> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Прямоугольный параллелепипед в 10 классе: свойства и задачи **Прямоугольный параллелепипед в курсе геометрии 10 класса** — базовый пространственный многогранник, свойства которого открывают систематическое изучение раздела стереометрии и служат фундаментом для экзаменационных заданий ЕГЭ по математике \(задание 3 и задание 14 профильного уровня, задание 13 базового уровня\)\. В повседневной жизни форму прямоугольного параллелепипеда имеют классные комнаты, кирпичи, морские контейнеры, книги, упаковки товаров и системные блоки компьютеров\. При подготовке к урокам и самостоятельным работам в 10 классе важно опираться на геометрические свойства прямоугольного параллелепипеда: попарное равенство и параллельность противоположных граней, равенство всех четырёх пространственных диагоналей, свойства прямых двугранных углов, а также расчёт площади поверхности и объёма тела через три его линейных измерения\. Ниже собраны все свойства фигуры, представлена сводная таблица формул, разобран подробный алгоритм и пошаговые решения задач, а также открыт доступ к [онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-pryamougolnyy-parallelepiped-10-klass-ekzameo) с мгновенной проверкой ответов\. ## Определение и свойства прямоугольного параллелепипеда > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped). **Прямоугольным параллелепипедом** называется прямой параллелепипед, у которого основаниями являются прямоугольники\. Это означает, что боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, а абсолютно все **шесть его граней являются прямоугольниками**\.  Главные свойства прямоугольного параллелепипеда: • **Линейные размеры \(три измерения\):** длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины: длина \($a$\), ширина \($b$\) и высота \($c$\)\. Три этих отрезка взаимно перпендикулярны и полностью задают геометрическую форму и размеры тела\. • **Свойства противоположных граней:** противоположные грани параллельны и равны между собой \($ABCD = A_1B_1C_1D_1$, $ABB_1A_1 = DCC_1D_1$, $AA_1D_1D = BB_1C_1C$\)\. Всего у параллелепипеда три пары равных прямоугольных граней\. • **Свойства двугранных углов:** любые две смежные грани взаимно перпендикулярны\. Все 12 двугранных углов параллелепипеда являются прямыми \($90^\circ$\)\. • **Свойства рёбер:** фигура содержит 12 рёбер, которые делятся на три четвёрки равных и параллельных между собой отрезков: 4 ребра длины $a$, 4 ребра ширины $b$ и 4 ребра высоты $c$\. • **Свойства диагоналей:** все четыре пространственные диагонали равны между собой \($AC_1 = BD_1 = CA_1 = DB_1 = d$\), пересекаются в одной точке и делятся ею пополам\. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии тела\. Геометрическая симметрия прямоугольного параллелепипеда даёт важные свойства для решения стереометрических задач повышенной сложности: 1\. **Диагональные сечения всегда являются прямоугольниками:** Сечение, проходящее через два противоположных боковых ребра \(например, $AA_1$ и $CC_1$\) и диагонали оснований \($AC$ и $A_1C_1$\), представляет собой прямоугольник $AA_1C_1C$\. Сторонами этого прямоугольника служат диагональ основания $d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ и высота $c$\. 2\. **Около любого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу:** Центр описанной сферы совпадает с точкой пересечения всех четырёх его пространственных диагоналей\. Диагональ параллелепипеда служит диаметром описанной сферы \($D = 2R = d$\), откуда радиус сферы равен половине пространственной диагонали: $$ R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2} $$ 3\. **Вписанная сфера существует не всегда:** В прямоугольный параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда он является кубом \($a = b = c$\)\. В этом случае диаметр сферы равен ребру куба \($2r = a$\)\.  ### Свойства и расчётные формулы прямоугольного параллелепипеда Справочная таблица основных формул для решения задач самостоятельных и контрольных работ в 10 классе: ##### Элемент / Величина ##### Формула ##### Для куба ##### Геометрическое свойство **Объём параллелепипеда** $V = a \cdot b \cdot c$ $V = a^3$ Объём равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{\text{осн}} \cdot c = ab \cdot c$\. **Площадь боковой поверхности** $S_{\text{бок}} = 2(a + b)c$ $S_{\text{бок}} = 4a^2$ Сумма площадей четырёх вертикальных граней: произведение периметра основания на высоту \($P_{\text{осн}} \cdot c$\)\. **Площадь полной поверхности** $S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac)$ $S_{\text{полн}} = 6a^2$ Сумма площадей всех шести граней тела \($2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$\)\. **Сумма длин всех рёбер** $L = 4(a + b + c)$ $L = 12a$ Сумма 12 рёбер: по 4 одинаковых ребра каждого из трёх измерений\. **Площадь диагонального сечения** $S_{\text{сеч}} = c\sqrt{a^2 + b^2}$ $S_{\text{сеч}} = a^2\sqrt{2}$ Сечение является прямоугольником со сторонами $d_{\text{осн}}$ и $c$\. **Связь объёма с площадями трёх граней** $V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$ $V = S_{\text{гр}}^{3/2}$ $S_1 = ab$, $S_2 = bc$, $S_3 = ac \implies S_1 S_2 S_3 = (abc)^2 = V^2$\. ### Где встречаются задачи на прямоугольный параллелепипед > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped). Задания на свойства и вычисление элементов прямоугольного параллелепипеда распределены по следующим учебным и экзаменационным блокам: ##### Самостоятельные работы 10 класса Тематические проверочные работы по учебнику Атанасяна: нахождение измерений по площадям граней, вычисление углов между скрещивающимися рёбрами и нахождение площади сечений\. ##### Задание 3 Профильного ЕГЭ Базовые стереометрические задачи: расчёт изменения объёма при масштабировании рёбер, нахождение площади поверхности фигур с вырезами и радиуса описанной сферы\. ##### Задание 13 Базового ЕГЭ Практические расчётные задачи: вычисление объёма комнат, массы жидкости в резервуаре, расхода краски для стен или кафельной плитки для облицовки бассейна\. ##### Задание 14 Профильного ЕГЭ \(Часть 2\) Задачи с развёрнутым ответом: введение декартовой системы координат $Oxyz$ вдоль рёбер параллелепипеда для нахождения расстояний и углов между скрещивающимися прямыми векторным методом\. ### Алгоритм решения задач на прямоугольный параллелепипед При решении стереометрических задач на прямоугольный параллелепипед ключевая цель — свести все пространственные данные к трём базовым линейным измерениям $a, b, c$\. Если в условии даны площади граней, периметры или отношения сторон, составьте систему алгебраических уравнений относительно этих трёх рёбер\. Чертёж начинайте с нижнего основания в виде параллелограмма, после чего восстанавливайте равные вертикальные рёбра, отображая невидимые внутренние линии штриховым пунктиром\. **Определите три линейных измерения фигуры:** найдите или обозначьте переменными \($a, b, c$\) длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины\. Если заданы пропорции \(например, $2 : 3 : 5$\), запишите рёбра как $2x, 3x, 5x$\. **Используйте свойства граней для составления уравнений:** свяжите известные площади с рёбрами: $S_{\text{осн}} = ab$, $S_{\text{бок1}} = bc$, $S_{\text{бок2}} = ac$\. Помните, что произведение площадей трёх смежных граней равно квадрату объёма: $S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = V^2$\. **Примените свойства диагоналей и сечений:** если в условии задано диагональное сечение, представьте его в виде прямоугольника со сторонами $d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ и $c$\. Если фигурирует описанная сфера, используйте связь диаметра с пространственной диагональю \($2R = d$\)\. **Используйте перпендикулярность смежных граней для углов:** так как рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям, угол между скрещивающимися прямыми на гранях параллелепипеда легко находится параллельным переносом отрезков в одну общую плоскость грани\. **Вычислите искомую геометрическую характеристику:** подставьте найденные измерения $a, b, c$ в итоговую формулу объёма $V = abc$, боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 2(a + b)c$, полной поверхности $S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac)$ или суммы длин всех рёбер $L = 4(a + b + c)$\. ### Задачи на прямоугольный параллелепипед с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач самостоятельных работ 10 класса и КИМов ЕГЭ, сфокусированных на геометрических свойствах параллелепипеда\. **Условие:** Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равны $12\text{ см}^2$, $15\text{ см}^2$ и $20\text{ см}^2$\. Найдите объём этого параллелепипеда и длины трёх его рёбер\. **Пошаговое решение:** 1\) Обозначим три линейных измерения параллелепипеда через $a, b, c$\. Грани, имеющие общую вершину, попарно образованы этими рёбрами: $$ ab = 12, \quad bc = 15, \quad ac = 20 $$ 2\) Перемножим эти три равенства почленно: $$ (ab) \cdot (bc) \cdot (ac) = 12 \cdot 15 \cdot 20 $$ $$ a^2 b^2 c^2 = (abc)^2 = 3600 $$ 3\) Так как объём прямоугольного параллелепипеда равен $V = abc$: $$ V = \sqrt{3600} = 60\text{ см}^3 $$ 4\) Найдём каждое ребро делением объёма на площадь соответствующей грани: • Ребро $c = \dfrac{V}{ab} = \dfrac{60}{12} = 5\text{ см}$; • Ребро $a = \dfrac{V}{bc} = \dfrac{60}{15} = 4\text{ см}$; • Ребро $b = \dfrac{V}{ac} = \dfrac{60}{20} = 3\text{ см}$\. **Ответ:** объём равен $60\text{ см}^3$; рёбра равны $4\text{ см}$, $3\text{ см}$, $5\text{ см}$\. **Условие:** Линейные размеры прямоугольного параллелепипеда относятся как $2 : 3 : 5$, а его объём равен $240\text{ см}^3$\. Найдите сумму длин всех его рёбер и площадь полной поверхности\. **Пошаговое решение:** 1\) Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$ \($x > 0$\)\. Измерения равны: $$ a = 2x, \quad b = 3x, \quad c = 5x $$ 2\) Запишем формулу объёма через введённую переменную: $$ V = a \cdot b \cdot c = 2x \cdot 3x \cdot 5x = 30x^3 $$ 3\) По условию $V = 240$: $$ 30x^3 = 240 \implies x^3 = 8 \implies x = 2\text{ см} $$ 4\) Найдём длины рёбер: $$ a = 2 \cdot 2 = 4\text{ см}, \quad b = 3 \cdot 2 = 6\text{ см}, \quad c = 5 \cdot 2 = 10\text{ см} $$ 5\) Вычислим сумму длин всех 12 рёбер: $$ L = 4(a + b + c) = 4(4 + 6 + 10) = 4 \cdot 20 = 80\text{ см} $$ 6\) Вычислим площадь полной поверхности: $$ S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac) = 2(4 \cdot 6 + 6 \cdot 10 + 4 \cdot 10) = 2(24 + 60 + 40) = 2 \cdot 124 = 248\text{ см}^2 $$ **Ответ:** сумма длин рёбер равна $80\text{ см}$; площадь поверхности равна $248\text{ см}^2$\. **Условие:** Длину прямоугольного параллелепипеда увеличили в $2$ раза, ширину увеличили в $3$ раза, а высоту уменьшили в $4$ раза\. Как и во сколько раз изменился объём параллелепипеда? **Пошаговое решение:** 1\) Пусть исходные измерения параллелепипеда равны $a, b, c$\. Тогда его начальный объём: $$ V_1 = a \cdot b \cdot c $$ 2\) Запишем новые линейные размеры параллелепипеда: $$ a_2 = 2a, \quad b_2 = 3b, \quad c_2 = \dfrac{c}{4} $$ 3\) Вычислим новый объём $V_2$: $$ V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = 2a \cdot 3b \cdot \dfrac{c}{4} = \dfrac{6}{4} \cdot abc = 1{,}5 \cdot abc $$ 4\) Найдём отношение нового объёма к начальному: $$ \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{1{,}5 \cdot abc}{abc} = 1{,}5 $$ Объём параллелепипеда увеличился в $1{,}5$ раза \(или на $50\%$\)\. **Ответ:** увеличился в $1{,}5$ раза\. **Условие:** В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $B_1C$\. **Пошаговое решение:** 1\) По свойству противоположных граней куба грань $AA_1B_1B$ параллельна и равна грани $DD_1C_1C$\. Отрезок $A_1B$ параллелен отрезку $D_1C$ \($A_1B \parallel D_1C$\)\. 2\) Заменим скрещивающуюся прямую $A_1B$ параллельной ей прямой $D_1C$, пересекающейся с прямой $B_1C$ в точке $C$\. Углом между скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $B_1C$ является угол $\angle B_1CD_1$ в треугольнике $\Delta B_1CD_1$\. 3\) Соединим вершины $B_1$ и $D_1$ отрезком $B_1D_1$ и рассмотрим треугольник $\Delta B_1CD_1$: • Отрезок $B_1C$ — диагональ правой грани куба со стороной $a$: $B_1C = a\sqrt{2}$; • Отрезок $D_1C$ — диагональ задней грани куба: $D_1C = a\sqrt{2}$; • Отрезок $B_1D_1$ — диагональ верхнего основания куба: $B_1D_1 = a\sqrt{2}$\. 4\) Все три стороны треугольника $\Delta B_1CD_1$ равны между собой \($B_1C = D_1C = B_1D_1 = a\sqrt{2}$\)\. Следовательно, треугольник $\Delta B_1CD_1$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$\. $$ \angle B_1CD_1 = 60^\circ $$ **Ответ:** $60^\circ$\. **Условие:** В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны $6$ и $8$, а площадь диагонального сечения равна $120$\. Найдите высоту параллелепипеда и радиус описанной около него сферы\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём диагональ прямоугольника основания \(**$AC$**\):** Стороны основания равны $a = 6$ и $b = 8$\. По теореме Пифагора для прямоугольника основания: $$ AC = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $$ 2\) **Найдём высоту параллелепипеда \(**$c$**\):** Диагональное сечение $AA_1C_1C$ является прямоугольником со сторонами $AC = 10$ и высотой $c$\. По формуле площади прямоугольника: $$ S_{\text{сеч}} = AC \cdot c \implies 120 = 10 \cdot c \implies c = \dfrac{120}{10} = 12 $$ 3\) **Найдём длину пространственной диагонали \(**$d$**\):** В диагональном сечении $AA_1C_1C$ отрезок $AC_1 = d$ является диагональю прямоугольника: $$ d = \sqrt{AC^2 + c^2} = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61} $$ 4\) **Найдём радиус описанной сферы:** По свойству сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, её диаметр равен пространственной диагонали \($2R = d$\): $$ R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{2\sqrt{61}}{2} = \sqrt{61} $$ **Ответ:** высота равна $12$; радиус описанной сферы равен $\sqrt{61}$\. ### Типичные ошибки в задачах на прямоугольный параллелепипед > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped). При выполнении самостоятельных работ и экзаменационных заданий десятиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Потеря коэффициента 2 в площади поверхности Складывают три произведения разных сторон: $ab + bc + ac$, забывая умножить сумму на два\. Параллелепипед состоит из 6 граней, которые попарно равны\! Результат обязательно **умножается на 2**: $S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac)$\. ##### Путаница диагонали грани и диагонали тела Считают, что диагональ основания равна пространственной диагонали фигуры\. Диагональ грани лежит на плоскости одной стенки \($d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2}$\), а **пространственная диагональ проходит сквозь всё тело** \($d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$\) и всегда длиннее диагонали любой грани\. ##### Линейное изменение объёма при увеличении рёбер Полагают, что если все рёбра параллелепипеда увеличить в 2 раза, то и объём увеличится в 2 раза\. При увеличении всех трёх измерений в $k$ раз объём увеличивается в $k^3$** раз**: $(2a)(2b)(2c) = 8abc$, то есть объём вырастет в 8 раз\! ##### Ложное равенство диагоналей граней Считают, что диагонали всех граней прямоугольного параллелепипеда равны между собой\. Равны только диагонали противоположных граней\. Диагонали разных смежных граней различны: $\sqrt{a^2+b^2} \neq \sqrt{b^2+c^2}$\. Все диагонали граней равны **исключительно у куба**\. ## Задания на тему «Прямоугольный параллелепипед» для 10 класса Тренажёры по теме «Прямоугольный параллелепипед» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней\. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/pryamougolnyy_parallelepiped).