> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Объём прямой призмы \- теория и задачи На этой странице собраны теория, свойства и типовые **задачи на объём прямой призмы** из школьного курса геометрии за 11 класс, самостоятельных работ и экзаменационных банков заданий\. Вы узнаете, чему равен объём прямой призмы, как вычислять его через площадь основания и высоту, разберёте свойства треугольных, четырёхугольных и правильных призм, а также комбинации с цилиндром и сможете закрепить навык в [онлайн\-тренажёре с пошаговой проверкой ответов](#trenazher-zadachi-na-obem-pryamoy-prizmy-ekzameo)\. Приступая к **задачам на нахождение объёма прямой призмы**, важно помнить её ключевое геометрическое свойство: боковые рёбра прямой призмы строго перпендикулярны плоскостям её оснований\. Это означает, что длина любого бокового ребра в точности равна высоте призмы \($h = l$\)\. Поэтому вычисление объёма всегда сводится к понятному универсальному алгоритму: найти площадь многоугольника в основании и умножить её на высоту\. \[Место для иллюстрации: Прямая призма с обозначением равных оснований, боковых рёбер, перпендикулярных основанию, и высоты h\] ## Формула объёма прямой призмы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy). **Объём прямой призмы** равен произведению площади её основания на высоту \(длину бокового ребра\): $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h $$ **Величины в формуле и единицы измерения:** • $V$ — объём призмы, измеряется в кубических единицах \($\text{см}^3$, $\text{м}^3$\)\. • $S_{\text{осн}}$ — площадь многоугольника в основании \(треугольника, четырёхугольника, шестиугольника\), измеряется в $\text{см}^2$, $\text{м}^2$\. • $h$ — высота призмы \(расстояние между плоскостями оснований\)\. Так как призма прямая, высота равна длине любого бокового ребра: $h = AA_1 = BB_1 = CC_1$\. ## Формулы и методы вычисления объёма прямой призмы Независимо от количества углов многоугольника в основании, базовая зависимость остаётся неизменной: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$\. В практических задачах ключевой шаг — определить форму многоугольника в основании и применить для него подходящую формулу планиметрии\. ### Базовая формула для произвольного основания > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy). Если площадь основания уже известна из условия задачи, объём призмы находится прямым умножением площади на длину бокового ребра: \[Место для иллюстрации: Произвольная прямая призма с выделенной площадью основания S\_осн и высотой h\] **Условие:** Площадь основания прямой пятиугольной призмы равна $28\text{ см}^2$, а длина её бокового ребра равна $9\text{ см}$\. Найдите объём этой призмы\. **Пошаговое решение:** 1\) Для прямой призмы высота $h$ равна длине её бокового ребра: $$ h = 9\text{ см} $$ 2\) Площадь основания задана в условии: $S_{\text{осн}} = 28\text{ см}^2$\. 3\) Применяем базовую формулу объёма: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h = 28 \cdot 9 = 252\text{ см}^3 $$ **Ответ:** 252\. ### Прямая треугольная призма В школьных самостоятельных работах и в материалах ЕГЭ наиболее часто встречается **прямая треугольная призма **$ABCA_1B_1C_1$\. Её основаниями служат два одинаковых треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$\. Выбор расчётного выражения зависит от геометрического типа треугольника в основании: • **Прямоугольный треугольник в основании \(катеты **$a$** и **$b$**\):** $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2}ab \implies V = \dfrac{1}{2}ab \cdot h $$ • **Равносторонний треугольник в основании \(сторона **$a$**\):** $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \implies V = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h $$ • **Произвольный треугольник:** площадь находят через две стороны и угол между ними \($S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$\) либо по формуле Герона через полупериметр \($S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$\)\. \[Место для иллюстрации: Прямая треугольная призма ABCA1B1C1 с прямоугольным основанием\] **Условие \(прототип ЕГЭ\):** В прямой треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ основанием служит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$\. Катеты равны $AC = 6$, $BC = 8$\. Боковое ребро призмы $AA_1$ равно $5$\. Найдите объём призмы\. **Пошаговое решение:** 1\) Найдём площадь прямоугольного треугольника $ABC$ в основании как полупроизведение катетов: $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 $$ 2\) Так как призма прямая, её высота равна длине бокового ребра: $h = AA_1 = 5$\. 3\) Вычислим объём призмы: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h = 24 \cdot 5 = 120 $$ **Ответ:** 120\. ### Прямая четырёхугольная призма Основанием прямой четырёхугольной призмы может быть любой четырёхугольник: прямоугольник, ромб, параллелограмм или трапеция\. • **Прямоугольный параллелепипед** \(в основании прямоугольник со сторонами $a$ и $b$\): $$ V = a \cdot b \cdot c $$ • **Ромб в основании** \(с диагоналями $d_1$ и $d_2$\): $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 \implies V = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 \cdot h $$ • **Трапеция в основании** \(с основаниями $a$, $b$ и высотой трапеции $h_{\text{тр}}$\): $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{a + b}{2} \cdot h_{\text{тр}} \implies V = \dfrac{a + b}{2} \cdot h_{\text{тр}} \cdot h $$ \[Место для иллюстрации: Прямая четырёхугольная призма с ромбом в основании и проведёнными диагоналями основания\] **Условие:** Основанием прямой четырёхугольной призмы является ромб с диагоналями $12$ и $16$\. Боковое ребро призмы равно $10$\. Найдите объём призмы\. **Пошаговое решение:** 1\) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 $$ 2\) Высота прямой призмы совпадает с её боковым ребром: $h = 10$\. 3\) Вычисляем объём призмы: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h = 96 \cdot 10 = 960 $$ **Ответ:** 960\. ### Правильная призма > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy). **Правильная призма** — это частный случай прямой призмы, основанием которой служит **правильный многоугольник** \(равносторонний треугольник, квадрат или правильный шестиугольник\)\. • **Правильная треугольная призма \(сторона основания **$a$**\):** $$ V = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h $$ • **Правильная шестиугольная призма \(сторона основания **$a$**\):** основание состоит из шести равных правильных треугольников, поэтому его площадь равна $S_{\text{осн}} = 6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$\. Формула объёма: $$ V = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h $$ \[Место для иллюстрации: Правильная шестиугольная призма с разбиением основания на 6 равносторонних треугольников\] **Условие \(прототип ЕГЭ\):** В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $2$, а боковое ребро равно $3\sqrt{3}$\. Найдите объём этой призмы\. **Пошаговое решение:** 1\) Найдём площадь правильного шестиугольника со стороной $a = 2$: $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $$ 2\) Высота правильной призмы равна длине бокового ребра: $h = 3\sqrt{3}$\. 3\) Найдём объём призмы: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54 $$ **Ответ:** 54\. #### Комбинация тел: прямая призма и цилиндр В проверочных и самостоятельных работах 11 класса регулярно исследуется соотношение объёмов прямой призмы и цилиндра при взаимном вписывании и описании: • **Равенство высот:** у цилиндра, вписанного в призму \(или описанного около неё\), высота строго совпадает с высотой призмы \($h_{\text{цил}} = h_{\text{пр}}$\)\. • **Отношение объёмов:** отношение объёма цилиндра к объёму призмы равно отношению площадей их оснований, поскольку высоты сокращаются: $$ \dfrac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{пр}}} = \dfrac{\pi R^2 \cdot h}{S_{\text{осн}} \cdot h} = \dfrac{\pi R^2}{S_{\text{осн}}} $$ \[Место для иллюстрации: Цилиндр, вписанный в правильную четырёхугольную призму \(вид сбоку и вид сверху\)\] **Условие:** В правильную четырёхугольную призму вписан цилиндр, объём которого равен $16\pi$\. Найдите объём призмы\. **Пошаговое решение:** 1\) Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а высота равна $h$\. Запишем объём цилиндра: $$ V_{\text{цил}} = \pi R^2 h = 16\pi \implies R^2 h = 16 $$ 2\) Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, в который вписан круг радиуса $R$\. Длина стороны квадрата равна диаметру круга: $$ a = 2R $$ 3\) Площадь основания призмы равна площади квадрата: $$ S_{\text{осн}} = a^2 = (2R)^2 = 4R^2 $$ 4\) Высота призмы равна высоте цилиндра $h$\. Выразим объём призмы: $$ V_{\text{пр}} = S_{\text{осн}} \cdot h = 4R^2 h = 4(R^2 h) $$ 5\) Подставим ранее найденное соотношение $R^2 h = 16$: $$ V_{\text{пр}} = 4 \cdot 16 = 64 $$ **Ответ:** 64\. #### Ошибки при решении задач на объём прямой призмы При решении контрольных и экзаменационных заданий старшеклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Потеря коэффициента 1/2 в основании Вычисляя площадь прямоугольного треугольника в основании, перемножают катеты $a \cdot b$, забывая разделить на 2\. В результате объём призмы оказывается завышен ровно в два раза\. Всегда перепроверяйте: $S = \dfrac{1}{2}ab$\. ##### Смешение прямой и правильной призмы Считают, что любая прямая призма является правильной\. Это неверно: у **прямой призмы** вертикальны только боковые рёбра, а в основании может лежать разносторонний треугольник или трапеция\. **Правильной** призма является исключительно тогда, когда её основание — правильный многоугольник\. ##### Путаница высоты призмы и высоты основания В призмах с треугольником или трапецией в основании путают высоту основания $h_{\text{тр}}$ и высоту всей призмы $h$ \(боковое ребро\)\. Это разные отрезки: высота основания лежит в горизонтальной плоскости, а высота призмы направлена вертикально\. ##### Ошибка с радиусом вписанного цилиндра В задачах с цилиндром, вписанным в четырёхугольную призму со стороной основания $a$, радиус цилиндра ошибочно приравнивают к стороне $a$\. Сторона квадрата равна **диаметру** цилиндра, поэтому радиус равен половине стороны: $R = \dfrac{a}{2}$\. ## Задачи на объём прямой призмы с решениями Задания на вычисление объёма прямой треугольной, четырёхугольной, шестиугольной призмы и комбинаций с цилиндром собраны ниже для подготовки к самостоятельным и контрольным работам по геометрии в 11 классе, а также к базовому и профильному ЕГЭ по математике\. В каждом задании вы найдёте подробное решение и проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_pryamoy_prizmy).