> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Логарифмические неравенства \- разбор всех методов и задания На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Логарифмические неравенства» по алгебре для 10–11 классов**\. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы подробно объяснить старшеклассникам, как решать логарифмические неравенства разного уровня сложности, помочь освоить классические методы решения \(переход к основанию, замену переменной\), раз и навсегда понять **метод рационализации** и уверенно забирать максимальный балл в Задании 14 профильного ЕГЭ по математике\. Логарифмические неравенства требуют от учащихся глубокого понимания свойств логарифмической функции, области допустимых значений \(ОДЗ\) и влияния основания на знак неравенства\. ## Методы решения логарифмических неравенств > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva). Рассмотрим ключевые свойства, переход к равносильным системам и все основные методы решения для 10\-11 класса \- все они являются одной из основных тем школьной программы и используются на ЕГЭ по математике, в частности в 15 задании во второй части и могут встречаться в 18 задании с параметрами\. ### Логарифмические неравенства и монотонность Поведение логарифмической функции $y = \log_a x$ и направление знака неравенства зависят от того, больше или меньше единицы основание $a$: #### Теорема о монотонности и переход к равносильной системе 🎯 • **Если основание **$a > 1$** \(функция возрастает\):** знак неравенства **сохраняется**, а подлогарифмические выражения сравниваются с учётом ОДЗ: $$ \log_{a}f(x)>\log_{a}g(x)\iff\begin{cases}f(x)>g(x),\\ g(x)>0.\end{cases} $$ • **Если основание **$0 < a < 1$** \(функция убывает\):** знак неравенства **меняется на противоположный**: $$ \log_{a}f(x)>\log_{a}g(x)\iff\begin{cases}f(x)0.\end{cases} $$ \[ Место для иллюстрации: Графики возрастающей \(a \> 1\) и убывающей \(0 < a < 1\) логарифмических функций, демонстрирующие смену знака неравенства \] #### Обрати внимание на ОДЗ\! 💡 При переходе от неравенства $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ к подлогарифмическим выражениям достаточно потребовать положительности **только меньшего из выражений**: • Если $f(x) > g(x)$, то пишем $g(x) > 0$ \(тогда $f(x)$ автоматически больше нуля\)\. • Если $f(x) < g(x)$, то пишем $f(x) > 0$ \(тогда $g(x)$ автоматически больше нуля\)\. #### Метод замены переменной Когда логарифм входит в неравенство в разных степенях \(например, содержит $\log_a^2 x$ и $\log_a x$\), к нему применяют замену переменной $t = \log_a x$\. При чем для переменной $t$ нет никаких ограничений \($t \in \mathbb{R}$\), так как область значений логарифма — всё множество действительных чисел\. С методом замены переменных вы знакомы ещё со средней школы, но тем не менее давайте разберем его на конкретном примере **Задание:** Решите неравенство $\log_2^2 x - 3 \log_2 x + 2 \le 0$\. **Подробное решение:** 1\) **ОДЗ:** подлогарифмическое выражение $x > 0$\. 2\) **Замена переменной:** пусть $t = \log_2 x$\. Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 3t + 2 \le 0$\. 3\) Корни квадратного трёхчлена: $t_1 = 1, t_2 = 2$\. Решение неравенства относительно $t$: $1 \le t \le 2$\. 4\) **Обратная замена:** $1 \le \log_2 x \le 2 \iff \log_2 2 \le \log_2 x \le \log_2 4$\. 5\) Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $2 \le x \le 4$\. 6\) Пересекаем с ОДЗ \($x > 0$\): отрезок $[2; 4]$ полностью входит в ОДЗ\. **Ответ:** $x \in [2; 4]$\. ### Метод рационализации логарифмических неравенств > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva). Когда основание логарифма содержит переменную $a(x)$, стандартное раскрытие через две системы оказывается громоздким\. На помощь приходит **метод рационализации \(метод замены множителей\)**\. Чаще всего именно логарифмические неравенства, решаемые методом рационализации, встречаются на ЕГЭ по математике во второй части #### Суть и идея метода рационализации: Знак разности логарифмов $\log_{a(x)} f(x) - \log_{a(x)} g(x)$ совпадает со знаком произведения двух простых скобок: $$ \text{Знак }\left(\log_{a(x)} f(x) - \log_{a(x)} g(x)\right) = \text{Знак }\left((a(x) - 1)(f(x) - g(x))\right) $$ **Почему это работает?** 1\. Если основание $a(x) > 1$, первая скобка $(a(x) - 1) > 0$\. Знак определяется разностью $(f(x) - g(x))$ \(знак неравенства сохраняется\)\. 2\. Если $0 < a(x) < 1$, первая скобка $(a(x) - 1) < 0$\. Скобка сменяет знак произведения, что в точности соответствует развороту знака неравенства для убывающей функции\! ##### Логарифмический множитель ##### Рациональный эквивалент \(при соблюдении ОДЗ\) $\log_{a(x)} f(x) - \log_{a(x)} g(x)$ $(a(x) - 1)(f(x) - g(x))$ $\log_{a(x)} f(x)$ *\(сравнение с нулём\)* $(a(x) - 1)(f(x) - 1)$ $\log_{h(x)} f(x) - \log_{g(x)} f(x)$ $(f(x) - 1)(h(x) - 1)(g(x) - 1)(g(x) - h(x))$ **Главное правило применения рационализации:** замену сложных логарифмических множителей на рациональные скобки производят **строго с одновременным учётом ОДЗ** исходных логарифмов \($\begin{cases} a(x) > 0, a(x) \neq 1 \\ f(x) > 0, g(x) > 0 \end{cases}$\)\. ### Пошаговый алгоритм решения логарифмических неравенств При решении любых логарифмических неравенств придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Запишите ОДЗ неравенства:** выпишите условия положительности подлогарифмических выражений и основания \($a > 0, a \neq 1$\)\. **Выберите метод решения:** \- Для одинаковых постоянных оснований — сравните выражения \(учитывая монотонность\)\. \- Для квадратов логарифмов — введите замену $t = \log_a x$\. \- Для переменных оснований или дробей — примените метод рационализации\. **Пересеките полученный результат с ОДЗ:** найдите пересечение множества решений основного неравенства и области ОДЗ\. ### Разбор типовых задач профильного ЕГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva). Рассмотрите решения задач, характерных для Задания 14 профильного ЕГЭ\. **Задание:** Решите неравенство $\log_{x - 2} (2x - 3) \ge 1$\. **Подробное решение:** 1\) Перенесем $1$ в левую часть и представим $1$ как $\log_{x - 2} (x - 2)$: $\log_{x - 2} (2x - 3) - \log_{x - 2} (x - 2) \ge 0$\. 2\) Запишем систему, состоящую из ОДЗ и рационализированного неравенства: $$\\begin\{cases\} x \- 2 \> 0, \\\\ x \- 2 \\neq 1, \\\\ 2x \- 3 \> 0, \\\\ \(\(x \- 2\) \- 1\) \\cdot \(\(2x \- 3\) \- \(x \- 2\)\) \\ge 0\. \\end\{cases\}$$ 3\) Упростим систему: $$\\begin\{cases\} x \> 2, \\\\ x \\neq 3, \\\\ x \> 1\{,\}5, \\\\ \(x \- 3\)\(x \- 1\) \\ge 0\. \\end\{cases\}$$ 4\) Решим рациональное неравенство $(x - 3)(x - 1) \ge 0$: Промежутки: $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$\. 5\) Наложим условия ОДЗ \($x > 2, x \neq 3$\): • Из луча $x > 2$ интервал $(-\infty; 1]$ отпадают полностью\. • Для $[3; +\infty)$ условие $x \neq 3$ превращает квадратную скобку в круглую: $(3; +\infty)$\. **Ответ:** $x \in (3; +\infty)$\. ## Тренажёры по теме «Логарифмические неравенства» на Экзамео Закрепите все методы решения логарифмических неравенств и правила рационализации на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все карточки и проверочные тесты по теме **«Логарифмические неравенства» для 10–11 классов** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО и актуальным банком заданий КИМ профильного ЕГЭ по математике\. В базе платформы представлены сотни прототипов Задания 14 с автоматической проверкой ответов и подробными видеоразборами и пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по алгебре на **Экзамео**, тренируйтесь в комфортном темпе и гарантированно забирайте максимальные баллы на ЕГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva).