> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # функция рациональной степени \- свойства, графики и тренажёры На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Степенная функция с рациональным показателем» по алгебре и началам математического анализа для 11 класса**\. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь старшеклассникам досконально понять особенности функций степеней с рациональным показателем, изучить их графики и свойства, научиться отличать степенную функцию от показательной и без ошибок решать задания из самостоятельных и контрольных работ, а также ЕГЭ\. Понятие степени с рациональным показателем расширяет привычные представления об алгебраических функциях\. Работа с выражениями вида $y = x^{r}$, где $r = \frac{m}{n}$ — дробное число, фундаментально важна для вычисления производных, исследования функций и решения иррациональных уравнений\. ## Теоретический справочник: свойства и графики > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki). Рассмотрим базовое определение степенной функции с дробным показателем, её ключевые свойства и варианты построения графиков\. ### 1\. Определение функции и область определения #### Определение степенной функции 🎯 **Степенной функцией с рациональным показателем** называют функцию вида: $$y = x^r \\quad \\text\{или\} \\quad y = x^\{\\frac\{m\}\{n\}\}$$ где $r = \frac{m}{n}$ — неотрицательное или отрицательное рациональное число \($m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$\)\. **Область определения \(ОДЗ\):** По общему соглашению в математическом анализе, для функции с дробным показателем $r = \frac{m}{n}$ основание $x$ рассматривается на луче $x \ge 0$ \(при $r > 0$\) или интервале $x > 0$ \(при $r < 0$\)\. Это необходимо для однозначности вычислений при любых знаменателях $n$\. #### Важно: не путай степенную и показательную функции\! 💡 • **Степенная функция \(**$y = x^r$**\):** переменная $x$ находится в **основании**, а показатель $r$ — постоянное число \(например, $y = x^{2/3}$\)\. • **Показательная функция \(**$y = a^x$**\):** постоянное число $a$ находится в основании, а переменная $x$ — в **показателе** \(например, $y = (2/3)^x$\)\. ### 2\. Графики функций степеней с рациональным показателем > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki). Поведение графика функции $y = x^r$ при $x > 0$ напрямую зависит от величины рационального показателя $r$: ##### 1\. Случай $r > 1$ 📈 • Функция **строго возрастает**\. • Выпукла вниз \(кривая направлена вверх аналогично параболе\)\. • Проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$\. • *Пример:* $y = x^{3/2}$\. ##### 2\. Случай $0 < r < 1$ 📉 • Функция **возрастает**, но замедляется\. • Выпукла вверх \(кривая похожа на ветвь квадратного корня\)\. • Проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$\. • *Пример:* $y = x^{1/3}$\. ##### 3\. Случай $r < 0$ 🔄 • Функция **строго убывает**\. • Имеет асимптоты $x = 0$ и $y = 0$ \(кривая типа гиперболы\)\. • Проходит через точку $(1; 1)$\. • *Пример:* $y = x^{-1/2}$\. \[ Место для иллюстрации: Графики степенных функций y = x^\(3/2\), y = x^\(1/2\) и y = x^\(\-1/2\) в первой координатной четверти \] ### 3\. Основные свойства функции $y = x^r$ \($x > 0$\) #### Сводные свойства: 1\. **Непрерывность:** функция непрерывна на всей области определения\. 2\. **Монотонность:** • При $r > 0$ функция строго возрастает на $[0; +\infty)$\. • При $r < 0$ функция строго убывает на $(0; +\infty)$\. 3\. **Производная:** вычисляется по стандартной формуле степенной функции: $$\(x^r\)' = r \\cdot x^\{r \- 1\}$$ 4\. **Первообразная:** $$\\int x^r \\, dx = \\dfrac\{x^\{r \+ 1\}\}\{r \+ 1\} \+ C \\quad \(r \\neq \-1\)$$ ### Пошаговый алгоритм исследования функции При исследовании и дифференцировании степенных функций с рациональным показателем придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki). **Определите ОДЗ:** зафиксируйте ограничение для основания $x \ge 0$ или $x > 0$\. **Преобразуйте иррациональные выражения к степени:** перейдите от корней к дробным показателям \($\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$\)\. **Примените свойства степеней или производную:** выполните действия со степенями \($x^a \cdot x^b = x^{a+b}$\) или вычислите производную $(x^r)' = r x^{r-1}$\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ за 11 класс Рассмотрите решения задач, характерных для уроков алгебры за 11 класс\. **Задание:** Найдите значение производной функции $f(x) = x^{4/3} - 6x^{1/3}$ в точке $x = 8$\. **Подробное решение:** 1\) Воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^r)' = r x^{r-1}$: $f'(x) = \dfrac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} - 6 \cdot \dfrac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \dfrac{4}{3} x^{1/3} - 2 x^{-2/3}$\. 2\) Перепишем выражение через корни для удобства вычислений: $f'(x) = \dfrac{4}{3} \sqrt[3]{x} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}}$\. 3\) Подставим $x = 8$: $\sqrt[3]{8} = 2$, значит: $f'(8) = \dfrac{4}{3} \cdot 2 - \dfrac{2}{2^2} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{16 - 3}{6} = \dfrac{13}{6} = 2\dfrac{1}{6}$\. **Ответ:** $2\dfrac{1}{6}$\. **Задание:** Сравните числа $(3{,}2)^{0{,}7}$ и $(4{,}1)^{0{,}7}$\. **Подробное решение:** 1\) Данные выражения представляют собой значения степенной функции $f(x) = x^{0{,}7}$ при $x_1 = 3{,}2$ и $x_2 = 4{,}1$\. 2\) Показатель степени $r = 0{,}7 > 0$\. Следовательно, степенная функция $y = x^{0{,}7}$ является **строго возрастающей** на своей области определения\. 3\) Так как $3{,}2 < 4{,}1$, то для возрастающей функции выполняется неравенство: $f(3{,}2) < f(4{,}1) \implies (3{,}2)^{0{,}7} < (4{,}1)^{0{,}7}$\. **Ответ:** $(3{,}2)^{0{,}7} < (4{,}1)^{0{,}7}$\. ## Тренажёры по теме «Степенная функция» на Экзамео Закрепите свойства степенной функции с рациональным показателем и графики на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все дифференциальные карточки и проверочные тесты по теме **«Степенная функция с рациональным показателем» за 11 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по алгебре и материалами КИМ ЕГЭ по математике\. В базе платформы представлены сотни упражнений с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми решениями\. Переходите к тренажёрам по алгебре за 11 класс на **Экзамео**, тренируйтесь в комфортном темпе и получайте отличные оценки за самостоятельные и контрольные работы\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/funktsii-ratsionalnoy-stepeni-svoystva-i-grafiki).