> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Усечённая пирамида 10 класс стереометрия В этом разделе подробно рассматривается **тема «Усечённая пирамида» по стереометрии за 10 класс**\. Это один из ключевых многогранников курса геометрии 10–11 классов, связывающий свойства подобия пространственных фигур, сечений плоскостями и вычисления объёмов тел\. Понимание конструкции усечённой пирамиды необходимо для решения геометрических задач первой части, а также стереометрической задачм по второй части профильного ЕГЭ по математике\. На странице собрали всю теорию по усеченной пирамиде 10 класса: построение секущей плоскостью, параллельной основанию, свойства граней и рёбер, понятия апофемы и высоты, формулы площадей боковой и полной поверхности, вывод формулы объёма через площади оснований, а также детальный разбор типовых задач с чертежами\. Отработать тему усечённая пирамида можно после изучения теории в интерактивных [тренажёрах с подробными решениями\.](#usechonnaya-piramida-10-klass-na-platforme-ekzameo) ## Определение и элементы усечённой пирамиды > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida). Пусть дана произвольная пирамида\. Проведём плоскость, параллельную её основанию и пересекающую боковые рёбра\. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду у вершины\. #### Определение усечённой пирамиды 🎯 **Усечённая пирамида** — это многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной этому основанию\. • **Основания:** два подобных многоугольника \($A_1A_2\dots A_n$ и $B_1B_2\dots B_n$\), лежащих в параллельных плоскостях \(нижнее основание $S_1$ и верхнее $S_2$\)\. • **Боковые грани:** всегда являются **трапециями**\. • **Высота \(**$h$**\):** общий перпендикуляр, проведённый между плоскостями оснований\. • **Боковые рёбра:** отрезки, соединяющие соответственные вершины верхнего и нижнего оснований \(при продолжении пересекаются в одной точке — вершине исходной пирамиды\)\.  На рисунке пример усеченной пирамиды ## Правильная усечённая пирамида Усечённая пирамида называется **правильной**, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию\. #### Свойства правильной усечённой пирамиды: • Основания — **правильные одноимённые многоугольники** \(равносторонние треугольники, квадраты и т\. д\.\)\. • Все боковые грани — **равнобедренные трапеции**, равные между собой\. • Все боковые рёбра равны между собой и одинаково наклонены к основанию\. • Высота боковой грани \(трапеции\) называется **апофемой** правильной усечённой пирамиды \($l$\)\. ## Справочник формул: Площади и объём > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida). Сводная таблица расчетных формул для произвольной и правильной усечённой пирамиды: ##### Величина ##### Формула ##### Пояснения к переменным **Объём \(**$V$**\)** $$ V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right) $$ $h$ — высота, $S_1$ и $S_2$ — площади нижнего и верхнего оснований\. **Боковая поверхность \(правильная\)** $$ S_{\text{бок}} = \dfrac{P_1 + P_2}{2} \cdot l $$ $P_1, P_2$ — периметры оснований, $l$ — апофема \(высота боковой грани\)\. **Боковая поверхность \(произвольная\)** $$ S_{\text{бок}} = \sum S_{\text{трапеций}} $$ Сумма площадей всех $n$ боковых граней\-трапеций\. **Полная поверхность \(**$S_{\text{полн}}$**\)** $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_1 + S_2 $$ Сумма площадей боковой поверхности и двух оснований\. #### Стереометрические приёмы и подобие 💡 1\. **Достраивание до полной пирамиды:** Если формулу объёма усечённой пирамиды трудно вспомнить, продолжите боковые рёбра до вершины исходной пирамиды\. Объём усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и отсечённой малой пирамид: $V = V_{\text{бол}} - V_{\text{мал}}$\. 2\. **Коэффициент подобия \(**$k$**\):** Верхнее и нижнее основания подобны с коэффициентом $k = \dfrac{a_2}{a_1}$\. Площади оснований относятся как квадрат коэффициента: $\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$, откуда среднее геометрическое $\sqrt{S_1 S_2} = k \cdot S_1$\. 3\. **Осевое сечение:** Проводите сечение через высоту пирамиды и апофемы противоположных граней — получится равнобедренная трапеция, связывающая высоту пирамиды $h$, апофему $l$ и радиусы вписанных в основания окружностей \($r_1, r_2$\): $l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$\. ### Пошаговый алгоритм решения задач При решении стереометрических задач на усечённую пирамиду придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Вычислите параметры оснований:** найдите площади оснований $S_1, S_2$ и их периметры $P_1, P_2$ через стороны нижнего и верхнего многоугольников\. **Найдите линейные элементы из прямоугольных трапеций:** выделите сечение, проходящее через высоту $h$, боковое ребро или апофему $l$, и примените теорему Пифагора\. **Подставьте величины в целевую формулу:** вычислите объём по формуле с тремя слагаемыми или площадь поверхности и запишите ответ\. ### Разбор типовых стереометрических задач за 10 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida). Рассмотрите решения характерных задач по стереометрии на усечённую пирамиду\. **Задание:** Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны $6\text{ см}$ и $2\text{ см}$, а её высота равна $9\text{ см}$\. Найдите объём пирамиды\. **Подробное решение:** 1\) Основаниями правильной четырёхугольной усечённой пирамиды являются квадраты\. Найдем площади оснований: $$ S_1 = 6^2 = 36\text{ см}^2 $$ $$ S_2 = 2^2 = 4\text{ см}^2 $$ 2\) Вычислим среднее геометрическое площадей оснований: $$ \sqrt{S_1 \cdot S_2} = \sqrt{36 \cdot 4} = 6 \cdot 2 = 12\text{ см}^2 $$ 3\) Применим формулу объёма усечённой пирамиды при $h = 9$: $$ V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right) = \dfrac{1}{3} \cdot 9 \cdot (36 + 12 + 4) = 3 \cdot 52 = 156\text{ см}^3 $$ **Ответ:** $156\text{ см}^3$\. **Задание:** В правильной треугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны $8\text{ см}$ и $4\text{ см}$, а апофема равна $5\text{ см}$\. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды\. **Подробное решение:** 1\) Основания пирамиды — правильные треугольники\. Вычислим периметры оснований: $$ P_1 = 3 \cdot 8 = 24\text{ см} $$ $$ P_2 = 3 \cdot 4 = 12\text{ см} $$ 2\) Воспользуемся формулой площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды через полусумму периметров и апофему \($l = 5\text{ см}$\): $$ S_{\text{бок}} = \dfrac{P_1 + P_2}{2} \cdot l = \dfrac{24 + 12}{2} \cdot 5 = \dfrac{36}{2} \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90\text{ см}^2 $$ *\(Альтернативно: площадь одной грани\-трапеции *$S_{\text{гр}} = \dfrac{8 + 4}{2} \cdot 5 = 30$*, умножаем на три грани: *$3 \cdot 30 = 90\text{ см}^2$*\)\.* **Ответ:** $90\text{ см}^2$\. ## Задачи на усеченную пирамиду для 10 класса Ниже собраны тренажеры по заданиям на усеченную пирамиду с самостоятельных и контрольных работ, а так же из ЕГЭ по математике\. Для каждого задания вы найдете подробный разбор и решение, что поможет лучше разобраться в теме\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/usechennaya_piramida).