> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_shara](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_shara). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задачи на объём шара: теория, типовые задания и интерактивный тренажёр **Задачи на объём шара** — один из блоков стереометрии 11 класса и экзаменационных заданий базового и профильного ЕГЭ по математике\. В отличие от многогранников, где вычисления зависят от формы основания, объём шара определяется единственным линейным параметром — его радиусом \(или диаметром\)\. Однако в реальных задачах часто требуется работать с телами вращения при изменении радиуса, переливании жидкости, погружении шара в цилиндрический сосуд или в комбинациях со вписанными и описанными многогранниками\. На этой странице представлен разбор темы объём шара: зависимость объёма от радиуса при масштабировании, пошаговый разбор прототипов экзаменационных задач \(включая погружение деталей и вписанные сферы\) и после теории и формул вы найдете [интерактивные тренажёрам](#katalog-trenazherov-obem-shara) с автоматической проверкой ответов и подробным пошаговым решением\. ## Формула объёма шара > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_shara](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_shara). **Шар:** геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не превышающем радиус $R$\. Шар образуется вращением полукруга вокруг его диаметра\. • **Объём шара через радиус **$R$**:** равен четырём третям произведения числа $\pi$ на куб радиуса: $$ V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 $$ • **Объём шара через диаметр **$D$** \(**$D = 2R \implies R = \dfrac{D}{2}$**\):** $$ V = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{D}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{D^3}{8} = \dfrac{1}{6}\pi D^3 $$ Как можно понять, нужно выучить всего 1 формулу и использовать её, просто рассчитывая либо радиус, либо диаметр\. ### Решение типовых задач на объём шара При сдаче контрольных работ и экзаменов школьники сталкиваются с четырьмя основными категориями задач\. Ниже приведены подробные эталоны решений каждого типа: **Задание \(прототип ЕГЭ\):** Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в 3 раза? **Пошаговое решение:** 1\) Запишем формулу исходного объёма шара радиуса $R_1$: $$ V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R_1^3 $$ 2\) Пусть новый радиус в 3 раза больше исходного: $R_2 = 3R_1$\. Подставим его в формулу объёма: $$ V_2 = \dfrac{4}{3}\pi R_2^3 = \dfrac{4}{3}\pi (3R_1)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27R_1^3 = 27 \cdot \left(\dfrac{4}{3}\pi R_1^3\right) = 27 V_1 $$ 3\) Найдём отношение объёмов: $$ \dfrac{V_2}{V_1} = 27 $$ **Ответ:** в 27 раз\. **Задание:** В цилиндрический сосуд с водой опустили металлический шар радиуса $3\text{ см}$\. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $4\text{ см}$\. Найдите радиус основания цилиндрического сосуда\. Ответ дайте в сантиметрах\. **Пошаговое решение:** 1\) По закону Архимеда объём вытесненной жидкости в точности равен объёму погружённого тела\. Вычислим объём металлического шара: $$ V_{\text{шара}} = \dfrac{4}{3}\pi R_{\text{шара}}^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\text{ см}^3 $$ 2\) Вытесненная жидкость в сосуде принимает форму цилиндра с радиусом основания $R_{\text{цил}}$ и высотой $\Delta h = 4\text{ см}$\. Запишем формулу объёма вытесненного слоя воды: $$ V_{\text{выт}} = \pi R_{\text{цил}}^2 \cdot \Delta h = \pi R_{\text{цил}}^2 \cdot 4 $$ 3\) Приравняем объём вытесненной воды к объёму шара: $$ 4\pi R_{\text{цил}}^2 = 36\pi $$ 4\) Разделим обе части уравнения на $4\pi$: $$ R_{\text{цил}}^2 = 9 \implies R_{\text{цил}} = 3\text{ см} $$ **Ответ:** 3\. **Задание:** Три металлических свинцовых шара с радиусами 3, 4 и 5 переплавили в один большой шар\. Найдите радиус полученного шара\. **Пошаговое решение:** 1\) По закону сохранения массы объём получившегося шара равен сумме объёмов трёх исходных шаров: $$ V = V_1 + V_2 + V_3 $$ 2\) Подставим формулы объёмов шаров через их радиусы: $$ \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi R_1^3 + \dfrac{4}{3}\pi R_2^3 + \dfrac{4}{3}\pi R_3^3 $$ 3\) Сократим обе части уравнения на общий множитель $\dfrac{4}{3}\pi$: $$ R^3 = R_1^3 + R_2^3 + R_3^3 $$ 4\) Подставим числовые значения радиусов: $$ R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216 $$ 5\) Извлечём кубический корень из 216: $$ R = \sqrt[3]{216} = 6 $$ **Ответ:** 6\. **Задание \(задача Архимеда из ЕГЭ\):** Около шара описан цилиндр, объём которого равен 45\. Найдите объём вписанного шара\. **Пошаговое решение:** 1\) Если цилиндр описан около шара радиуса $R$, то радиус основания цилиндра равен радиусу шара \($R_{\text{цил}} = R$\), а высота цилиндра равна диаметру шара \($h = 2R$\)\. 2\) Запишем формулу объёма цилиндра: $$ V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot h = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3 $$ 3\) Запишем формулу объёма вписанного шара: $$ V_{\text{шара}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{2}{3} \cdot (2\pi R^3) $$ 4\) Заметим, что объём вписанного шара всегда составляет ровно $\dfrac{2}{3}$ от объёма описанного цилиндра: $$ V_{\text{шара}} = \dfrac{2}{3} V_{\text{цил}} $$ 5\) Подставим известное значение объёма цилиндра: $$ V_{\text{шара}} = \dfrac{2}{3} \cdot 45 = 2 \cdot 15 = 30 $$ **Ответ:** 30\. #### Ошибки при вычислении объёма шара При решении заданий на объём шара чаще всего допускаются следующие три ошибки, постарайтесь учесть их при решении заданий на объём шара в 11 классе и на ЕГЭ по математике: ##### Возведение радиуса в квадрат вместо куба Путают формулу площади поверхности сферы \($S = 4\pi R^2$\) и формулу объёма шара \($V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$\)\. Если радиус возведён во вторую степень, результат неверен: объём — трёхмерная величина, требующая третьей степени радиуса\. ##### Линейное изменение объёма при масштабировании Считают, что если радиус увеличился в 2 раза, то и объём шара вырастет в 2 раза\. Объём изменяется пропорционально **кубу коэффициента подобия**: при росте радиуса в 2 раза объём увеличивается в $2^3 = 8$ раз\. ##### Подстановка диаметра вместо радиуса Если в условии дан диаметр шара $D = 10$, его значение напрямую подставляют в формулу $\dfrac{4}{3}\pi R^3$, забывая разделить диаметр пополам \($R = 5$\)\. Это приводит к завышению вычисленного объёма ровно в 8 раз\. ## Задачи на объём шара для 11 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_shara](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_shara). В интерактивных тренажёрах образовательной платформы Экзамео собрана полная коллекция задач на объём шара: от базового нахождения объёма по радиусу и диаметру до задач на переливание жидкостей, погружение тел, переплавку металлов и комбинации шара с кубом, призмой и цилиндром из открытого банка ФИПИ\. Тренируйтесь онлайн, получайте мгновенный отклик системы и изучайте подробные пошаговые эталоны решений\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_shara](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_shara).