовательно: $b \perp a$\. 3\. В плоскости $\beta$ через точку $A$ проведём прямую $c$, перпендикулярную линии пересечения $a$ \($c \subset \beta$, $c \perp a$\)\. 4\. Так как $b \perp a$ \(в плоскости $\alpha$\) и $c \perp a$ \(в плоскости $\beta$\), угол между прямыми $b$ и $c$ по определению является **линейным углом двугранного угла** между плоскостями $\alpha$ и $\beta$\. 5\. Так как прямая $b \perp \beta$, а прямая $c \subset \beta$, то прямая $b$ перпендикулярна прямой $c$ \($b \perp c$\)\. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$\. 6\. Линейный угол двугранного угла равен $90^\circ$, значит, по определению плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны \($\alpha \perp \beta$\)\. Теорема полностью доказана\.  ### В каких задачах и в каком формате используется признак Признак перпендикулярности плоскостей применяется в школьной геометрии и на ЕГЭ в четырёх типовых форматах обоснования: ##### Обоснование пункта \(а\) Задания 14 ЕГЭ Формулировка задачи: «Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости грани»\. **Формат решения:** находят ребро или прямую в сечении, доказывают её перпендикулярность двум пересекающимся прямым грани \(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости\), после чего ссылаются на признак перпендикулярности плоскостей\. ##### Нахождение расстояния от точки до плоскости Чтобы опустить перпендикуляр из точки $M$ на плоскость $\beta$, через точку $M$ проводят вспомогательную плоскость $\alpha \perp \beta$\. **Формат решения:** перпендикуляр из точки $M$ на плоскость $\beta$ опускается **строго на линию пересечения плоскостей** $\alpha$ и $\beta$, сводя пространственную задачу к планиметрической высоте треугольника\. ##### Обоснование положения высоты пирамиды Если в условии сказано: «боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания»\. **Формат решения:** по следствию из признака высота всей пирамиды обязана лежать **внутри этой боковой грани** и падать на ребро основания \(основание высоты пирамиды лежит на ребре основания\)\. ##### Построение перпендикулярных сечений Требуется построить сечение призмы или куба, перпендикулярное грани или основанию\. **Формат решения:** секущую плоскость проводят через прямую, заранее перпендикулярную к заданной грани \(например, через боковое ребро прямой призмы\)\. ### Следствия из признака перпендикулярности плоскостей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey). При решении вычислительных задач опираются на три важнейших следствия из признака перпендикулярности плоскостей: ##### Следствие / Теорема ##### Геометрический смысл ##### Практическое применение **Перпендикуляр к линии пересечения** Если две плоскости перпендикулярны \($\alpha \perp \beta$\), то прямая, проведённая в плоскости $\alpha$ перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна всей плоскости $\beta$\. Позволяет опускать перпендикуляр из вершины пирамиды на основание внутри перпендикулярной грани\. **Две плоскости, перпендикулярные третьей** Если две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны третьей плоскости $\gamma$, то линия их пересечения перпендикулярна плоскости $\gamma$\. Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, то их общее боковое ребро является высотой пирамиды\. **Перпендикуляр из точки плоскости** Прямая, проведённая через точку плоскости $\beta$ перпендикулярно плоскости $\alpha$ \($\alpha \perp \beta$\), целиком лежит в плоскости $\beta$\. Гарантирует, что проекция фигуры из перпендикулярной плоскости остаётся на линии пересечения\. ### Алгоритм доказательства перпендикулярности плоскостей При решении задач на доказательство с использованием признака перпендикулярности плоскостей $\alpha \perp \beta$ в ЕГЭ по математике придерживайтесь следующего алгоритма \- он в целом одинаков для всех заданий: **Выберите плоскость и прямую\-кандидат:** определите, в какой из двух плоскостей удобнее найти прямую, потенциально перпендикулярную ко второй плоскости \(например, прямую $b \subset \alpha$\)\. Часто такой прямой служит ребро фигуры или высота сечения\. **Найдите две пересекающиеся прямые во второй плоскости:** найдите в плоскости $\beta$ две прямые $c_1$ и $c_2$, которые пересекаются \($c_1 \cap c_2 = M$\)\. **Докажите перпендикулярность прямой к обеим прямым:** обоснуйте, что выбранная прямая $b$ перпендикулярна каждой из них: $b \perp c_1$ и $b \perp c_2$ \(используйте теорему Пифагора, свойства квадрата/прямоугольника или теорему о трёх перпендикулярах\)\. **Сделайте промежуточный вывод о перпендикулярности прямой плоскости:** по признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключите, что прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\beta$ \($b \perp \beta$\)\. **Примените признак перпендикулярности плоскостей:** так как плоскость $\alpha$ проходит через прямую $b$, перпендикулярную плоскости $\beta$, сделайте итоговый вывод: плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны \($\alpha \perp \beta$\)\. #### Задачи на признак перпендикулярности плоскостей с решениями Ниже приведены решения пяти типовых задач, иллюстрирующих основные форматы применения признака на экзаменах\. Они помогут вам разобраться в использовании признака перпендикулярности двух плоскостей при решении настоящих задач\. **Условие:** В пирамиде $SABC$ ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$\. Докажите, что плоскость грани $(SAB)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, и плоскость грани $(SBC)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$\. **Пошаговое доказательство:** 1\) По условию ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$ \($SB \perp (ABC)$\)\. 2\) Рассмотрим плоскость боковой грани $(SAB)$\. Прямая $SB$ целиком лежит в плоскости этой грани \($SB \subset (SAB)$\)\. 3\) Так как плоскость $(SAB)$ проходит через прямую $SB$, перпендикулярную плоскости $(ABC)$, по признаку перпендикулярности двух плоскостей: $$ (SAB) \perp (ABC) $$ 4\) Аналогично рассмотрим плоскость боковой грани $(SBC)$\. Прямая $SB$ целиком лежит в плоскости $(SBC)$ \($SB \subset (SBC)$\)\. По признаку перпендикулярности двух плоскостей: $$ (SBC) \perp (ABC) $$ Обе грани взаимно перпендикулярны основанию пирамиды\. **Условие:** В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ докажите, что плоскость диагонального сечения $(BB_1D_1D)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$ и плоскости сечения $(AB_1C_1D)$\. **Пошаговое доказательство:** 1\) **Докажем **$(BB_1D_1D) \perp (ABC)$**:** Боковое ребро куба $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$ \($BB_1 \perp (ABC)$\)\. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости сечения $(BB_1D_1D)$\. По признаку перпендикулярности плоскостей: $$ (BB_1D_1D) \perp (ABC) $$ 2\) **Докажем **$(BB_1D_1D) \perp (AB_1C_1D)$**:** В квадрате основания $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$\. Отрезок $AC \parallel A_1C_1$, следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $A_1C_1$\. Боковое ребро $DD_1 \perp AC$, так как $DD_1 \perp (ABC)$\. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$ плоскости $(BB_1D_1D)$, значит: $$ AC \perp (BB_1D_1D) $$ Так как $A_1C_1 \parallel AC$, то и $A_1C_1 \perp (BB_1D_1D)$\. Плоскость сечения $(AB_1C_1D)$ проходит через прямую $A_1C_1$, перпендикулярную плоскости $(BB_1D_1D)$\. По признаку перпендикулярности плоскостей: $(AB_1C_1D) \perp (BB_1D_1D)$\. **Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $6$, а высота пирамиды $SO = 4$\. Найдите расстояние от центра основания $O$ до плоскости боковой грани $(SCD)$\. **Пошаговое решение:** 1\) Пусть $M$ — середина ребра $CD$\. Проведём плоскость $(SOM)$ через высоту $SO$ и апофему $SM$\. 2\) Докажем, что $(SOM) \perp (SCD)$: • $CD \perp OM$ \(в квадрате $ABCD$ отрезок $OM$ соединяет центр с серединой стороны\); • $CD \perp SM$ \(апофема равнобедренного треугольника $\Delta SCD$\)\. Прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $(SOM)$, значит, $CD \perp (SOM)$\. Плоскость $(SCD)$ проходит через прямую $CD \perp (SOM)$, следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей: $$ (SCD) \perp (SOM) $$ 3\) Линия пересечения этих плоскостей — отрезок апофемы $SM$\. По следствию из признака перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на прямую $SM$ \($OH \perp SM$\), является перпендикуляром ко всей плоскости $(SCD)$\. Отрезок $OH$ — искомое расстояние\. 4\) В прямоугольном треугольнике $\Delta SOM$: Катеты $SO = 4$, $OM = \dfrac{a}{2} = 3$\. Гипотенуза $SM = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$\. Высота $OH$, опущенная на гипотенузу: $$ OH = \dfrac{SO \cdot OM}{SM} = \dfrac{4 \cdot 3}{5} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4 $$ **Ответ:** $2{,}4$\. **Условие:** В треугольной пирамиде $SABC$ боковые грани $SAB$ и $SBC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$\. Докажите, что ребро $SB$ является высотой пирамиды\. **Пошаговое доказательство:** 1\) По условию задачи: • плоскость $(SAB) \perp (ABC)$; • плоскость $(SBC) \perp (ABC)$\. 2\) Плоскости $(SAB)$ и $(SBC)$ имеют общую точку $S$ и общую точку $B$, то есть пересекаются по прямой $SB$ \($(SAB) \cap (SBC) = SB$\)\. 3\) Применим следствие из признака перпендикулярности плоскостей: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения перпендикулярна этой третьей плоскости\. 4\) Следовательно, линия пересечения $SB$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$: $$ SB \perp (ABC) $$ Отрезок $SB$ перпендикулярен основанию и опущен из вершины $S$, то есть является высотой данной пирамиды\. **Условие:** Докажите с помощью признака перпендикулярности плоскостей, что любые две смежные грани прямоугольного параллелепипеда взаимно перпендикулярны\. **Пошаговое доказательство:** 1\) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и две его смежные грани: грань основания $(ABCD)$ и боковую грань $(ABB_1A_1)$\. 2\) По определению прямоугольного параллелепипеда боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$ \($AA_1 \perp (ABCD)$\)\. 3\) Ребро $AA_1$ целиком принадлежит плоскости боковой грани $(ABB_1A_1)$ \($AA_1 \subset (ABB_1A_1)$\)\. 4\) Так как плоскость $(ABB_1A_1)$ проходит через прямую $AA_1$, перпендикулярную плоскости $(ABCD)$, по признаку перпендикулярности двух плоскостей: $$ (ABB_1A_1) \perp (ABCD) $$ Аналогично доказывается перпендикулярность для любой другой пары смежных граней\. ### Типичные ошибки при применении признака При решении экзаменационных задач на доказательство перпендикулярности чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Перпендикулярность одной прямой вместо плоскости Находят прямую $b \subset \alpha$, которая перпендикулярна одной прямой $c \subset \beta$, и сразу делают вывод $\alpha \perp \beta$\. Прямая $b$ обязана быть **перпендикулярна всей плоскости **$\beta$ \(двум пересекающимся прямым этой плоскости\), а не одной отдельной линии\. ##### Прямая не лежит в плоскости Находят прямую $b \perp \beta$, но забывают обосновать, что эта прямая целиком принадлежит плоскости $\alpha$\. Признак требует обязательного выполнения включения: $b \subset \alpha$\. Если прямая не лежит в плоскости $\alpha$, вывод о перпендикулярности плоскостей неверен\. ##### Ложное обратное утверждение Считают, что если $\alpha \perp \beta$, то любая прямая плоскости $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$\. Это грубая ошибка: перпендикулярна плоскости $\beta$ будет **только та прямая плоскости **$\alpha$**, которая перпендикулярна линии их пересечения**\. ##### Отсутствие ссылки на признак в ЕГЭ Доказав $b \perp \beta$, сразу пишут ответ $\alpha \perp \beta$ без пояснений, теряя первичный балл за обоснование\. В чистовике обязательно фиксируют: **«по признаку перпендикулярности плоскостей, так как **$b \subset \alpha$** и **$b \perp \beta$**»**\. ## Задания на тему «Признак перпендикулярности двух плоскостей» для 10 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey). Тренажёры по теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней\. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов\. ##### Где признак перпендикулярности плоскостей применяется в реальной жизни Признак перпендикулярности двух плоскостей лежит в основе строительных технологий, монтажа высотных конструкций и корабельной инженерии: ##### Строительный отвес Чтобы возвести стену строго перпендикулярно полу, строители выравнивают угловую направляющую рейку по отвесу \($b \perp \text{полу}$\)\. По признаку плоскость стены, проходящая через эту вертикальную рейку, гарантированно перпендикулярна полу\. ##### Монтаж дверей Ось дверных петель выставляют строго вертикально \($a \perp \text{полу}$\)\. При повороте полотна дверь в любом положении остаётся строго перпендикулярной полу, не задевая напольное покрытие и не распахиваясь самопроизвольно под весом\. ##### Корабельные переборки Водонепроницаемые переборки судна устанавливают вдоль вертикальных балок шпангоутов, перпендикулярных килевой линии\. Это обеспечивает строгую перпендикулярность переборок к палубе и равномерное распределение давления забортной воды\. **1\. Лазерные построители плоскостей \(нивелиры\):** Прибор проецирует тонкий вертикальный луч лазера, перпендикулярный горизонту\. Разворачиваясь в веерную плоскость, этот луч формирует световую плоскость, которая по признаку перпендикулярности строго перпендикулярна полу, позволяя идеально ровно монтировать гипсокартонные перегородки\. **2\. Шахты скоростных лифтов в небоскрёбах:** Рельсовые направляющие кабины лифта монтируют строго перпендикулярно фундаментной плите\. Стены шахты, возведённые вдоль этих направляющих, образуют взаимно перпендикулярные плоскости, что исключает заклинивание противовеса и вибрации на скорости до $12\text{ м/с}$\. **3\. Пятикоординатные фрезерные станки с ЧПУ:** Обработка деталей сложной формы ведётся шпинделем, поворачивающимся вокруг базовой вертикальной оси\. Перпендикулярность плоскости фрезерования к опорному столу контролируется программно через задание оси вращения, перпендикулярной плоскости станины\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_dvuh_ploskostey).