> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Дифференцирование показательной и логарифмической функций На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Дифференцирование показательной и логарифмической функций» по алгебре и началам математического анализа для 11 класса**\. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально освоить правила вычисления производных показательных и логарифмических функций, понять роль числа $e$ и натурального логарифма $\ln x$, научиться дифференцировать сложные комбинации и уверенно готовиться к контрольным работам и ЕГЭ\. Дифференцирование показательных и логарифмических функций — один из фундаментальных разделов математического анализа в 11 классе\. Нахождение производной от этих функций необходимо для исследования поведения графиков, поиска точек экстремума \(минимумов и максимумов\), а также для решения задач с прототипами Задания 12 профильного ЕГЭ по математике\. ## Теоретический справочник: таблицы и правила дифференцирования > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii). Ниже приведены фундаментальные формулы дифференцирования показательной и логарифмической функций с различным основанием\. ### 1\. Дифференцирование показательной функции Показательная функция имеет вид $y = a^x$, где $a > 0, a \neq 1$\. #### Формулы производной показательной функции 🎯 • **В общем виде \(с основанием **$a$**\):** $$\(a^x\)' = a^x \\ln a$$ • **Частный случай \(экспонента с основанием **$e \approx 2{,}718$**\):** $$\(e^x\)' = e^x$$ \[ Место для иллюстрации: График показательной функции y = e^x и касательная к нему, демонстрирующая совпадение значения функции и её производной \] **Заметьте уникальное свойство экспоненты:** функция $f(x) = e^x$ — единственная функция в математическом анализе \(с точностью до постоянного множителя\), производная которой **строго равна самой этой функции**\! ### 2\. Дифференцирование логарифмической функции > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii). Логарифмическая функция определена при $x > 0$ и имеет вид $y = \log_a x$\. #### Формулы производной логарифмической функции 🎯 • **В общем виде \(с основанием **$a$**\):** $$\(\\log\_a x\)' = \\dfrac\{1\}\{x \\ln a\}$$ • **Частный случай \(натуральный логарифм **$\ln x = \log_e x$**\):** $$\(\\ln x\)' = \\dfrac\{1\}\{x\}$$ ### 3\. Дифференцирование сложной показательной и логарифмической функций Если аргументом функции является не просто переменная $x$, а некоторая выражение\-функция $g(x)$, применяется правило вычисления **производной сложной функции**: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$\. ##### Вид сложной функции ##### Формула производной **Показательная с основанием **$e$**:** $y = e^{g(x)}$ $(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ **Показательная общего вида:** $y = a^{g(x)}$ $(a^{g(x)})' = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$ **Натуральный логарифм:** $y = \ln(g(x))$ $(\ln(g(x)))' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ **Логарифмическая общего вида:** $y = \log_a(g(x))$ $(\log_a(g(x)))' = \dfrac{g'(x)}{g(x) \ln a}$ #### Полезный лайфхак для ЕГЭ\! 💡 При поиске производной от произведения вида $y = (x - k) e^{g(x)}$ выносите экспоненту $e^{g(x)}$ за скобки\. Так как $e^{g(x)} > 0$ при любых $x$, при поиске точек экстремума \(где $y' = 0$\) экспонента не даёт корней и легко сокращается\! ### Пошаговый алгоритм нахождения производной При вычислении производных показательно\-логарифмических функций придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii). **Укажите область допустимых значений \(ОДЗ\):** для логарифмической функции подлогарифмическое выражение строго положительно \($g(x) > 0$\)\. **Определите структуру выражения:** выявите, является ли выражение суммой, произведением, частным или сложной функцией\. **Примените соответствующую формулу дифференцирования:** вычислите внешнюю производную и, при необходимости, домножьте на производную внутреннего аргумента $g'(x)$\. ### Разбор типовых задач из самостоятельных и контрольных работ 11 класса Рассмотрите решения задач, характерных для урока математического анализа за 11 класс и профильного ЕГЭ\. **Задание:** Найдите производную функции $y = (x^2 - 3x + 3) e^{x - 2}$\. **Подробное решение:** 1\) Воспользуемся формулой производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$\. 2\) Обозначим $u = x^2 - 3x + 3$, $v = e^{x - 2}$\. Вычислим их производные: $u' = 2x - 3$, $v' = (e^{x - 2})' = e^{x - 2} \cdot (x - 2)' = e^{x - 2}$\. 3\) Составим выражение производной $y'$: $y' = (2x - 3) e^{x - 2} + (x^2 - 3x + 3) e^{x - 2}$\. 4\) Вынесем общий множитель $e^{x - 2}$ за скобки и приведём подобные слагаемые: $y' = e^{x - 2} \cdot (2x - 3 + x^2 - 3x + 3) = e^{x - 2} \cdot (x^2 - x) = x(x - 1)e^{x - 2}$\. **Ответ:** $y' = x(x - 1)e^{x - 2}$\. **Задание:** Найдите производную функции $y = \ln(x^2 + 5x + 6) - 3x$\. **Подробное решение:** 1\) Применим правило дифференцирования суммы и формулу $(\ln(g(x)))' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$\. 2\) Для первого слагаемого $g(x) = x^2 + 5x + 6$, его производная $g'(x) = 2x + 5$\. Получаем: $(\ln(x^2 + 5x + 6))' = \dfrac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6}$\. 3\) Производная второго слагаемого: $(-3x)' = -3$\. 4\) Итоговая производная равен: $y' = \dfrac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6} - 3$\. **Ответ:** $y' = \dfrac{2x + 5}{x^2 + 5x + 6} - 3$\. ## Тренажёры по теме «Дифференцирование показательной и логарифмической функций» на Экзамео Закрепите навыки дифференцирования показательных и логарифмических функций на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все дифференциальные карточки и проверочные тесты по теме **«Дифференцирование показательной и логарифмической функций» за 11 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по алгебре и материалами профильного ЕГЭ по математике\. В базе платформы представлены сотни упражнений с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по алгебре и началам анализа за 11 класс на **Экзамео**, тренируйтесь в комфортном темпе и успешно сдавайте все контрольные работы и ЕГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/differentsirovanie_pokazatelnoi_i_logarifmicheskoi_funktsii).