> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prostranstvennaya_teorema_pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prostranstvennaya_teorema_pifagora). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Пространственная теорема Пифагора \- формула и задачи На этой странице собрана полная теория, формула и типовые **задачи на пространственную теорему Пифагора** из школьного курса геометрии за 10 класс, самостоятельных работ и экзаменационных банков заданий\. Вы узнаете, как формулируется пространственная теорема Пифагора, как выводится её формула через диагональ прямоугольного параллелепипеда, разберёте доказательство и частные случаи для куба, а также сможете закрепить навык в [онлайн\-тренажёре с пошаговой проверкой ответов](#trenazher-prostranstvennaya-teorema-pifagora-ekzameo)\. Приступая к **задачам на пространственную теорему Пифагора**, важно помнить её ключевую геометрическую идею: диагональ прямоугольного параллелепипеда, диагональ его основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник\. Это означает, что вычисление диагонали всегда сводится к понятному универсальному алгоритму: применить классическую теорему Пифагора дважды — сначала для основания, затем для пространственной диагонали\. ## Формула пространственной теоремы Пифагора > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prostranstvennaya_teorema_pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prostranstvennaya_teorema_pifagora). **Пространственная теорема Пифагора** — квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $$ d^2 = a^2 + b^2 + c^2 $$ **Величины в формуле и единицы измерения:** • $d$ — диагональ параллелепипеда, измеряется в линейных единицах \($\text{см}$, $\text{м}$\)\. • $a, b, c$ — три измерения параллелепипеда: длина, ширина и высота\. Отсюда длина диагонали вычисляется как: $$ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $$  ## Что такое пространственная теорема Пифагора **Пространственная теорема Пифагора** — это обобщение классической теоремы Пифагора на трёхмерное пространство, которое изучается в курсе геометрии **10 класса**\. Если в планиметрии теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника \($c^2 = a^2 + b^2$\), то в стереометрии она связывает диагональ прямоугольного параллелепипеда с тремя его измерениями\. ### Особые случаи пространственной теоремы Пифагора 10 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prostranstvennaya_teorema_pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prostranstvennaya_teorema_pifagora). Помимо общего случая прямоугольного параллелепипеда, в задачах часто встречаются частные конфигурации: куб, диагональ грани и диагональ основания\. Для каждой из них удобно держать под рукой готовое выражение — это экономит время на контрольных и самостоятельных работах\. ##### Фигура ##### Формула диагонали ##### Когда применять **Прямоугольный параллелепипед** $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ Когда известны все три измерения параллелепипеда\. **Куб** $d = a\sqrt{3}$ Когда все рёбра куба равны $a$\. **Диагональ основания** $d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ Классическая теорема Пифагора для прямоугольника в основании\. **Дано:** прямоугольный параллелепипед с измерениями $a$, $b$, $c$ и диагональю $d$\.  **Доказать:** $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$\. **Доказательство:** 1\) Рассмотрим основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами $a$ и $b$\. Проведём диагональ основания $d_{\text{осн}}$\. 2\) По классической теореме Пифагора для прямоугольного треугольника в основании: $$ d_{\text{осн}}^2 = a^2 + b^2 $$ 3\) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю основания $d_{\text{осн}}$, высотой параллелепипеда $c$ и диагональю параллелепипеда $d$\. Угол между диагональю основания и высотой прямой, так как боковое ребро перпендикулярно плоскости основания\. 4\) Применим теорему Пифагора к этому треугольнику: $$ d^2 = d_{\text{осн}}^2 + c^2 $$ 5\) Подставим выражение для $d_{\text{осн}}^2$: $$ d^2 = (a^2 + b^2) + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 $$ **Что и требовалось доказать\.** ### Примеры решения задач на пространственную теорему Пифагора Рассмотрите подробные решения типовых задач на **пространственную теорему Пифагора** формата самостоятельных и контрольных работ в 10 классе\. **Условие:** Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны $3$, $4$ и $12$\. **Пошаговое решение:** 1\) Запишем измерения параллелепипеда: $a = 3$, $b = 4$, $c = 12$\. 2\) Применим формулу пространственной теоремы Пифагора: $$ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $$ 3\) Подставим значения и вычислим: $$ d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 $$ **Ответ:** 13\. **Условие:** Ребро куба равно $5$\. Найдите диагональ куба\. **Пошаговое решение:** 1\) У куба все измерения равны: $a = b = c = 5$\. 2\) Применим формулу для куба: $$ d = a\sqrt{3} $$ 3\) Подставим значение: $$ d = 5\sqrt{3} $$ **Ответ:** $5\sqrt{3}$\. #### Ошибки при решении задач на пространственную теорему Пифагора При применении пространственной теоремы Пифагора старшеклассники чаще всего допускают следующие ошибки: ##### Забывают про третье измерение Используют формулу $d^2 = a^2 + b^2$ как для плоскости и забывают про высоту $c$\. Помните: в пространстве измерений три\! ##### Путаница между диагональю грани и диагональю параллелепипеда Считают диагональю параллелепипеда диагональ его основания\. **Диагональ параллелепипеда соединяет противоположные вершины, не лежащие в одной грани**, поэтому её длина всегда больше диагонали любой грани\. ## Задачи на пространственную теорему Пифагора с решениями Задания на вычисление диагонали прямоугольного параллелепипеда, куба и диагонали основания собраны ниже для подготовки к самостоятельным и контрольным работам по геометрии в 11 классе\. В каждом задании вы найдёте подробное пошаговое решение и проверку ответов, а интерактивный тренажёр поможет довести навык применения пространственной теоремы Пифагора до автоматизма\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prostranstvennaya_teorema_pifagora](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/prostranstvennaya_teorema_pifagora).