> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/tetraedr](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/tetraedr). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Тетраэдр \- теория и задачи с решениями Тема **«Тетраэдр» в 10 классе** по геометрии — это один из ключевых разделов курса стереометрии, на котором базируются задачи контрольных работ, пространственные чертежи и задания в ЕГЭ по математике как базового, так и профильного уровня\. На этой странице представлен подробный разбор темы: элементы многогранника, свойства правильного тетраэдра, формулы площадей и объёма, правила построения сечений плоскостью, а также [тренажёры с заданиями для подготовки к самостоятельным работам и ЕГЭ](#trenazher-i-zadachi-tetraedr-10-klass) с подробными решениями и объяснениями, которые помогут разобраться в теме\. ##### Анатомия тетраэдра: вершины, рёбра, грани и точки **Тетраэдр** — это простейший многогранник в пространстве \(треугольная пирамида\), поверхность которого состоит из четырёх треугольников\. Название происходит от греческого «тетра» \(четыре\) и «эдра» \(грань\)\.  На рисунке \- прямоугольный тэтраэдр Главная геометрическая особенность тетраэдра: у него нет выделенного основания\. Любую из четырёх граней можно принять за основание, а противолежащую точку — за вершину\. • **Точки и вершины тетраэдра:** тетраэдр имеет ровно $4$ вершины \(например, точки $A, B, C, D$\)\. Никакие четыре вершины не лежат в одной плоскости\. • **Грани тетраэдра:** ровно $4$ треугольные грани: $ABC, ABD, BCD, ACD$\. • **Рёбра тетраэдра:** ровно $6$ рёбер: $AB, BC, CA, DA, DB, DC$\. • **Скрещивающиеся \(противолежащие\) рёбра:** рёбра, не имеющие общих вершин\. У тетраэдра ровно $3$ пары скрещивающихся рёбер: $AB$ и $CD$, $AC$ и $BD$, $BC$ и $AD$\. • **Середина ребра тетраэдра:** середина любого ребра является опорной точкой для построения медиан граней, бимедиан и плоскостей сечений\. • **Медиана тетраэдра:** отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани \(центроидом грани\)\. Все 4 медианы пересекаются в одной точке — *центроиде тетраэдра \(«середине тетраэдра»\)* — и делятся ею в отношении $3 : 1$, считая от вершины\. • **Бимедианы:** отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер\. Все 3 бимедианы пересекаются в центроиде тетраэдра и делятся им пополам\. ## Правильный тетраэдр: свойства и формулы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/tetraedr](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/tetraedr). **Правильный тетраэдр** — это правильный многогранник \(одно из пяти платоновых тел\), у которого все 4 грани являются равными равносторонними треугольниками\. Все 6 рёбер правильного тетраэдра равны между собой \($a$\)\.  По своей сути правильный тэтраэдр является правильной треугольной пирамидой\. Так как все треугольники в гранях тетраэдра являются правильными \- все углы равны 60° Основные формулы, которые используются при решении задач с тетраэдром в 10 классе и на ЕГЭ по математике, как базового, так и профильного уровня\. Высота ##### Высота тетраэдра Высота падает в центр основания: $$ H = a\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3} $$ Полная площадь ##### Площадь поверхности Сумма площадей 4 правильных треугольников: $$ S = 4 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3} $$ Объём ##### Объём фигуры Рассчитывается через ребро $a$: $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} H = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12} $$ Радиус описанной сферы ##### Описанная сфера Проходит через все 4 вершины: $$ R = \dfrac{a\sqrt{6}}{4} = \dfrac{3}{4}H $$ Радиус вписанной сферы ##### Вписанная сфера Касается всех 4 граней: $$ r = \dfrac{a\sqrt{6}}{12} = \dfrac{1}{4}H = \dfrac{R}{3} $$ ### Сечение тетраэдра плоскостью: правила и формы При пересечении тетраэдра плоскостью могут получаться только два вида фигур: **треугольники** \(если плоскость пересекает 3 грани\) или **четырёхугольники** \(если плоскость пересекает все 4 грани\)\. Никаких пятиугольников или шестиугольников сечение тетраэдра содержать не может, так как у него всего 4 грани\. Одна из самых популярных задач 10 класса и профильного ЕГЭ — сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер тетраэдра: • Пусть точки $K, L, M, N$ — середины рёбер $AB, BC, CD, DA$\. • Отрезок $KL$ является средней линией $\triangle ABC$, поэтому $KL \parallel AC$ и $KL = \dfrac{1}{2}AC$\. • Отрезок $MN$ является средней линией $\triangle ACD$, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \dfrac{1}{2}AC$\. • Так как стороны $KL$ и $MN$ равны и параллельны, четырёхугольник $KLMN$ является **параллелограммом**\. • **Особенность правильного тетраэдра:** скрещивающиеся рёбра $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны \($AC \perp BD$\)\. Поэтому смежные стороны сечения перпендикулярны \($KL \perp LM$\), и параллелограмм превращается в **квадрат** со стороной $\dfrac{a}{2}$ и площадью $S = \dfrac{a^2}{4}$\. Сечение плоскостью представляет собой треугольник в двух случаях: 1\. Плоскость проходит через одну из вершин тетраэдра и пересекает противоположную грань по отрезку\. 2\. Плоскость «срезает» один из углов тетраэдра, проходя через внутренние точки трёх рёбер, исходящих из одной вершины\. • **Отношение объёмов при срезе угла:** если на рёбрах $SA, SB, SC$ отмечены точки $A_1, B_1, C_1$, то объём отсекаемого тетраэдра относится к объёму исходного как произведение отношений отрезков: $$ \dfrac{V_{SA_1B_1C_1}}{V_{SABC}} = \dfrac{SA_1}{SA} \cdot \dfrac{SB_1}{SB} \cdot \dfrac{SC_1}{SC} $$ В любом правильном тетраэдре каждая пара противоположных \(скрещивающихся\) рёбер взаимно перпендикулярна: $$ AB \perp CD, \quad AC \perp BD, \quad BC \perp AD $$ **Доказательство через теорему о трёх перпендикулярах:** спроецируем вершину $D$ на основание $ABC$\. Проекцией является центр правильного треугольника $H$\. Высота $CH$ перпендикулярна стороне $AB$\. Так как проекция $CH \perp AB$, то по теореме о трёх перпендикулярах и наклонная $CD \perp AB$\. #### Примеры решения задач на тетраэдр для 10 класса Ниже приведены подробные пошаговые решения задач, наиболее характерных для самостоятельных и проверочных работ по тетраэдру на уроках геометрии в 10 классе: **Условие:** Ребро правильного тетраэдра равно $6$\. Найдите площадь его полной поверхности, высоту и объём\. **Пошаговое решение:** 1\) Все грани тетраэдра — правильные треугольники со стороной $a = 6$\. Площадь одной грани: $$ S_{\text{грани}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} $$ 2\) Тетраэдр состоит из 4 таких граней, поэтому площадь полной поверхности равна: $$ S_{\text{полн}} = 4 \cdot 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3} $$ 3\) Вычислим высоту тетраэдра по формуле $H = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$: $$ H = \dfrac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6} $$ 4\) Вычислим объём тетраэдра по формуле $V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$: $$ V = \dfrac{6^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} $$ **Ответ:** $S = 36\sqrt{3}$; $H = 2\sqrt{6}$; $V = 18\sqrt{2}$\. **Условие:** В правильном тетраэдре $ABCD$ с ребром $8$ построена секущая плоскость, проходящая через середины рёбер $AB, BC, CD, DA$\. Определите вид получившегося сечения и найдите его площадь и периметр\. **Пошаговое решение:** 1\) Обозначим середины рёбер: $K \in AB$, $L \in BC$, $M \in CD$, $N \in DA$\. 2\) Отрезок $KL$ — средняя линия $\triangle ABC$, поэтому $KL \parallel AC$ и $KL = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$\. Отрезок $NM$ — средняя линия $\triangle ADC$, поэтому $NM \parallel AC$ и $NM = \dfrac{AC}{2} = 4$\. Отрезок $LM$ — средняя линия $\triangle BCD$, поэтому $LM \parallel BD$ и $LM = \dfrac{BD}{2} = 4$\. Отрезок $KN$ — средняя линия $\triangle ABD$, поэтому $KN \parallel BD$ и $KN = \dfrac{BD}{2} = 4$\. 3\) В правильном тетраэдре скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$\. Так как $KL \parallel AC$, а $LM \parallel BD$, то угол между сторонами сечения прямой: $\angle KLM = 90^\circ$\. 4\) Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами \($4$\) и прямыми углами является **квадратом**\. 5\) Вычислим периметр и площадь сечения: $$ P = 4 \cdot 4 = 16 $$ $$ S = 4^2 = 16 $$ **Ответ:** сечение является квадратом; $P = 16$, $S = 16$\. **Условие:** В правильном тетраэдре $ABCD$ ребро равно $a$\. Найдите расстояние между серединами скрещивающихся рёбер $AB$ и $CD$ \(длину бимедианы\)\. **Пошаговое решение:** 1\) Пусть точка $M$ — середина ребра $AB$, а точка $N$ — середина ребра $CD$\. Отрезок $MN$ соединяет середины противоположных рёбер\. 2\) Проведём медианы граней $MC$ в $\triangle ABC$ и $MD$ в $\triangle ABD$\. Так как треугольники правильные со стороной $a$, их медианы равны: $$ MC = MD = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} $$ 3\) Рассмотрим треугольник $CMD$\. Он равнобедренный, так как $MC = MD$\. Точка $N$ является серединой основания $CD = a$\. Следовательно, отрезок $MN$ является медианой и высотой в $\triangle CMD$ \($MN \perp CD$\)\. 4\) В прямоугольном треугольнике $MNC$ найдем катет $MN$ по теореме Пифагора: $$ MN = \sqrt{MC^2 - CN^2} $$ $$ CN = \dfrac{a}{2} $$ $$ MN = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{2a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} $$ **Ответ:** $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$\. #### Ошибки в заданиях с тетраэдрами При выполнении самостоятельных и контрольных работ по стереометрии учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки: ##### Путаница числа вершин и рёбер Ученики часто путают элементы тетраэдра: у него ровно $4$ вершины, $4$ грани и $6$ рёбер\. Для тетраэдра формула Эйлера: $B - P + \Gamma = 4 - 6 + 4 = 2$\. ##### Ошибки при определении вида сечения Сечение тетраэдра плоскостью может иметь максимум $4$ стороны \(треугольник или четырёхугольник\)\. Никаких пятиугольников в сечении тетраэдра существовать не может\. ##### Ошибки в формуле высоты правильного тетраэдра Высоту правильного тетраэдра $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$ ## Задания на тетраэдр для 10 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/tetraedr](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/tetraedr). В тренажерах вы найдете задачи разного уровня сложности на тетраэдр для 10 класса из контрольных и самостоятельных работ, а так же из ЕГЭ по математике базового и профильного уровня\. Для каждого задания доступно решение и автоматическая проверка ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/tetraedr](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/tetraedr).