> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Логарифмические уравнения \- разбираемся как решать На этой странице собрано всё, что нужно знать про логарифмические уравнения в 10\-м классе: от теории до реальных примеров\. Материал пригодится и для текущих контрольных, и для подготовки к ЕГЭ — никакой воды, только то, что реально спрашивают\. Перед изучением темы логарифмические уравнения рекомендуем повторить [Логарифмы \- определение и основные свойства](/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva) Логарифмические уравнения — это фундаментальная тема алгебры в старшей школе\. Они проходятся как в 10 классе, так и в 11 классе\. Умение находить область допустимых значений \(ОДЗ\) и грамотно избавляться от знака логарифма критически важно как при изучении математического анализа, так и при решении логарифмических уравнений и [Логарифмические неравенства](/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_neravenstva)\. ## Все методы решения логарифмических уравнений > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya). Ниже приведены основные теоремы о потенциации, правила перехода к равносильным системам и разбор ключевых способов решения\. Все они будут использоваться с разной частотой при решении логарифмических уравнений в 10 классе, 11 классе и на ЕГЭ по математике как профильного, так и базового уровня ### Теорема о потенциации и равносильные переходы Базовым правилом при решении логарифмических уравнений является сведение их к равенству двух логарифмов с одинаковым основанием\. #### Теорема о равных логарифмах Пусть $a > 0, a \neq 1$\. Равенство логарифмов $\log_a x_1 = \log_a x_2$ справедливо тогда и только тогда, когда равны подлогарифмические выражения $x_1 = x_2$ при условии $x_1 > 0, x_2 > 0$\. Так как логарифмическая функция является строго монотонной \(возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$\), каждое своё значение она принимает ровно в одной точке\. Отсюда вытекает следствие о равносильных системах: #### Равносильный переход для уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$: Уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно любой из двух систем на выбор: $$ \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) > 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) > 0 \end{cases} $$ #### Лайфхак: Какую систему выбрать? 💡 Обратите внимание: **не нужно требовать положительности сразу двух функций**\! Так как мы приравниваем $f(x) = g(x)$, достаточно потребовать $f(x) > 0$ или $g(x) > 0$ для той функции, неравенство с которой решается проще \(например, если одна из функций является линейной, а другая — квадратным трёхчленом\)\. ### 2\. Основные методы решения логарифмических уравнений > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya). Все логарифмические уравнения 10 класса можно разделить на несколько основных классов по методу их решения: 1\. **По определению логарифма:** Уравнение вида $\log_a f(x) = b$ сводится к равенству $f(x) = a^b$ \(при этом условие $f(x) > 0$ выполняется автоматически, так как $a^b > 0$\)\. 2\. **Метод потенциации \(сведение к одинаковому основанию\):** С помощью свойств логарифмов обе части уравнения приводятся к виду $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, после чего переходят к подлогарифмическим выражениям\. 3\. **Метод замены переменной:** Если уравнение содержит одинаковые логарифмические блоки \(например, $A \log_a^2 x + B \log_a x + C = 0$\), вводится замена $t = \log_a x$, сводящая его к квадратному или алгебраическому уравнению\. 4\. **Логарифмирование обеих частей:** Применяется для показательно\-логарифмических уравнений вида $x^{\log_a x} = b$\. Прологарифмировав обе части по основанию $a$, уравнение сводят к квадратному относительно $\log_a x$\. \[ Место для иллюстрации: Схема методов решения логарифмических уравнений — по определению, потенциация, замена переменной, логарифмирование \] ### Пошаговый алгоритм решения Чтобы избежать ошибок при решении логарифмических уравнений, придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Запишите ОДЗ уравнения:** зафиксируйте условия $f(x) > 0$ для подлогарифмических выражений и $a > 0, a \neq 1$ для оснований\. **Преобразуйте уравнение выбранным методом:** снимите логарифмы по теореме о потенциации или введите новую переменную $t$\. **Проверьте найденое корни:** подставьте полученные значения $x$ в условия ОДЗ или выполните прямую проверку в исходное уравнение\. ### Разбор типовых примеров решений > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya). Рассмотрите решения задач, характерных для контрольных работ в 10 классе и профильного ЕГЭ\. **Задание:** Решите уравнение $\log_3 (4x - 1) = 2 \log_3 3$\. **Подробное решение:** 1\) Преобразуем правую часть уравнения, внеся множитель $2$ в показатель степени подлогарифмического выражения: $\log_3 (4x - 1) = \log_3 (3^2) \implies \log_3 (4x - 1) = \log_3 9$\. 2\) Используем теорему о потенциации: $4x - 1 = 9$\. 3\) Найдём корень линейного уравнения: $4x = 10 \implies x = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$\. 4\) **Проверка ОДЗ:** подставим $x = 2{,}5$ в выражение $4x - 1$: $4 \cdot 2{,}5 - 1 = 9 > 0$\. Корень подходит\. **Ответ:** $2{,}5$\. **Задание:** Решите уравнение $\lg (x^2 - 4x + 2) = \lg (2x - 3)$\. **Подробное решение:** 1\) Перейдём к равносильной системе\. Потребуем строго вхождения ОДЗ для линейной функции $2x - 3 > 0$: $$\\begin\{cases\} x^2 \- 4x \+ 2 = 2x \- 3, \\\\ 2x \- 3 \> 0\. \\end\{cases\}$$ 2\) Упростим первое квадратное уравнение: $x^2 - 6x + 5 = 0$\. 3\) По теореме Виета находим корни квадратного уравнения: $x_1 = 1, \quad x_2 = 5$\. 4\) Проверим найденные корни по неравенству ОДЗ \($2x - 3 > 0 \implies x > 1{,}5$\): • При $x = 1$: $2 \cdot 1 - 3 = -1 \ngtr 0$ \(значение $x = 1$ посторонний корень\)\. • При $x = 5$: $2 \cdot 5 - 3 = 7 > 0$ \(условие выполняется\)\. **Ответ:** $5$\. ## Тренажёры по теме «Логарифмические уравнения» на Экзамео Закрепите все классы логарифмических уравнений и равносильные переходы на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные карточки и проверочные тесты по теме **«Логарифмические уравнения» за 10 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по алгебре и материалами профильного ЕГЭ по математике\. В базе платформы представлены сотни вариантов логарифмических уравнений и примеров разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по алгебре за 10 класс на **Экзамео**, тренируйтесь в комфортном темпе и получайте отличные оценки за самостоятельные и контрольные работы\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmicheskie_uravneniya).