> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Гипербола как кривая второго порядка \- 11 класс На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Гипербола как кривая второго порядка» для профильных классов и углублённого курса математики за 11 класс**\. Методисты и преподаватели высшей математики образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь старшеклассникам освоить базовые понятия аналитической геометрии, научиться выводить и анализировать каноническое уравнение гиперболы, находить её асимптоты, фокусы и эксцентриситет, а также без ошибок решать сложные задачи олимпиадного уровня и профильного ЕГЭ\. В отличие от базовой школьной алгебры, где гипербола рассматривается лишь как график обратно пропорциональной зависимости $y = \dfrac{k}{x}$, в углублённом курсе 11 класса гипербола изучается как **кривая второго порядка** — каноническое геометрическое место точек плоскости с особыми фокальными и оптическими свойствами\. ## Теоретический справочник: гипербола в аналитической геометрии > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka). Ниже подробно и строго приведены геометрическое определение гиперболы, вывод канонического уравнения и все её ключевые параметры\. ### Геометрическое определение и каноническое уравнение #### Определение гиперболы 🎯 **Гиперболой** называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек $F_1$ и $F_2$ \(называемых **фокусами**\) есть величина постоянная, равная $2a$ \(причём $0 < 2a < F_1F_2$\)\. $$ |F_1M - F_2M| = 2a $$  #### Каноническое уравнение гиперболы: В прямоугольной декартовой системе координат с центром в середине отрезка $F_1F_2$ каноническое уравнение гиперболы имеет вид: $$ \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 $$ где: • $a$ — **вещественная \(действительная\) полуось**; • $b$ — **мнимая полуось**; • $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ — **фокусное расстояние** \(половина расстояния между фокусами $F_1(-c; 0)$ и $F_2(c; 0)$\)\. \[ Место для иллюстрации: Чертеж гиперболы в декартовой системе координат с фокусами F1 и F2, вершинами \(\-a, 0\) и \(a, 0\), основным прямоугольником и асимптотами y = ±\(b/a\)x \] #### Ключевые элементы и характеристики гиперболы В углублённом курсе геометрии гипербола характеризуется четырьмя фундаментальными объектами: #### 1\. **Асимптоты гиперболы:** Прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы при $x \to \infty$\. Их уравнения вычисляются по формулам: $$ y = \dfrac{b}{a}x \quad \text{и} \quad y = -\dfrac{b}{a}x $$ #### 2\. **Эксцентриситет \(**$\varepsilon$**\):** Отношение фокусного расстояния к вещественной полуоси: $$ \varepsilon = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}} $$ *\(Для любой гиперболы эксцентриситет строго больше единицы: *$\varepsilon > 1$*\!\)* #### 3\. **Директрисы гиперболы:** Две прямые, перпендикулярные вещественной оси, с уравнениями $x = \dfrac{a}{\varepsilon} = \dfrac{a^2}{c}$ и $x = -\dfrac{a^2}{c}$\. Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно $\varepsilon$\. #### 4\. **Равнобочная и сопряжённая гиперболы:** • Если $a = b$, гипербола называется **равнобочной** \($\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{a^2} = 1$\)\. Ее асимптоты взаимно перпендикулярны \($y = \pm x$\), а эксцентриситет $\varepsilon = \sqrt{2}$\. При повороте осей на $45^\circ$ её уравнение принимает знакомый вид $y = \dfrac{k}{x}$\. • Гипербола $-\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ называется **сопряжённой** к исходной \(её ветви направлены вверх и вниз\)\. #### Оптическое свойство гиперболы\! 💡 Луч света, исходящий из одного фокуса $F_1$ гиперболы, после отражения от внутренней поверхности зеркальной ветви гиперболы распространяется так, будто он вышел из второго фокуса $F_2$\! Это свойство используется при конструировании телескопов системы Кассегрена и микроскопов\. ### Пошаговый алгоритм исследования уравнения гиперболы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka). При решении задач аналитической геометрии углублённого уровня придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Приведите уравнение к каноническому виду:** разделите обе части на свободный член, чтобы получить $1$ в правой части \($\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$\)\. **Найдите полуоси и фокусное расстояние:** определите $a = \sqrt{a^2}$, $b = \sqrt{b^2}$ и вычислите $c = \sqrt{a^2 + b^2}$\. **Запишите характеристики:** укажите координаты вершин $(\pm a; 0)$, фокусов $(\pm c; 0)$, уравнения асимптот $y = \pm \dfrac{b}{a}x$ и эксцентриситет $\varepsilon = \dfrac{c}{a}$\. ### Разбор задач углублённого курса 11 класса Рассмотрите решения задач, характерных для профильных классов и математических олимпиад\. **Задание:** Гипербола задана уравнением $16x^2 - 9y^2 = 144$\. Найдите её полуоси, вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот\. **Подробное решение:** 1\) Разделим обе части уравнения на $144$, чтобы получить канонический вид: $\dfrac{16x^2}{144} - \dfrac{9y^2}{144} = 1 \implies \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$\. 2\) Определим полуоси: $a^2 = 9 \implies a = 3$ \(вещественная полуось\), $b^2 = 16 \implies b = 4$ \(мнимая полуось\)\. Вершины гиперболы: $A_1(-3; 0)$ и $A_2(3; 0)$\. 3\) Найдем фокусное расстояние $c$: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$\. Координаты фокусов: $F_1(-5; 0)$ и $F_2(5; 0)$\. 4\) Вычислим эксцентриситет $\varepsilon$: $\varepsilon = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}$\. 5\) Составим уравнения асимптот: $y = \pm \dfrac{b}{a} x \implies y = \pm \dfrac{4}{3} x$\. **Ответ:** $a = 3, b = 4$; вершины $(\pm 3; 0)$; фокусы $(\pm 5; 0)$; $\varepsilon = \dfrac{5}{3}$; асимптоты $y = \pm \dfrac{4}{3}x$\. **Задание:** Составьте каноническое уравнение гиперболы, если её асимптоты заданы уравнениями $y = \pm \dfrac{3}{4} x$, и кривая проходит через точку $M(5; \dfrac{9}{4})$\. **Подробное решение:** 1\) Из уравнения асимптот $y = \pm \dfrac{b}{a}x$ следует отношение полуосей: $\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4} \implies b = \dfrac{3}{4}a$\. 2\) Подставим $b^2 = \dfrac{9}{16}a^2$ в каноническое уравнение гиперболы $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{\frac{9}{16}a^2} = 1 \implies \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{16y^2}{9a^2} = 1$\. 3\) Подставим координаты точки $M(x = 5, y = \dfrac{9}{4})$ в уравнение: $\dfrac{5^2}{a^2} - \dfrac{16 \cdot (\frac{9}{4})^2}{9a^2} = 1 \implies \dfrac{25}{a^2} - \dfrac{16 \cdot \frac{81}{16}}{9a^2} = 1 \implies \dfrac{25}{a^2} - \dfrac{9}{a^2} = 1$\. 4\) Вычислим $a^2$ и $b^2$: $\dfrac{16}{a^2} = 1 \implies a^2 = 16 \implies a = 4$\. $b^2 = \dfrac{9}{16} a^2 = \dfrac{9}{16} \cdot 16 = 9 \implies b = 3$\. 5\) Запишем каноническое уравнение: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$\. **Ответ:** $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$\. ## Тренажёры по теме «Гипербола \- кривая второго порядка» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka). Закрепите тему** «Гипербола как кривая второго порядка»** на практике в интерактивных тренажёрах Экзамео\. Вас ждут задачи углублённого уровня по программе 11 класса, автоматическая проверка и подробные пошаговые решения в каждом задании, для того, чтобы избавиться ото всех ошибок\. Тренируйтесь в удобном темпе и уверенно готовьтесь к экзаменам и олимпиадам, а система подскажет ошибки --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/giperbola-kak-krivaya-vtorogo-poryadka).