> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_piramidy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_piramidy). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Объём пирамиды \- теория, формулы и задачи Тема **«Объём пирамиды»** — один из центральных разделов стереометрии 10–11 классов и неизменный компонент первой и второй частей профильного и базового ЕГЭ по математике\. Особенность пирамиды заключается в многообразии её форм: основанием может служить правильный или прямоугольный треугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция или правильный шестиугольник\. Чтобы безошибочно решать **задачи на объём пирамиды**, необходимо владеть не только универсальной формулой объёма, но и уметь находить площадь произвольного основания, проецировать вершину на основание и вычислять высоту через боковые рёбра и апофемы\. На этой странице представлен исчерпывающий справочник: общая формула объёма, детальный разбор всех видов пирамид \(правильная треугольная, правильная четырёхугольная, шестиугольная, усечённая\), популярный прототип ЕГЭ на вычисление объёма треугольной пирамиды внутри параллелепипеда, алгоритмы решений и прямой переход к [интерактивным онлайн\-тренажёрам Экзамео](#katalog-trenazherov-obem-piramidy) с автоматической проверкой ответов\. ## Чему равен объём пирамиды > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_piramidy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_piramidy). **Объём любой пирамиды** равен одной трети произведения площади её основания на высоту: $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h $$ • **Площадь основания \(**$S_{\text{осн}}$**\):** площадь многоугольника, лежащего в плоскости основания \(треугольника, четырёхугольника или $n$\-угольника\)\. • **Высота пирамиды \(**$h$** или **$H$**\):** перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания\. Точка пересечения высоты с основанием называется основанием высоты\. • **Связь с призмой:** объём пирамиды ровно в 3 раза меньше объёма призмы, имеющей такое же основание и равную высоту \($V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{призмы}}$\)\. #### Объём треугольной пирамиды **Треугольная пирамида \(**[Тетраэдр](/subjects/math/courses/math_grade_10/topics/tetraedr)**\)** имеет в основании треугольник\. В зависимости от типа треугольника в основании и расположения вершины применяются следующие формулы: #### **Произвольная треугольная пирамида:** основанием служит треугольник со сторонами $a, b, c$\. Площадь основания находится по формуле Герона, через полупроизведение катетов \(в прямоугольном треугольнике\) или через полупроизведение сторон на синус угла между ними \($S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$\)\. #### **Правильная треугольная пирамида:** основание — правильный \(равносторонний\) треугольник со стороной $a$, площадь которого равна $S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$\. Высота проецируется строго в центр треугольника \(точку пересечения медиан, высот и биссектрис\)\. Формула объёма принимает вид: $$ V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \dfrac{a^2 h\sqrt{3}}{12} $$ • **Правильный тетраэдр:** пирамида, у которой абсолютно все 4 грани — равные равносторонние треугольники с ребром $a$\. Высота тетраэдра равна $h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$, а формула его объёма выражается исключительно через длину ребра: $$ V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12} $$ **Задание \(прототип ЕГЭ\):** В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21}$\. Найдите объём пирамиды\. **Пошаговое решение:** 1\) Найдём площадь правильного треугольника $ABC$ в основании со стороной $a = 6$: $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} $$ 2\) В правильной пирамиде высота $SO = h$ падает в центр описанной около основания окружности\. Найдём радиус $R$ описанной окружности правильного треугольника: $$ R = AO = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} $$ 3\) Треугольник $SOA$ — прямоугольный с катетом $AO = R$, катетом $SO = h$ и гипотенузой $SA = \sqrt{21}$\. По теореме Пифагора найдём высоту $h$: $$ h = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{21 - 12} = \sqrt{9} = 3 $$ 4\) Вычислим объём пирамиды: $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3} $$ **Ответ:** $9\sqrt{3}$\. #### Объём четырёхугольной пирамиды В четырёхугольной пирамиде в основании лежит четырёхугольник: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб или трапеция\. #### **Правильная четырёхугольная пирамида:** В основании лежит квадрат со стороной $a$ \($S_{\text{осн}} = a^2$\), а вершина проецируется строго в точку пересечения диагоналей квадрата\. Формула объёма: $$ V = \dfrac{1}{3} a^2 h $$ #### **Связь высоты, апофемы и бокового ребра:** 1\. Через апофему $L$ \(высоту боковой грани\): катет прямоугольного треугольника равен половине стороны основания $\dfrac{a}{2}$\. По теореме Пифагора: $h = \sqrt{L^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$\. 2\. Через боковое ребро $b$: катет равен половине диагонали квадрата $\dfrac{d}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$\. По теореме Пифагора: $h = \sqrt{b^2 - \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}$\. **Задание \(прототип ЕГЭ\):** В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна $12$, а длина бокового ребра равна $13$\. Найдите объём пирамиды\. **Пошаговое решение:** 1\) Высота $SO = 12$ перпендикулярна основанию $ABCD$ и падает в центр квадрата — точку пересечения диагоналей $O$\. 2\) Из прямоугольного треугольника $SOA$ найдём половину диагонали квадрата $AO$ по теореме Пифагора \(где гипотенуза $SA = 13$\): $$ AO = \sqrt{SA^2 - SO^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 $$ 3\) Длина всей диагонали квадрата $AC$ вдвое больше половины: $d = AC = 2 \cdot 5 = 10$\. 4\) Площадь квадрата через его диагональ вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}d^2$: $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 10^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 100 = 50 $$ 5\) Вычислим объём пирамиды: $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 50 \cdot 12 = 50 \cdot 4 = 200 $$ **Ответ:** 200\. #### Объём правильной шестиугольной пирамиды Основанием **правильной шестиугольной пирамиды** является правильный шестиугольник со стороной $a$\. Он состоит из 6 равных равносторонних треугольников со стороной $a$\. Площадь основания равна: $$ S_{\text{осн}} = 6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} $$ Подставляя площадь основания в общую формулу, получаем формулу объёма правильной шестиугольной пирамиды: $$ V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h = \dfrac{a^2 h\sqrt{3}}{2} $$ **Задание \(прототип ЕГЭ\):** Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $4$, а боковое ребро равно $\sqrt{37}$\. Найдите объём пирамиды\. **Пошаговое решение:** 1\) В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны основания: $R = AO = a = 4$\. 2\) Высота $SO = h$ падает в центр шестиугольника\. Из прямоугольного треугольника $SOA$ найдём высоту по теореме Пифагора: $$ h = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{37})^2 - 4^2} = \sqrt{37 - 16} = \sqrt{21} $$ 3\) Найдём площадь правильного шестиугольника в основании \($a = 4$\): $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{3 \cdot 4^2 \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \cdot 16 \sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} $$ 4\) Вычислим объём пирамиды: $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot \sqrt{21} = 8\sqrt{63} = 8 \cdot 3\sqrt{7} = 24\sqrt{7} $$ **Ответ:** $24\sqrt{7}$\. ### Объём треугольной пирамиды через объём параллелипепеда Один из самых частых вопросов первой части профильного ЕГЭ по математике формулируется так: *«Объём параллелепипеда \(или прямоугольного параллелепипеда\) равен *$V$*\. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды»*\. Разберём строгое геометрическое обоснование этого соотношения\. ##### Теорема о коэффициенте 1/6 \(угловая пирамида\) Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ объёмом $V$\. Треугольная пирамида $ABDA_1$ отсекается плоскостью, проходящей через три вершины при одном угле: 1\. Высота отсечённой пирамиды $h$ совпадает с высотой параллелепипеда $H$\. 2\. Основанием пирамиды служит треугольник $ABD$, который образуется диагональю параллелограмма $ABCD$\. Площадь треугольника $ABD$ ровно в 2 раза меньше площади основания параллелепипеда: $S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD}$\. 3\. Находим объём треугольной пирамиды: $$ V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABD} \cdot h = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{2} S_{ABCD}\right) H = \dfrac{1}{6} \left(S_{ABCD} \cdot H\right) = \dfrac{1}{6} V_{\text{пар}} $$ **Вывод:** объём треугольной пирамиды, вершины которой лежат в вершинах параллелепипеда и образуют «уголок», всегда составляет ровно **одну шестую** от объёма параллелепипеда: $$ V_{\text{пир}} = \dfrac{V_{\text{пар}}}{6} $$ **Задание \(№3 / №2 профильного ЕГЭ\):** Объём прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $72$\. Найдите объём треугольной пирамиды $B_1ABC$\. **Пошаговое решение:** 1\) Пирамида $B_1ABC$ имеет вершину $B_1$ и основание — прямоугольный треугольник $ABC$\. 2\) Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине площади основания параллелепипеда: $$ S_{ABC} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD} $$ 3\) Высота пирамиды равна длине бокового ребра $BB_1 = H$\. 4\) Вычисляем объём пирамиды через формулу одной шестой: $$ V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{6} V_{\text{пар}} = \dfrac{72}{6} = 12 $$ **Ответ:** 12\. ### Объём усечённой пирамиды > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_piramidy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_piramidy). **Усечённой пирамидой** называется многогранник, заключённый между основанием исходной пирамиды и секущей плоскостью, параллельной основанию\. Её основания — подобные многоугольники площадей $S_1$ и $S_2$, а высота $h$ — расстояние между параллельными плоскостями оснований\.  $$ V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right) $$ **Задание:** В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны $8$ и $2$, а высота пирамиды равна $6$\. Найдите её объём\. **Пошаговое решение:** 1\) Основания пирамиды — квадраты\. Найдём их площади: • Площадь нижнего основания: $S_1 = 8^2 = 64$\. • Площадь верхнего основания: $S_2 = 2^2 = 4$\. 2\) Вычислим среднее геометрическое площадей: $$ \sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{64 \cdot 4} = 8 \cdot 2 = 16 $$ 3\) Подставим полученные значения и высоту $h = 6$ в формулу объёма усечённой пирамиды: $$ V = \dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot (64 + 16 + 4) = 2 \cdot 84 = 168 $$ **Ответ:** 168\. #### Типичные ошибки при решении задач на объём пирамиды При выполнении заданий по стереометрии школьники чаще всего допускают следующие три характерные ошибки: ##### Потеря коэффициента 1/3 Забывают умножить на $\dfrac{1}{3}$ и находят произведение $S_{\text{осн}} \cdot h$\. В итоге получают объём призмы вместо пирамиды, завышая правильный ответ ровно в 3 раза\. ##### Подстановка апофемы вместо высоты пирамиды Путают апофему \(высоту боковой грани $L$\) и высоту всей пирамиды \($h$\)\. Апофема всегда длиннее высоты пирамиды, так как является гипотенузой прямоугольного треугольника, составленного высотой пирамиды, апофемой и радиусом вписанной окружности\. ##### Неверный радиус в основании при нахождении высоты В правильной треугольной пирамиде путают радиус вписанной окружности $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ \(применяемый с апофемой\) и радиус описанной окружности $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ \(применяемый с боковым ребром\)\. Ошибка в выборе радиуса приводит к неверному значению высоты $h$\. ## Задачи на объём пирамиды 11 класс Задачи на объём пирамиды помогут вам отработать формулы и научиться решать задачи, благодаря подробным решениям с пояснениями\. В каждом задании вы найдете большое количество вариантов и автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_piramidy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_piramidy).