> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Расстояние от точки до плоскости: формула и задачи На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Расстояние от точки до плоскости» по геометрии для 10 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь десятиклассникам досконально понять геометрическую суть расстояния в пространстве, освоить нахождение перпендикуляра, метод объёмов, а также выучить координатную формулу и без ошибок решать стереометрические задачи из контрольных работ и ЕГЭ\. Нахождение расстояния от точки до плоскости — фундаментальный навык в стереометрии 10 класса\. На экзаменах и контрольных эту задачу можно решать двумя независимыми путями: наглядными геометрияческими построениями или через координаты вектора нормали\. ## Теоретический справочник: расстояние от точки до плоскости > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti). Ниже подробно разобраны строгое определение, свойства перпендикуляра и два ключевых метода вычисления \- через классические теоремы стереометрии и с использованием координатного метода\. ### Определение расстояния и геометрический смысл #### Определение расстояния 🎯 **Расстоянием от точки до плоскости** называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость\. • Если точка лежит на самой плоскости, то расстояние от точки до плоскости равно $0$\. • Длина перпендикуляра — это **кратчайшее расстояние** от данной точки до любой точки плоскости \(любая наклонная строго длиннее перпендикуляра\)\. \[ Место для иллюстрации: Точка M вне плоскости α, опущенный перпендикуляр MO на плоскость и основание перпендикуляра O \] ### Классический метод нахождения расстояния от точки до плоскости > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti). В классическом геометрическом подходе к вычислению расстояния от точки до плоскости применяют два основных приёма: 1 ##### **Прямое построение перпендикуляра** Строится вспомогательная плоскость, перпендикулярная данной, и опускается высота в плоском треугольнике \(часто используется Теорема о трёх перпендикулярах\)\. 2 ##### **Метод объёмов \(метод вспомогательной пирамиды\)** Расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника $ABC$ рассматривается как **высота **$h$** пирамиды **$MABC$, опущенная на основание $ABC$\. Объём пирамиды вычисляется двумя способами: $$ V_{MABC} = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot h = \dfrac{1}{3} S_{\triangle MAC} \cdot h_B $$ И тогда можно выразить расстояние как высоту пирамиды $$ h = \dfrac{3 V_{MABC}}{S_{\triangle ABC}} $$ #### Лайфхак с параллельными прямыми и плоскостями\! 💡 Если прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$, то **расстояние от любой точки этой прямой до плоскости одинаково**\. Вы можете заменить «неудобную» точку $A$ на «удобную» точку $B$ на той же параллельной прямой или параллельной плоскости\! ### Расстояние от точки до плоскости через метод координат Если построить перпендикуляр геометрически трудно, всегда можно применить координатный метод решения задач стереометрии и воспользоваться формулой через координаты\. #### Формула расстояния от точки до плоскости: Пусть в декартовой системе координат $Oxyz$ дана точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и плоскость, заданная общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$\. Тогда **расстояние **$d$** от точки **$M_0$** до плоскости** вычисляется по формуле: $$ d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$ где $(A; B; C)$ — координаты вектора нормали плоскости, которые можно получить используя [Уравнение плоскости](/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti)\. ### Пошаговый алгоритм решения задач При решении стереометрических задач в 10 классе придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti). **Выберите метод решения:** \- Если фигура простая \(куб, прямоугольный параллелепипед\) — используйте **метод координат**\. \- Если легко находится объём пирамиды — используйте **метод объёмов**\. **Выполните математические расчёты:** \- В **методе координат**: найдите координаты $3$ точек плоскости, составьте уравнение $Ax+By+Cz+D=0$ и подставьте координаты точки в формулу\. \- В **классическом методе**: найдите площадь основания и объём пирамиды, а затем выразите высоту $h = \dfrac{3V}{S}$\. **Запишите ответ:** извлеките квадратные корни и запишите точное числовое значение\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ и ЕГЭ Рассмотрите решения задач, характерных для урока стереометрии за 10 класс и контрольных работ\. **Задание:** Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $1$\. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACD_1$\. **Подробное решение:** 1\) Поместим начало координат в точку $A(0;0;0)$\. Направим ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$\. 2\) Найдем координаты вершины $B$ и точек плоскости $ACD_1$: • Точка $B(1; 0; 0)$; • Точка $A(0; 0; 0)$, точка $C(1; 1; 0)$, точка $D_1(0; 1; 1)$\. 3\) Составим общее уравнение плоскости $ACD_1$: Так как плоскость проходит через $A(0;0;0)$, свободный член $D = 0 \implies Ax + By + Cz = 0$\. • Подставим $C(1; 1; 0) \implies A \cdot 1 + B \cdot 1 = 0 \implies A = -B$; • Подставим $D_1(0; 1; 1) \implies B \cdot 1 + C \cdot 1 = 0 \implies C = -B$\. Положим $B = -1$, тогда $A = 1, C = 1$\. Уравнение плоскости: $x - y + z = 0$\. 4\) Вычислим расстояние от точки $B(1; 0; 0)$ по формуле: $d = \dfrac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$\. **Ответ:** $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\. **Задание:** В правильной треугольной пирамиде $SABC$ стороны основания равны $6$, а боковые рёбра равны $\sqrt{21}$\. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$\. **Подробное решение:** 1\) Рассмотрим пирамиду $SABC$ \(она же $ASBC$\)\. Найдём её объём $V$: • Площадь правильного треугольника основания $ABC$: $S_{\triangle ABC} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$\. • Радиус описанной окружности основания $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$\. • Высота пирамиды $SO = \sqrt{SA^2 - R^2} = \sqrt{21 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{21 - 12} = \sqrt{9} = 3$\. • Объём пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SO = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}$\. 2\) Найдем площадь грани $SBC$: • Граница $SBC$ — равнобедренный треугольник со сторонами $\sqrt{21}, \sqrt{21}, 6$\. • Вычислим высоту $SK$, проведённую к основанию $BC = 6$ \(точка $K$ — середина $BC$\): $SK = \sqrt{SB^2 - BK^2} = \sqrt{21 - 3^2} = \sqrt{21 - 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$\. • Площадь грани: $S_{\triangle SBC} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$\. 3\) Найдем искомое расстояние $h$ от точки $A$ до плоскости $SBC$ через объём: $V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle SBC} \cdot h \implies 9\sqrt{3} = \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot h \implies 9\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot h \implies h = 4{,}5$\. **Ответ:** $4{,}5$\. ## Тренажёры по теме «Расстояние от точки до плоскости» на Экзамео Закрепите классический и координатный методы вычисления расстояния от точки до плоскости на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все стереометрические карточки, тесты и задачи по теме **«Расстояние от точки до плоскости» за 10 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО и материалами КИМ профильного ЕГЭ по математике\. В базе платформы представлены сотни вариантов задач в кубе, призме и пирамиде с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по геометрии за 10 класс на **Экзамео**, тренируйтесь в комфортном темпе и получайте отличные оценки за контрольные работы\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/rasstoyanie_ot_tochki_do_ploskosti).