> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Признак перпендикулярности прямой и плоскости 10 класс **Признак перпендикулярности прямой и плоскости в 10 классе** \(учебник геометрии Л\. С\. Атанасяна\) — центральная теорема стереометрии, связывающая плоские перпендикуляры с трёхмерным пространством\. По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна *абсолютно любой прямой*, лежащей в этой плоскости\. Проверить бесконечное число прямых на практике невозможно, и именно признак перпендикулярности даёт рабочий критерий: достаточно проверить перпендикулярность всего двум пересекающимся прямым\. Этот признак служит фундаментом для доказательства большинства пространственных теорем: на нём держится обоснование положения высоты пирамид и призм, признак перпендикулярности двух плоскостей, теорема о трёх перпендикулярах, а также вычисление расстояний и углов в задании №14 профильного ЕГЭ по математике\. Ниже приведена точная формулировка признака, его строгое доказательство в раскрывающемся блоке, форматы применения в стереометрических задачах, алгоритм решения, пять эталонных прототипов и доступ к [онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-priznak-perpendikulyarnosti-pryamoy-i-ploskosti-10-klass-ekzameo) с мгновенной проверкой ответов\. ## Признак перпендикулярности прямой и плоскости > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti). **Признак перпендикулярности прямой и плоскости:** если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости\. Символическая запись теоремы: $$ \begin{cases} a \perp b, \quad a \perp c \\ b \subset \alpha, \quad c \subset \alpha \\ b \cap c = O \end{cases} \implies a \perp \alpha $$  • **Определение перпендикулярности:** прямая называется перпендикулярной к плоскости \($a \perp \alpha$\), если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости \($a \perp m$ для любой $m \subset \alpha$\)\. • **Почему прямые обязаны пересекаться:** если прямые $b$ и $c$ параллельны между собой \($b \parallel c$\), они задают только одну прямую линию направления\. Прямая $a$ может быть перпендикулярна обеим этим параллельным прямым, но при этом лежать под наклоном к самой плоскости\. Только **пересекающиеся** прямые однозначно фиксируют плоскость в трёхмерном пространстве\. • **Следствие:** если прямая перпендикулярна плоскости, то, пересекая любую прямую этой плоскости \(или скрещиваясь с ней\), она образует с ней угол $90^\circ$\. **Дано:** прямые $b \subset \alpha, c \subset \alpha$, $b \cap c = O$; прямая $a \perp b$, $a \perp c$\. **Доказать:** $a \perp \alpha$ \(то есть $a \perp m$ для произвольной прямой $m \subset \alpha$\)\. **Доказательство:** 1\. Проведём через точку $O$ прямую $a_1 \parallel a$\. Так как при параллельном переносе углы между прямыми сохраняются, $a_1 \perp b$ и $a_1 \perp c$\. Если мы докажем, что $a_1 \perp \alpha$, то и $a \perp \alpha$\. Поэтому без ограничения общности будем считать, что прямая $a$ проходит через точку $O$\. 2\. Проведём в плоскости $\alpha$ через точку $O$ произвольную прямую $m$\. Отложим на прямой $a$ по разные стороны от точки $O$ равные отрезки $OA = OA_1$\. 3\. Проведём в плоскости $\alpha$ прямую, пересекающую прямые $b, m, c$ в точках $B, M, C$ соответственно \(так, чтобы точка $M$ лежала между $B$ и $C$\)\. 4\. Рассмотрим треугольник $\Delta ABA_1$: в нём отрезок $BO$ является медианой \($OA = OA_1$\) и высотой \($BO \perp AA_1$, так как $b \perp a$\)\. Следовательно, треугольник $\Delta ABA_1$ — равнобедренный, и $AB = A_1B$\. 5\. Аналогично, в треугольнике $\Delta ACA_1$ отрезок $CO$ — медиана и высота \($CO \perp AA_1$\), поэтому $AC = A_1C$\. 6\. Треугольники $\Delta ABC$ и $\Delta A_1BC$ равны по трём сторонам \($AB = A_1B$, $AC = A_1C$, $BC$ — общая\)\. Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle ABM = \angle A_1BM$\. 7\. Теперь рассмотрим треугольники $\Delta ABM$ и $\Delta A_1BM$: у них сторона $BM$ — общая, $AB = A_1B$, а углы между ними равны \($\angle ABM = \angle A_1BM$\)\. Значит, $\Delta ABM = \Delta A_1BM$ по двум сторонам и углу между ними\. Отсюда следует равенство третьих сторон: $AM = A_1M$\. 8\. В треугольнике $\Delta AMA_1$ стороны $AM = A_1M$, то есть он равнобедренный\. Отрезок $MO$ — медиана, проведённая к основанию $AA_1$\. В равнобедренном треугольнике медиана является высотой, следовательно, $MO \perp AA_1$, то есть $m \perp a$\. 9\. Так как $m$ — произвольная прямая плоскости $\alpha$, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, а значит, $a \perp \alpha$\. Теорема полностью доказана\.  ### Для чего признак применяется в стереометрии и на ЕГЭ В стереометрии признак перпендикулярности прямой и плоскости является главным рабочим инструментом перехода от плоских данных к пространственным выводам\. Он применяется в четырёх основных направлениях: ##### Обоснование высоты пирамиды и призмы Чтобы доказать, что отрезок $SO$ является высотой пирамиды \($SO \perp (ABC)$\), достаточно доказать перпендикулярность $SO$ двум пересекающимся прямым основания \(например, двум сторонам или диагоналям\)\. В прямой призме признак обосновывает перпендикулярность боковых рёбер основанию\. ##### База для признака перпендикулярности плоскостей Признак перпендикулярности двух плоскостей требует наличия прямой, перпендикулярной плоскости: $b \subset \alpha, b \perp \beta \implies \alpha \perp \beta$\. Перпендикулярность этой прямой плоскости $\beta$ в $100\%$ случаев доказывается именно через признак перпендикулярности прямой и плоскости\. ##### Теорема о трёх перпендикулярах и линейные углы Теорема о трёх перпендикулярах \(ТТП\) работает только при наличии перпендикуляра к плоскости\. Доказательство того, что прямая перпендикулярна плоскости, позволяет находить проекции наклонных и строить линейные углы двугранных углов в сечениях\. ##### Нахождение расстояний и углов \(Задание 14 ЕГЭ\) Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра\. Доказав по признаку, что отрезок перпендикулярен плоскости, мы сразу получаем готовое расстояние без громоздких координатных систем\. Также признак доказывает, что прямая перпендикулярна скрещивающейся с ней прямой\. ### Свойства прямой, перпендикулярной плоскости > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti). С признаком перпендикулярности неразрывно связаны четыре фундаментальные теоремы курса 10 класса: ##### Теорема / Свойство ##### Формулировка и соотношение ##### Практическое значение **Параллельные прямые и плоскость** Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости: $$ a \parallel b, \quad a \perp \alpha \implies b \perp \alpha $$ Позволяет доказать, что все боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны основанию, проверив всего одно ребро\. **Две прямые, перпендикулярные плоскости** Две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны между собой: $$ a \perp \alpha, \quad b \perp \alpha \implies a \parallel b $$ Обосновывает параллельность высот, опущенных на одну плоскость, и построение прямоугольных трапеций в сечениях\. **Прямая и параллельные плоскости** Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и второй плоскости: $$ \alpha \parallel \beta, \quad a \perp \alpha \implies a \perp \beta $$ Доказывает, что высота призмы перпендикулярна как нижнему, так и верхнему основанию одновременно\. **Существование и единственность** Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна\. Гарантирует однозначность опускания высоты из вершины многогранника на плоскость основания\. ### Алгоритм доказательства перпендикулярности прямой и плоскости При решении стереометрических задач на доказательство перпендикулярности прямой $a$ и плоскости $\alpha$ придерживайтесь чёткой последовательности шагов: **Зафиксируйте прямую и плоскость:** чётко выделите исследуемую прямую $a$ и плоскость $\alpha$, к которой требуется доказать перпендикулярность\. **Найдите две пересекающиеся прямые в плоскости:** выберите в плоскости $\alpha$ две прямые $b$ и $c$, которые пересекаются в явной точке \($b \cap c = O$\)\. Чаще всего это стороны треугольника, диагонали ромба/квадрата или основание и медиана\. **Докажите перпендикулярность прямой **$a$** к первой прямой:** обоснуйте, что $a \perp b$ \(используйте условие задачи, свойство прямоугольника, теорему Пифагора или свойство высоты равнобедренного треугольника\)\. **Докажите перпендикулярность прямой **$a$** ко второй прямой:** обоснуйте, что $a \perp c$ аналогичным геометрическим способом\. **Сформулируйте вывод по признаку:** запишите итоговое заключение: так как прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $b$ и $c$ плоскости $\alpha$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $a \perp \alpha$\. ### Типичные ошибки при доказательстве перпендикулярности При доказательстве перпендикулярности прямой и плоскости учащиеся 10 класса чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Перпендикулярность только одной прямой Доказывают $a \perp b$, где $b \subset \alpha$, и делают поспешный вывод $a \perp \alpha$\. Прямая может быть перпендикулярна одной линии плоскости, но наклонена ко всем остальным\. Признак требует перпендикулярности **двум пересекающимся прямым**\. ##### Выбор параллельных прямых вместо пересекающихся Находят две прямые $b \parallel c$ в плоскости $\alpha$ такие, что $a \perp b$ и $a \perp c$, и считают признак выполненным\. Две параллельные прямые задают лишь одно направление\. Прямые в плоскости **обязаны строго пересекаться** \($b \cap c = O$\)\. ##### Прямые не лежат в одной плоскости Берут прямую $b$ в одной грани, а прямую $c$ — в другой плоскости\. Обе выбранные прямые обязаны **целиком принадлежать именно той плоскости **$\alpha$, перпендикулярность к которой доказывается \($b \subset \alpha, c \subset \alpha$\)\. ##### Неполное определение перпендикулярности Доказав $a \perp \alpha$, сомневаются, перпендикулярна ли прямая $a$ скрещивающейся с ней прямой $m \subset \alpha$\. Если прямая перпендикулярна плоскости, она по определению **перпендикулярна абсолютно любой прямой этой плоскости**, независимо от того, пересекает она её или скрещивается с ней\. ## Задания на тему «Признак перпендикулярности прямой и плоскости» для 10 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti). Тренажёры по теме «Признак перпендикулярности прямой и плоскости» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней\. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/priznak_perpendikulyarnosti_pryamoy_i_ploskosti).