> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_konusa). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Объём конуса: формулы и разбор На этой странице представлен теоретический и практический справочник по теме **«Объём конуса» для 11 класса и подготовки к ЕГЭ по математике**\. В стереометрии 11 класса конус является одним из ключевых тел вращения\. Задачи, в которых конус имеет объём, вычисляется объём сосуда конуса или требуется найти объём жидкости конуса при изменении уровня наливания, гарантированно встречаются в задании первой части профильного и базового ЕГЭ по математике, а также служат основой для составных многогранников в сложной стереометрической задаче второй части\. Здесь детально разобраны базовая формула объёма через площадь основания и высоту, соотношения через радиус и образующую, практические задачи на подобие конусов и сосуды с жидкостью, а также типичные вычислительные ловушки экзамена\. После теории на странице доступны [онлайн\-тренажёры с подробными решениями](#trenazhery-po-obyemu-konusa-ekzameo) и автоматической проверкой, с помощью которых можно отработать решение прототипов банка ФИПИ и подготовиться к контрольным работам в 11 классе\. #### Вспомним, что такое конус и какие в нём есть элементы **Конус \(прямой круговой конус\)** — это геометрическое тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов\. • **Основание конуса:** круг радиуса $R$\. Площадь основания вычисляется по формуле $S_{\text{осн}} = \pi R^2$\. • **Высота конуса \(**$h$**\):** перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания \(в прямом конусе высота падает строго в центр круга основания\)\. • **Образующая конуса \(**$l$**\):** отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания\. Образующая, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник, связанный теоремой Пифагора: $l^2 = h^2 + R^2$\.  На рисунке \- конус с отмеченным радиусом R, высотой h и образующей l ## Формулы объёма конуса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_konusa). Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту\. $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h $$ В зависимости от известных элементов задачи применяются следующие варианты формул\. ##### Формула ##### Математическая запись ##### Когда применять **Самая главная формула** **Через площадь основания и высоту** $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$ Базовая формула\. Применяется, если дана площадь круга основания или рассматривается общая пирамида/конус\. **Через радиус основания и высоту** $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$ Основная рабочая формула для большинства стереометрических задач профильного и базового ЕГЭ\. **Через диаметр основания** $V = \dfrac{1}{12} \pi d^2 h$ Используется, если в условии указан диаметр основания $d = 2R$\. Так как $R = d/2$, в формуле появляется коэффициент $1/12$\. **Через образующую и радиус** $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 \sqrt{l^2 - R^2}$ Применяется, когда высота не задана напрямую, но известна длина образующей $l$ и радиус основания $R$\. **Через образующую и высоту** $V = \dfrac{1}{3} \pi (l^2 - h^2) h$ Используется, когда радиус основания неизвестен, но заданы высота $h$ и образующая $l$ \($R^2 = l^2 - h^2$\)\. #### Как найти высоту или радиус, если объём конуса известен В прототипах ЕГЭ по стереометрии часто встречается обратная постановка вопроса: «Конус имеет объём, равный $V$, найдите его высоту или радиус основания»\. Для быстрого решения полезно уметь выражать искомую величину из основного уравнения $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$: ##### Как найти высоту конуса \($h$\) 📐 Умножаем обе части формулы на 3 и делим на площадь основания $\pi R^2$: $$ h = \dfrac{3V}{\pi R^2} = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}} $$ *Правило:* утроенный объём конуса делим на площадь круга в основании\. ##### Как найти радиус основания \($R$\) 🔘 Умножаем обе части формулы на 3, делим на $\pi h$ и извлекаем квадратный корень: $$ R = \sqrt{\dfrac{3V}{\pi h}} $$ *Правило:* утроенный объём конуса делим на высоту и число $\pi$, затем извлекаем арифметический корень\. Разберём классическую задачу из банка заданий ЕГЭ на нахождение высоты конуса: **Задание:** Конус имеет объём, равный $48\pi$\. Радиус основания конуса равен $6$\. Найдите высоту этого конуса\. **Пошаговый разбор:** 1\) Запишем формулу объёма конуса через радиус основания и высоту: $$ V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h $$ 2\) Подставим известные по условию числовые данные \($V = 48\pi$, $R = 6$\): $$ 48\pi = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot h $$ 3\) Разделим обе части равенства на число $\pi$: $$ 48 = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot h $$ 4\) Упростим числовой коэффициент в правой части: $$ 48 = 12 \cdot h \implies h = \dfrac{48}{12} = 4 $$ **Ответ:** $4$\. #### Задачи на объём жидкости в коническом сосуде Один из самых популярных и коварных типов задач на профильном ЕГЭ — задачи, в которых конический сосуд заполнен жидкостью до определённого уровня высоты\. Ключевой математический закон здесь — **свойство объёмов подобных геометрических тел**\. ##### Главный закон подобия для объёмов 💡 Если все линейные размеры одного конуса \(высота, радиус основания, образующая\) в $k$ раз больше соответствующих линейных размеров другого конуса, то **объём большего конуса больше объёма меньшего конуса в **$k^3$** \(в куб коэффициента подобия\) раз**: $$ \dfrac{V_1}{V_2} = k^3 = \left(\dfrac{h_1}{h_2}\right)^3 = \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3 $$ Если уровень жидкости налит до половины высоты сосуда \($h_2 = \frac{1}{4}h_1$\), то объём налитой жидкости составляет не половину, а всего лишь $\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}$ от полного объёма сосуда\!  Задачи на подобие объемов конусов \- одни из прототипов 3 задания в профильном ЕГЭ по математике и 11 задания в базовом ЕГЭ по математике\. Давайте разберем такой прототип с экзамена в 11 классе\. **Задание:** В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты\. Объём налитой жидкости равен $80\text{ мл}$\. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?  **Пошаговый разбор:** 1\) Меньший конус, образованный налитой жидкостью, подобен большему конусу \(всему сосуду\), так как их осевые сечения представляют собой подобные прямоугольные треугольники\. 2\) Найдём коэффициент подобия сосуда и конуса жидкости по их высотам: $$ \dfrac{h_{\text{сосуда}}}{h_{\text{жидкости}}} = \dfrac{1}{\frac{2}{3}} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 $$ 3\) Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: $$ \dfrac{V_{\text{сосуда}}}{V_{\text{жидкости}}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = \dfrac{27}{8} $$ 4\) Вычислим полный объём сосуда, подставив $V_{\text{жидкости}} = 80\text{ мл}$: $$ V_{\text{сосуда}} = \dfrac{27}{8} \cdot 80 = 27 \cdot 10 = 270\text{ мл} $$ 5\) Найдём, сколько миллилитров жидкости необходимо долить: $$ V_{\text{долить}} = V_{\text{сосуда}} - V_{\text{жидкости}} = 270 - 80 = 190\text{ мл} $$ **Ответ:** $190$\. #### Объём усечённого конуса Если плоскость, параллельная основанию, пересекает конус, она отсекает от него меньший конус, оставляя фигуру, которая называется **усечённым конусом**\. Усечённый конус имеет два параллельных круговых основания с радиусами $R_1$ и $R_2$, а также высоту $h$ между их плоскостями\. #### Формула объёма усечённого конуса: $$ V = \dfrac{1}{3} \pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right) $$ Или через площади нижнего и верхнего оснований $S_1$ и $S_2$: $$ V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right) $$ *Совет для экзамена:* в задачах ЕГЭ часто проще не заучивать громоздкую формулу усечённого конуса, а находить его объём как **разность объёмов исходного большого конуса и отсечённого верхнего малого конуса**: $V_{\text{усеч}} = V_{\text{бол}} - V_{\text{мал}}$\.  #### Объём конуса, вписанного в цилиндр Один из видов задач на стереометрию в ЕГЭ как базового, так и профильного уровня связаны с картинкой, в которой конус вписан в цилиндр  Объем цилиндра это $V=\pi r^2h$, а объем конуса это $V=\frac13\pi r^2h$, отсюда можно сделать вывод, что объём конуса в три раза меньше объема цилиндра, в который он вписан\. Этот факт можно запомнить \- он пригодится при решении заданий\. #### Алгоритм решения задач на объём конуса для 11 класса Чтобы безошибочно решать задачи на объём конуса в первой и второй частях экзамена, придерживайтесь следующей последовательности действий: **Сделайте чертёж и выделите осевое сечение:** осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ \(образующие\), основанием $2R$ и высотой $h$\. **Проверьте радиус и диаметр:** если в условии указан диаметр основания или длина окружности \($C = 2\pi R$\), сразу найдите чистый радиус $R = d/2$\. **Найдите недостающий элемент через теорему Пифагора:** если задана образующая $l$, найдите высоту по формуле $h = \sqrt{l^2 - R^2}$, либо радиус $R = \sqrt{l^2 - h^2}$\. **Применяйте куб подобия для сосудов с жидкостью:** если уровень наливания меняется в $k$ раз, объём меняется строго в $k^3$ раз\. **Обратите внимание на требование к ответу:** если в формулировке задания написано «в ответе укажите $V/\pi$», разделите итоговое значение на $\pi$ перед записью в бланк ответов\. ## Задачи на объём конуса для 11 класса Ниже собраны интерактивные тренажёры со всеми актуальными прототипами задач на объём конуса, подобие тел и конические сосуды с жидкостью из открытого банка ФИПИ, которые подойдут как для уроков по геометрии в 11 класса, так и для подготовки к ЕГЭ по математике\. К каждому номеру подготовлены пошаговые решения, наглядные чертежи и мгновенная автоматическая проверка ответов, что позволит довести решение стереометрических заданий первой и второй частей ЕГЭ до автоматизма\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_konusa).