> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Независимые повторения испытаний с двумя исходами На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Независимые повторения испытаний с двумя исходами \(схема Бернулли\)» по вероятности и статистике для 11 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально освоить фундаментальную модель теории вероятностей, научиться без ошибок вычислять вероятности сложных биномиальных событий и успешно готовиться к контрольным работам и заданиям ЕГЭ по математике\. Многие случайные эксперименты в жизни и науке заключаются в многократном повторении одного и того же опыта, где каждый раз возможны ровно два противоположных исхода: «успех» или «неудача» \(например, подбрасывание монеты, выстрелы по мишени, тестирование лекарства или контроль брака на производстве\)\. ## Теоретический справочник: схема Бернулли > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami). Рассмотрите условия применимости схемы Бернулли, основную формулу и свойства наивероятнейшего числа успехов\. ### 1\. Условия схемы Бернулли #### Что такое схема Бернулли? 🎯 Серия испытаний образует **схему Бернулли**, если выполняются следующие 3 условия: 1\. В каждом испытании возможны ровно **два исхода**: «успех» \($U$\) и «неудача» \($\overline{U}$\)\. 2\. Вероятность успеха $p = P(U)$ постоянна и **не меняется** от испытания к испытанию\. Вероятность неудачи равна $q = 1 - p$\. 3\. Испытания являются **независимыми** \(исход любого испытания не влияет на результаты других\)\. \[ Место для иллюстрации: Наглядная схема независимых испытаний с ветвлением Успех \(p\) / Неудача \(q\) для нескольких шагов n \] ### 2\. Формула Бернулли > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami). Если проводится серия из $n$ независимых испытаний Бернулли, вероятность того, что «успех» наступит ровно $k$ раз \(где $0 \le k \le n$\), находится по **формуле Бернулли**: #### Формула Бернулли: $$ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k} $$ Где: • $n$ — общее число независимых испытаний; • $k$ — число наступивших «успехов»; • $p$ — вероятность успеха в одном испытании; • $q = 1 - p$ — вероятность неудачи в одном испытании; • $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$\. ### 3\. Наивероятнейшее число успехов $k_0$ Число успехов $k_0$, которому соответствует наибольшая вероятность $P_n(k_0)$, называется **наивероятнейшим числом успехов**\. #### Как найти наивероятнейшее число успехов? 💡 Целое число $k_0$ удовлетворяет двойному неравенству: $$ n p - q \le k_0 \le n p + p $$ Длина интервала равна $(n p + p) - (n p - q) = p + q = 1$, поэтому внутри него всегда лежит ровно одно целое число \(или два, если границы оказываются целыми\!\)\. ### Пошаговый алгоритм решения задач При решении задач на схему Бернулли придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami). **Выделите параметры **$n, p, q$**:** укажите общее количество испытаний $n$, вероятность «успеха» $p$ и вычислите вероятность «неудачи» $q = 1 - p$\. **Определите искомое число успехов **$k$**:** переведите условие задачи в значение $k$ \(или комбинации $k_1, k_2, \dots$\)\. **Вычислите вероятность по формуле:** посчитайте число сочетаний $C_n^k$, подставьте значения в формулу $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k}$ и запишите ответ\. ### Разбор типовых задач из самостоятельных работ и ЕГЭ Рассмотрите решения задач, характерных для урока теории вероятностей в 11 классе и профильного ЕГЭ\. **Задание:** Монету подбрасывают $5$ раз\. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно $3$ раза\. **Подробное решение:** 1\) Выпишем параметры схемы Бернулли: • Число испытаний $n = 5$; • Число успехов $k = 3$; • Вероятность выпадения орла $p = 0{,}5$; • Вероятность неудачи $q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$\. 2\) Найдем число сочетаний $C_5^3$: $C_5^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$\. 3\) Применим формулу Бернулли: $P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5 - 3} = 10 \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^2 = 10 \cdot (0{,}5)^5 = 10 \cdot \dfrac{1}{32} = \dfrac{10}{32} = 0{,}3125$\. **Ответ:** $0{,}3125$\. **Задание:** Производится $10$ независимых выстрелов по мишени\. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}7$\. Найдите наивероятнейшее число попаданий\. **Подробное решение:** 1\) Из условия задачи: $n = 10$, $p = 0{,}7$, $q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$\. 2\) Воспользуемся двойным неравенством для наивероятнейшего числа успехов $k_0$: $n p - q \le k_0 \le n p + p$\. 3\) Вычислим значения левой и правой границ: • $n p - q = 10 \cdot 0{,}7 - 0{,}3 = 7 - 0{,}3 = 6{,}7$; • $n p + p = 10 \cdot 0{,}7 + 0{,}7 = 7 + 0{,}7 = 7{,}7$\. 4\) Составим двойное неравенство: $6{,}7 \le k_0 \le 7{,}7$\. 5\) Единственным целым числом на данном отрезке является $k_0 = 7$\. **Ответ:** наивероятнейшее число попаданий равно $7$\. ## Тренажёры по теме «Независимые повторения испытаний» на Экзамео Закрепите формулу Бернулли и вычисление наивероятнейшего числа успехов на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные карточки и проверочные тесты по теме **«Независимые повторения испытаний с двумя исходами» за 11 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по вероятности и статистике и материалами КИМ ЕГЭ по математике\. В базе платформы представлены сотни упражнений с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми решениями\. Переходите к тренажёрам по теории вероятностей за 11 класс на **Экзамео**, тренируйтесь в комфортном темпе и уверенно получайте отличные оценки за самостоятельные работы и ЕГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/nezavisimye_povtoreniya_ispytanii_s_dvumya_ishodami).