> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/teorema_eylera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/teorema_eylera). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Теорема Эйлера для многогранников \- вывод и задания **Теорема Эйлера для многогранников в 10 классе** — одна из самых красивых и глубоких теорем школьного курса стереометрии, связывающая геометрию с топологией\. Впервые соотношение между элементами выпуклых тел было замечено Рене Декартом в 1630 году, а в 1750 году великий математик Леонард Эйлер строго сформулировал и доказал универсальный закон, которому подчиняется абсолютно любой выпуклый многогранник независимо от его формы, размеров и числа граней\. Теорема Эйлера выражается поразительно простой формулой: если сложить число вершин и число граней выпуклого тела и вычесть число его рёбер, то в результате **всегда получится число 2** \($В - Р + Г = 2$\)\. Это соотношение не только позволяет находить неизвестные элементы сложных пространственных фигур в контрольных работах 10 класса и заданиях ЕГЭ по математике, но и строго доказывает, почему в трёхмерном пространстве может существовать ровно пять правильных многогранников \(Платоновых тел\)\. Ниже подробно разобраны формулировка теоремы, её классическое топологическое доказательство, сводная таблица для различных многогранников, пошаговые решения задач и интерактивные [онлайн\-тренажёры Экзамео](#trenazher-teorema-eylera-10-klass-ekzameo) с мгновенной проверкой ответов\. ## Формула теоремы Эйлера — 10 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/teorema_eylera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/teorema_eylera). **Теорема Эйлера для выпуклых многогранников:** в любом выпуклом многограннике сумма числа вершин и числа граней на два больше числа его рёбер: $$ В - Р + Г = 2 $$ \[Место для иллюстрации: Иллюстрация теоремы Эйлера В \- Р \+ Г = 2 на примере тетраэдра, куба и октаэдра с выделением вершин точками, рёбер отрезками и граней цветом\] • **Компоненты формулы:** — $В$ \(или $V$ от лат\. *vertices*\) — количество вершин многогранника; — $Р$ \(или $E$ от лат\. *edges*\) — количество рёбер многогранника; — $Г$ \(или $F$ от лат\. *faces*\) — количество граней многогранника\. • **Эйлерова характеристика \(**$\chi$**\):** число $\chi = В - Р + Г$ называется эйлеровой характеристикой поверхности\. Для любого многогранника, граница которого топологически эквивалентна сфере \(включая все выпуклые многогранники\), эйлерова характеристика неизменно равна двум \($\chi = 2$\)\. • **Область применимости:** теорема справедлива для **всех выпуклых многогранников**, а также для невыпуклых многогранников без сквозных отверстий\. Если многогранник имеет форму «бублика» \(тора с дыркой\), соотношение меняется: для тороидального многогранника $В - Р + Г = 0$\. • **Вспомогательное правило подсчёта рёбер:** если сложить количество сторон всех граней многогранника, получится удвоенное число рёбер \($2Р$\), так как каждое ребро разделяют ровно две смежные грани\. Строгое доказательство теоремы Эйлера опирается на метод проекции сетки многогранника на плоскость \(превращение поверхности в плоский граф\): 1\. **Удаление одной грани и растяжение на плоскость:** Удалим одну из граней выпуклого многогранника \(например, основание\) и растянем оставшуюся многогранную оболочку на плоскости так, чтобы рёбра не пересекались\. Получится плоская сетка \(планарный граф\), внутри которой расположено $Г - 1$ многоугольных ячеек\. 2\. **Триангуляция сетки:** Если какие\-то ячейки имеют более трёх сторон, проведём в них непересекающиеся диагонали\. Каждая проведённая диагональ добавляет ровно $1$ ребро и разбивает ячейку на $2$ ячейки \(добавляет $1$ грань\)\. Число вершин при этом не меняется: $$ \Delta(В - Р + Г) = 0 - 1 + 1 = 0 $$ Величина $В - Р + Г$ остаётся абсолютно неизменной\. Теперь вся плоская сетка состоит исключительно из треугольников\. 3\. **Пошаговое удаление треугольников с края сетки:** Будем последовательно удалять треугольники с границы сетки один за другим\. Возможны два случая: • *Случай А \(у треугольника 1 внешнее ребро\):* удаляем это ребро и саму треугольную грань\. Число вершин не изменилось \($\Delta В = 0$\), число рёбер уменьшилось на $1$ \($\Delta Р = -1$\), число граней уменьшилось на $1$ \($\Delta Г = -1$\): $$ \Delta(В - Р + Г) = 0 - (-1) + (-1) = 0 $$ • *Случай Б \(у треугольника 2 внешних ребра и 1 свободная вершина\):* удаляем эту вершину, оба внешних ребра и треугольную грань \($\Delta В = -1, \Delta Р = -2, \Delta Г = -1$\): $$ \Delta(В - Р + Г) = -1 - (-2) + (-1) = -1 + 2 - 1 = 0 $$ 4\. **Финальный треугольник:** Продолжая удаление, в конце концов мы останемся с одним единственным треугольником на плоскости\. Для одного треугольника: $В = 3$, $Р = 3$, $Г = 1$ \(одна внутренняя область\): $$ В - Р + Г = 3 - 3 + 1 = 1 $$ 5\. **Возврат удалённой грани:** Вспомним, что в самом начале доказательства мы убрали одну грань многогранника\. Возвращая её обратно, получаем итоговое равенство: $$ В - Р + Г = 1 + 1 = 2 $$ Теорема Эйлера полностью доказана для любого выпуклого многогранника\.  ### Проверка формулы Эйлера для основных многогранников Таблица наглядно иллюстрирует выполнение равенства $В - Р + Г = 2$ для всех ключевых классов выпуклых многогранников школьного курса геометрии: ##### Многогранник ##### Вершины \(В\) ##### Рёбра \(Р\) ##### Грани \(Г\) ##### Проверка **Правильный тетраэдр** $4$ $6$ $4$ \(треугольники\) $4 - 6 + 4 = 2$ **Куб \(гексаэдр\)** $8$ $12$ $6$ \(квадраты\) $8 - 12 + 6 = 2$ **Октаэдр** $6$ $12$ $8$ \(треугольники\) $6 - 12 + 8 = 2$ **Додекаэдр** $20$ $30$ $12$ \(пятиугольники\) $20 - 30 + 12 = 2$ **Икосаэдр** $12$ $30$ $20$ \(треугольники\) $12 - 30 + 20 = 2$ $n$**\-угольная призма** $2n$ $3n$ $n + 2$ $2n - 3n + (n + 2) = 2$ $n$**\-угольная пирамида** $n + 1$ $2n$ $n + 1$ $(n + 1) - 2n + (n + 1) = 2$ #### Где применяется теорема Эйлера в геометрии и на ЕГЭ Формула Эйлера выступает незаменимым вычислительным и аналитическим аппаратом старшей школы: ##### Доказательство 5 правильных многогранников С помощью теоремы Эйлера математически строго доказывается, что выпуклых правильных многогранников не может быть больше пяти\. Неравенство $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{k} > \dfrac{1}{2}$ имеет ровно 5 целочисленных решений\. ##### Задание 3 Профильного ЕГЭ Нахождение числа вершин, рёбер или граней пространственных многогранников со сложной конфигурацией \(усечённые пирамиды, многогранники с отсечёнными или наращёнными углами\) без кропотливого ручного пересчёта по рисунку\. ##### Проверка возможности существования тела Теорема Эйлера позволяет мгновенно опровергнуть существование воображаемого многогранника: если заданная комбинация вершин, рёбер и граней не даёт в сумме 2, такого выпуклого многогранника в природе существовать не может\. ##### Сумма всех плоских углов многогранника Прямое следствие формулы Эйлера связывает сумму всех плоских углов всех граней любого выпуклого тела исключительно с числом его вершин: $\Sigma = (В - 2) \cdot 360^\circ$\. #### Алгоритм решения задач по теореме Эйлера При нахождении неизвестных элементов выпуклого многогранника можно использовать один и тот же алгоритм придерживайтесь следующей последовательности действий: **Определите суммарное число сторон всех граней:** перемножьте количество граней каждого вида на число их сторон и сложите результаты: $\Sigma_{\text{сторон}} = n_1Г_1 + n_2Г_2 + \dots$ **Вычислите количество рёбер \(**$Р$**\):** разделите полученную сумму сторон пополам \(так как каждое ребро разделяют две грани\): $Р = \dfrac{\Sigma_{\text{сторон}}}{2}$\. **Подсчитайте полное число граней \(**$Г$**\):** сложите количество граней всех типов: $Г = Г_1 + Г_2 + \dots$ **Найдите число вершин \(**$В$**\) по теореме Эйлера:** выразите $В$ из формулы $В - Р + Г = 2 \implies В = 2 + Р - Г$\. #### Задачи на теорему Эйлера с пошаговыми решениями Ниже приведены решения пяти типовых задач из контрольных работ и самостоятельных работ по теореме Эйлера для многогранников в 10 классе и заданий ЕГЭ по стереометрии\. **Условие:** Выпуклый многогранник имеет $30$ рёбер и $12$ граней\. Найдите количество вершин этого многогранника\. Каким правильным многогранником может являться это геометрическое тело? **Пошаговое решение:** 1\) Запишем формулу теоремы Эйлера для выпуклого многогранника: $$ В - Р + Г = 2 $$ 2\) Выразим неизвестное число вершин $В$: $$ В = 2 + Р - Г $$ 3\) Подставим числовые значения \($Р = 30, Г = 12$\): $$ В = 2 + 30 - 12 = 32 - 12 = 20\text{ вершин} $$ 4\) **Геометрическая идентификация:** Правильный многогранник, имеющий $12$ граней \(правильных пятиугольников\), $30$ рёбер и $20$ вершин — это **додекаэдр**\. **Ответ:** $20$ вершин; додекаэдр\. **Условие:** Поверхность футбольного мяча представляет собой выпуклый многогранник \(усечённый икосаэдр\), состоящий из $12$ правильных пятиугольников и $20$ правильных шестиугольников\. Сколько рёбер и сколько вершин имеет этот многогранник? **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём общее число граней \(**$Г$**\):** $$ Г = 12 + 20 = 32\text{ грани} $$ 2\) **Найдём число рёбер \(**$Р$**\):** Подсчитаем сумму сторон всех граней: • $12$ пятиугольников дают $12 \cdot 5 = 60$ сторон; • $20$ шестиугольников дают $20 \cdot 6 = 120$ сторон\. Суммарно: $60 + 120 = 180$ сторон\. Так как каждое ребро принадлежит двум граням: $$ 2Р = 180 \implies Р = \dfrac{180}{2} = 90\text{ рёбер} $$ 3\) **Найдём число вершин \(**$В$**\) по теореме Эйлера:** $$ В - Р + Г = 2 \implies В = 2 + Р - Г $$ $$ В = 2 + 90 - 32 = 92 - 32 = 60\text{ вершин} $$ *\(Замечание: именно поэтому знаменитая молекула фуллерена имеет химическую формулу *$C_{60}$*, так как *$60$* атомов углерода образуют вершины этой пространственной структуры\)*\. **Ответ:** $90$ рёбер, $60$ вершин\. **Условие:** С помощью теоремы Эйлера докажите, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники\. **Пошаговое доказательство:** 1\) Пусть грани правильного многогранника являются правильными $m$\-угольниками, и в каждой вершине сходится $k$ рёбер\. Так как в многограннике каждая грань имеет не менее $3$ сторон, а в каждой вершине сходится не менее $3$ рёбер, то $m \ge 3$ и $k \ge 3$\. 2\) Выразим $В$ и $Г$ через число рёбер $Р$: • Каждое ребро соединяет $2$ вершины: $k \cdot В = 2Р \implies В = \dfrac{2Р}{k}$; • Каждое ребро разделяет $2$ грани: $m \cdot Г = 2Р \implies Г = \dfrac{2Р}{m}$\. 3\) Подставим эти выражения в теорему Эйлера \($В - Р + Г = 2$\): $$ \dfrac{2Р}{k} - Р + \dfrac{2Р}{m} = 2 $$ 4\) Разделим обе части уравнения на $2Р$: $$ \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{Р} \implies \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{Р} $$ Так как $Р > 0$, получаем строгое неравенство: $$ \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} > \dfrac{1}{2} $$ 5\) Проверим случай, когда грани — шестиугольники \($m = 6$\): Так как в вершине должно сходиться не менее $3$ рёбер \($k \ge 3$\): $$ \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{6} \le \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $$ Сумма $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} \le \dfrac{1}{2}$, что противоречит строгому неравенству $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} > \dfrac{1}{2}$\. Следовательно, правильного многогранника из шестиугольников существовать не может\. **Условие:** У куба спилили все $8$ его вершин небольшими плоскими срезами так, что срезы не пересекаются между собой\. Сколько вершин, рёбер и граней имеет получившийся многогранник? Проверьте для него теорему Эйлера\. **Пошаговое решение:** 1\) **Исходный куб:** $В = 8$, $Р = 12$, $Г = 6$\. 2\) **Анализ усечения каждой вершины:** В каждой из $8$ вершин куба сходилось $3$ ребра\. При отсечении одного угла: • старая вершина исчезает, но на месте среза образуются $3$ новые вершины \(вместо $1$ вершины стало $3$ $\implies$ прибавка $+2$ вершины на каждый угол\); • срез образует $1$ новую грань \(треугольник\) и $3$ новых ребра\. 3\) **Подсчитаем новые элементы многогранника:** • Новые грани: $6$ старых граней \(ставших восьмиугольниками\) $+ 8$ новых треугольных граней: $$Г' = 6 \+ 8 = 14$$ • Новые вершины: у куба было $8$ вершин, на месте каждой появилось по $3$ вершины: $$В' = 8 \\cdot 3 = 24$$ • Новые рёбра: $12$ старых рёбер куба $+ 8 \cdot 3 = 24$ ребра треугольных срезов: $$Р' = 12 \+ 24 = 36$$ 4\) **Проверка по формуле Эйлера:** $$ В' - Р' + Г' = 24 - 36 + 14 = -12 + 14 = 2 $$ Теорема Эйлера строго выполняется\. **Ответ:** $24$ вершины, $36$ рёбер, $14$ граней; $24 - 36 + 14 = 2$\. **Условие:** Докажите, что сумма всех плоских углов всех граней любого выпуклого многогранника равна $(В - 2) \cdot 360^\circ$, и найдите эту сумму для икосаэдра\. **Пошаговое решение:** 1\) Пусть $k$\-я грань многогранника имеет $n_k$ сторон\. По формуле суммы углов многоугольника сумма её плоских углов равна: $$ S_k = (n_k - 2) \cdot 180^\circ $$ 2\) Просуммируем углы по всем $Г$ граням многогранника: $$ \Sigma = \sum_{k=1}^{Г} (n_k - 2) \cdot 180^\circ = 180^\circ \cdot \sum_{k=1}^{Г} n_k - 180^\circ \cdot 2Г $$ 3\) Сумма сторон всех граней равна удвоенному числу рёбер: $\sum n_k = 2Р$: $$ \Sigma = 180^\circ \cdot 2Р - 360^\circ \cdot Г = 360^\circ \cdot Р - 360^\circ \cdot Г = 360^\circ \cdot (Р - Г) $$ 4\) По теореме Эйлера: $В - Р + Г = 2 \implies Р - Г = В - 2$\. Подставим это выражение: $$ \Sigma = (В - 2) \cdot 360^\circ $$ Формула доказана\. 5\) **Вычислим сумму углов для икосаэдра:** Икосаэдр имеет $В = 12$ вершин: $$ \Sigma = (12 - 2) \cdot 360^\circ = 10 \cdot 360^\circ = 3600^\circ $$ *\(Проверка: у икосаэдра *$20$* треугольных граней; сумма углов одного треугольника равна *$180^\circ$*, а всех *$20$*: *$20 \cdot 180^\circ = 3600^\circ$*\)*\. **Ответ:** $3600^\circ$\. ##### Типичные ошибки в теореме Эйлера При решении стереометрических задач на теорему Эйлера чаще всего допускаются следующие четыре ошибки: ##### Путаница знаков плюс и минус Записывают формулу как $В + Р - Г = 2$ или $В + Р + Г = 2$\. Запомните мнемоническое правило: **«Вершины Минус Рёбра Плюс Грани»** \($В - Р + Г = 2$\)\. Минус стоит исключительно перед рёбрами\! ##### Применение формулы к невыпуклым телам с дырками Пытаются применить равенство к тороидальным многогранникам со сквозными проёмами\. Классическая теорема Эйлера \($= 2$\) выполняется **строго для выпуклых многогранников**\. Для многогранника в форме рамки \(тора\) $\chi = В - Р + Г = 0$\. ##### Забытое деление пополам при подсчёте рёбер Складывая стороны всех граней многогранника, забывают разделить результат на 2\. Каждое ребро является общей границей ровно двух граней, поэтому число рёбер **вдвое меньше суммы сторон всех граней**: $Р = \dfrac{\Sigma}{2}$\. ##### Путаница вершин и граней при переносе слагаемых Выражая число вершин $В$, ошибочно пишут $В = Р + Г - 2$\. При алгебраическом переносе слагаемых через знак равенства знаки меняются: $В = 2 + Р - Г$ и $Г = 2 + Р - В$\. ## Тренажёр по теореме Эйлера для многогранников \(10 класс\) > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/teorema_eylera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/teorema_eylera). Ниже собраны задания на теорему Эйлера для многогранников для 10 класса\. Для каждого из них вы найдете подробное решение и автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/teorema_eylera](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/teorema_eylera).