> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Логарифмы: определение примеры и таблица всех свойств На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Логарифмы»** для учащихся **10 класса**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь десятиклассникам раз и навсегда разобраться в понятии логарифма, освоить логику его вычисления без заучивания сложных формул, выучить все свойства и успешно подготовиться к контрольным работам и ЕГЭ по математике\. Логарифмы часто вызывают у школьников страх из\-за непривычной записи\. Однако на самом деле логарифм — это всего лишь обратная операция к возведению в степень\. Понимание этой простой идеи открывает ключ к решению показательных и логарифмических уравнений, неравенств и заданий профильного ЕГЭ по математике\. ## Что такое логарифм? Понятное определение для 10 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva). **Логарифмом положительного числа **$b$** по основанию **$a$ \(где $a > 0$ и $a \neq 1$\) называется **показатель степени**, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$\. #### $\log_a b = c \iff a^c = b$ • $a$ — основание логарифма \($a > 0, a \neq 1$\); • $b$ — подлогарифмическое выражение \($b > 0$\); • $c$ — сам логарифм \(степень\)\. \-\-\- #### 💡 Как нужно объяснять себе логарифм? Простой пример Когда вы видите запись $\log_2 8$, задавайте себе один\-единственный простой вопрос: **«В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 8?»** Поскольку $2^3 = 8$, то ответ очевиден: $\log_2 8 = 3$\. Ещё пару наглядных примеров для закрепления этой внутренней логики: • $\log_3 81 = 4$, потому что $3^4 = 81$; • $\log_5 5 = 1$, потому что $5^1 = 5$; • $\log_{10} 1 = 0$, потому что любое число в степени 0 дает 1 \($10^0 = 1$\)\. ### Зачем изобрели логарифмы? История возникновения Логарифмы были открыты в начале XVII века шотландским математиком **Джоном Непером** \(1614 год\) и независимо от него швейцарцем Йостом Бюрги\. Причиной создания логарифмов стала бурное развитие астрономии, мореплавания и геодезии, где ученым требовалось перемножать огромные многозначные числа\. ##### Замена умножения сложением Главное чудо логарифмов заключается в том, что они **превращают трудоемкое умножение в обычное сложение**, а деление — в вычитание\. Благодаря логарифмическим таблицам астрономы сэкономили месяцы рутинных расчетов\. Вольтер писал, что *«Непер удлинил жизнь астрономам, сократив их труды»*\. ##### Логарифмы в природе и технике В реальной жизни по логарифмической шкале устроены многие процессы: громкость звука в децибелах, шкала Рихтера для измерения силы землетрясений, водородный показатель кислотности pH, а также восприятие яркости света человеческим глазом\. ### Сводная таблица всех свойств логарифмов > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva). Ниже приведена полная таблица свойств, необходимая для преобразования логарифмических выражений в 10 классе и Заданиях №6, 7 и 13 профильного ЕГЭ по математике \($a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0$\): ##### Название свойства ##### Формула ##### Пример применения **Основное логарифмическое тождество** $a^{\log_a b} = b$ $5^{\log_5 7} = 7$ **Логарифм единицы и основания** $\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1$ $\log_4 1 = 0, \quad \log_8 8 = 1$ **Логарифм произведения \(Сумма\)** $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$ $\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 (2 \cdot 3) = 1$ **Логарифм частного \(Разность\)** $\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c$ $\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 (48 : 3) = \log_2 16 = 4$ **Вынос степени из подлогарифмического** $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$ $\log_3 (5^4) = 4 \log_3 5$ **Вынос степени из основания** $\log_{a^q} b = \frac{1}{q} \cdot \log_a b$ $\log_{2^3} 5 = \frac{1}{3} \log_2 5$ **Переход к новому основанию** $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ $\frac{\log_7 25}{\log_7 5} = \log_5 25 = 2$ **Перестановка основания и аргумента** $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ $\log_3 5 \cdot \log_5 3 = 1$ ### Пошаговый алгоритм решения логарифмических выражений Чтобы не делать ошибок при вычислении логарифмов на самостоятельных работах и экзамене, придерживайтесь этого алгоритма: ### Порядок действий: **Проверьте ОДЗ \(если решаете уравнение\):** основание $a > 0, a \neq 1$, подлогарифмическое число $b > 0$\. **Приведите логарифмы к одному основанию:** если в выражении разные основания, используйте формулу перехода к новому основанию\. **Уберите коэффициенты перед логарифмами в степени:** внесите множители внутрь логарифма по формуле $p \log_a b = \log_a (b^p)$\. **Сверните сумму в произведение, а разность — в частное** и вычислите итоговое число\. #### Типичные ошибки десятиклассников При работе с логарифмами старшеклассники чаще всего допускают такие ошибки: ##### Раскрытие логарифма суммы как суммы логарифмов Записывать $\log_a (x + y) = \log_a x + \log_a y$ ❌\. Помните: сумма логарифмов превращается в логарифм **ПРОИЗВЕДЕНИЯ** \($\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$\), а логарифм суммы раскладывать нельзя ✅\! ##### Забывание переворота степени при выносе из основания Выносить степень из основания без переворота: например, писать $\log_{a^2} b = 2 \log_a b$ ❌\. Степень основания выносится **в знаменатель**: $\frac{1}{2} \log_a b$ ✅\! Постарайтесь обращать на это внимание при решении контрольных работ и задач ЕГЭ\. ##### Разбор практических примеров вычисления логарифмов Рассмотрите полные образцы решения и оформления типичных заданий из КИМов ЕГЭ и учебника 10 класса\. **Задание:** Найдите значение выражения: $\log_5 75 - \log_5 3 + \log_2 16$\. **Подробное решение:** 1\) Сгруппируем первые два логарифма с одинаковым основанием 5 и применим свойство разности: $\log_5 75 - \log_5 3 = \log_5 \left(\frac{75}{3}\right) = \log_5 25 = 2$ \(так как $5^2 = 25$\)\. 2\) Вычислим значение второго слагаемого: $\log_2 16 = 4$ \(так как $2^4 = 16$\)\. 3\) Сложим полученные значения: $2 + 4 = 6$\. **Ответ:** $6$\. **Задание:** Найдите значение выражения: $36^{\log_6 5 + 1}$\. **Подробное решение:** 1\) Воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $36^{\log_6 5 + 1} = 36^{\log_6 5} \cdot 36^1$\. 2\) Представим $36$ как $6^2$: $36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = (6^{\log_6 5})^2$\. 3\) Применим основное логарифмическое тождество \($6^{\log_6 5} = 5$\): $(5)^2 = 25$\. 4\) Выполним итоговое умножение: $25 \cdot 36 = 900$\. **Ответ:** $900$\. ## Задания и тренажёры по логарифмам на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva). На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены интерактивные онлайн\-тренажёры по теме **«Логарифмы» для 10 класса** с подробными решениями и проверкой ответов\. Задачи в тренажёрах на вычисление логарифмов и применение свойств составлены по учебникам по алгебре за 10 класс и на основании материалов открытого банка заданий ФИПИ профильного ЕГЭ по математике\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Логарифмы 10 класс»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/logarifmy-opredelenie-i-osnovnye-svoystva).