> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_tsilindra](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_tsilindra). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задачи на объём цилиндра: формулы, разбор прототипов ЕГЭ и тренажёр 11 класс **Задачи на объём цилиндра** занимают центральное место в курсе стереометрии **11 класса** и регулярно встречаются в материалах единого государственного экзамена: как в базовом ЕГЭ по математике, так и в первой части профильного ЕГЭ \(блок заданий по геометрии\)\. Цилиндрическая форма является наиболее распространённой среди тел вращения в инженерии и технике: цилиндрическую форму имеют резервуары нефтехранилищ, поршни двигателей, цистерны, трубы, бочки и медицинские сосуды\. Среди экзаменационных прототипов выделяются несколько устойчивых типов задач: нахождение объёма по известным радиусу и высоте, расчёт уровня жидкости при переливании из одного цилиндрического сосуда в другой, изменение объёма при пропорциональном масштабировании размеров, а также задачи на комбинацию объёмов цилиндра и вписанного в него конуса\. Главное правило вычисления объёма прямого цилиндра строится на произведении площади круглого основания на высоту: $V = \pi R^2 h$\. Ниже систематизирована вся теория, представлены алгоритмы решений задач всех сложностей для подготовки к контрольным работам и ЕГЭ, разобран блок типичных ошибок и открыт доступ к [онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-zadachi-na-objem-tsilindra-ekzameo) с мгновенной проверкой ответов\. ## Формула объёма цилиндра и ключевые законы — 11 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_tsilindra](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_tsilindra). **Объём прямого кругового цилиндра** равен произведению площади его основания на высоту: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h = \pi R^2 h $$  • **Формула через диаметр основания \(**$D = 2R$**\):** так как $R = \dfrac{D}{2}$, возведение в квадрат даёт знаменатель $4$: $$ V = \pi \left(\dfrac{D}{2}\right)^2 h = \dfrac{\pi D^2 h}{4} $$ $$ h_2 = h_1 \cdot \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2 = \dfrac{h_1}{k^2} $$ • **Связь с объёмом вписанного конуса:** конус, имеющий общее основание и равную высоту с цилиндром, занимает ровно одну треть его объёма: $$ V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h = \dfrac{1}{3} V_{\text{цил}} \iff V_{\text{цил}} = 3 \cdot V_{\text{кон}} $$ • **Квадратичная зависимость от радиуса:** при увеличении радиуса цилиндра в $n$ раз его объём увеличивается в $n^2$ раз\. При увеличении высоты в $m$ раз объём увеличивается лишь в $m$ раз\. Формулу объёма цилиндра в стереометрии строго обосновывают двумя способами: через предел объёмов вписанных правильных призм либо на основе интегрального принципа Кавальери: 1\. Расположим на одной горизонтальной плоскости прямой круговой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $h$, а рядом — прямую призму с той же высотой $h$, площадь основания которой в точности равна площади круга \($S_{\text{осн}} = \pi R^2$\)\. 2\. Проведём произвольную секущую плоскость, параллельную плоскости оснований, на некоторой высоте $z$ \($0 \le z \le h$\)\. 3\. В сечении цилиндра образуется круг радиуса $R$ с постоянной площадью $S_1 = \pi R^2$\. В сечении призмы образуется многоугольник, равный её основанию, с площадью $S_2 = S_{\text{осн}} = \pi R^2$\. 4\. Так как площади поперечных сечений обоих тел равны на любой высоте \($S_1(z) = S_2(z)$\), по **принципу Кавальери** объёмы этих пространственных тел равны\. 5\. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: $V_{\text{пр}} = S_{\text{осн}} \cdot h$\. Следовательно, объём цилиндра равен: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h = \pi R^2 h $$ ### Формулы и соотношения для задач на объём цилиндра Задачи с использованием объёма цилиндра очень часто встречаются не только в 11 классе, но и на ЕГЭ по математике как профильного, так и базового уровня и для них нужно вспомнить несколько ключевых моментов\. ##### **Закон переливания жидкости** Если жидкость переливают из сосуда с радиусом $R_1$ в сосуд с радиусом $R_2 = k \cdot R_1$, то уровень жидкости $h_2$ изменяется обратно пропорционально **квадрату** изменения радиуса или диаметра поскольку $V=\text{const}$: $$ h_2 = h_1 \cdot \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2 = \dfrac{h_1}{k^2} $$  ##### **Связь с объёмом вписанного конуса** Конус, имеющий общее основание и равную высоту с цилиндром, занимает ровно одну треть его объёма: $$ V_{\text{кон}}=\dfrac{1}{3}\pi R^2h=\dfrac{1}{3}V_{\text{цил}}\iff V_{\text{цил}}=3\cdot V_{\text{кон}} $$  ##### **Квадратичная зависимость от радиуса** При увеличении радиуса цилиндра в $n$ раз его объём увеличивается в $n^2$ раз\. При увеличении высоты в $m$ раз объём увеличивается лишь в $m$ раз\. Для быстрого выбора нужного соотношения в заданиях первой части ЕГЭ и на контрольных работах используйте сводную таблицу: ##### Тип задачи ##### Рабочая формула ##### Выражение высоты / радиуса ##### Характерная особенность **Стандартный расчёт** $V = \pi R^2 h = \dfrac{\pi D^2 h}{4}$ $h = \dfrac{V}{\pi R^2},\quad R = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}$ В ответах ЕГЭ часто просят указать величину $\dfrac{V}{\pi}$\. **Переливание жидкостей** $\pi R_1^2 h_1 = \pi R_2^2 h_2$ $h_2 = h_1 \cdot \left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2$ Число $\pi$ полностью сокращается; расчёт ведётся через отношение диаметров\. **Цилиндр и вписанный конус** $V_{\text{ост}} = V_{\text{цил}} - V_{\text{кон}} = \dfrac{2}{3} V_{\text{цил}}$ $V_{\text{цил}} = 3 \cdot V_{\text{кон}}$ Объём конуса всегда составляет ровно треть от объёма объемлющего цилиндра\. **Равносторонний цилиндр** $V = 2\pi R^3$ $h = 2R \implies R = \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}$ Осевое сечение — квадрат со стороной $2R$\. #### Где встречаются задачи на объём цилиндра в экзаменах Задачи на вычисление объёма цилиндра входят в экзаменационные работы базового и профильного уровней: ##### ЕГЭ Базового уровня Задания на прямое вычисление объёма по известным радиусу основания и высоте в 1 действие, нахождение массы жидкости по плотности \($m = \rho V$\) и чтение графиков уровней наполнения\. ##### ЕГЭ Профильного уровня \(задание 1\) Классические прототипы на переливание жидкостей между сосудами, задачи на погружение деталей \(изменение объёма по вытесненному уровню $\Delta V = \pi R^2 \Delta h$\) и комбинации цилиндра с конусом или шаром\. ##### Контрольные работы 11 класса Тематические контрольные по разделу «Тела вращения» \(учебник Атанасяна\): вычисление объёма по диагонали осевого сечения, длине развёртки боковой поверхности и вписанным правильным призмам\. ##### Задание 14 Профильного ЕГЭ \(часть 2\) Сложные стереометрические задачи на построение сечений цилиндрических поверхностей плоскостью, нахождение объёмов отсечённых частей цилиндра и координатно\-векторный метод\. #### Задачи на объём цилиндра с пошаговыми решениями Ниже приведены подробные решения пяти типовых задач, охватывающих базу заданий ЕГЭ \(База и Профиль\) из открытого банка ФИПИ и контрольных работ 11 класса\. **Условие:** Радиус основания цилиндра равен $4$, а его образующая равна $7$\. Найдите объём цилиндра\. В ответе укажите $\dfrac{V}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) Для прямого кругового цилиндра образующая равна его высоте: $$ h = l = 7 $$ 2\) Вычислим площадь основания цилиндра: $$ S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi $$ 3\) Вычислим объём цилиндра по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$: $$ V = 16\pi \cdot 7 = 112\pi $$ 4\) Разделим полученный объём на $\pi$ по требованию условия задачи: $$ \dfrac{V}{\pi} = \dfrac{112\pi}{\pi} = 112 $$ **Ответ:** $112$\. **Условие:** В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $18\text{ см}$\. Эту жидкость перелили в другой цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в $3$ раза меньше диаметра первого\. На какой высоте \(в сантиметрах\) будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? **Пошаговое решение:** 1\) **Запишем объём жидкости в первом сосуде:** $$ V_1 = \pi R_1^2 \cdot h_1 $$ где $h_1 = 18\text{ см}$\. 2\) **Выразим радиус второго сосуда:** Так как диаметр уменьшился в $3$ раза, радиус второго сосуда также в $3$ раза меньше радиуса первого: $$ R_2 = \dfrac{R_1}{3} $$ 3\) **Запишем объём той же самой жидкости во втором сосуде:** $$ V_2 = \pi R_2^2 \cdot h_2 = \pi \left(\dfrac{R_1}{3}\right)^2 \cdot h_2 = \pi \cdot \dfrac{R_1^2}{9} \cdot h_2 $$ 4\) **Приравняем объёмы \(**$V_1 = V_2$**\), так как количество жидкости не изменилось:** $$ \pi R_1^2 \cdot 18 = \pi \cdot \dfrac{R_1^2}{9} \cdot h_2 $$ 5\) **Сократим обе части уравнения на **$\pi R_1^2$**:** $$ 18 = \dfrac{h_2}{9} \implies h_2 = 18 \cdot 9 = 162\text{ см} $$ Уровень жидкости возрастёт в $3^2 = 9$ раз\. **Ответ:** $162$\. **Условие:** Во сколько раз увеличится объём цилиндра, если радиус его основания увеличить в $4$ раза, а высоту уменьшить в $2$ раза? **Пошаговое решение:** 1\) Запишем формулу первоначального объёма цилиндра: $$ V_1 = \pi R^2 h $$ 2\) Запишем параметры нового цилиндра после изменения размеров: • Новый радиус: $R_{\text{нов}} = 4R$ • Новая высота: $h_{\text{нов}} = \dfrac{h}{2} = 0{,}5h$ 3\) Вычислим новый объём цилиндра: $$ V_2 = \pi (R_{\text{нов}})^2 \cdot h_{\text{нов}} = \pi (4R)^2 \cdot \dfrac{h}{2} = \pi \cdot 16R^2 \cdot \dfrac{h}{2} = 8 \pi R^2 h $$ 4\) Найдём отношение нового объёма к исходному: $$ \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{8 \pi R^2 h}{\pi R^2 h} = 8 $$ Объём цилиндра увеличится ровно в $8$ раз\. **Ответ:** в $8$ раз\. **Условие:** В цилиндр вписан конус\. Основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса лежит в центре другого основания\. Объём конуса равен $24$\. Найдите объём цилиндра и объём оставшейся части цилиндра вне конуса\. **Пошаговое решение:** 1\) Конус и цилиндр имеют общее круглое основание радиуса $R$ и равную высоту $h$\. 2\) Запишем формулы объёмов: $$ V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h $$ $$ V_{\text{цил}} = \pi R^2 h $$ 3\) Выразим объём цилиндра через объём вписанного конуса: $$ V_{\text{цил}} = 3 \cdot V_{\text{кон}} = 3 \cdot 24 = 72 $$ 4\) Вычислим объём оставшейся части цилиндра вне конуса: $$ V_{\text{ост}} = V_{\text{цил}} - V_{\text{кон}} = 72 - 24 = 48 $$ *\(Или через дробь: *$V_{\text{ост}} = \dfrac{2}{3} V_{\text{цил}} = \dfrac{2}{3} \cdot 72 = 48$*\)*\. **Ответ:** объём цилиндра равен $72$, объём оставшейся части равен $48$\. **Условие:** Длина окружности основания цилиндра равна $10\pi$, а площадь его осевого сечения равна $60$\. Найдите объём цилиндра\. В ответе запишите $\dfrac{V}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём радиус и диаметр основания через длину окружности:** Длина окружности равна $C = 2\pi R = 10\pi$\. $$ 2\pi R = 10\pi \implies R = 5,\quad D = 2R = 10 $$ 2\) **Найдём высоту цилиндра через площадь осевого сечения:** Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $D = 2R$ и $h$\. $$ S_{\text{сеч}} = D \cdot h = 10 \cdot h = 60 \implies h = \dfrac{60}{10} = 6 $$ 3\) **Вычислим объём цилиндра:** $$ V = \pi R^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 6 = \pi \cdot 25 \cdot 6 = 150\pi $$ 4\) **Разделим результат на **$\pi$**:** $$ \dfrac{V}{\pi} = \dfrac{150\pi}{\pi} = 150 $$ **Ответ:** $150$\. ##### Типичные ошибки в задачах на объём цилиндра При решении стереометрических задач на цилиндр на экзаменах чаще всего теряют баллы на следующих четырёх моментах: ##### Линейный расчёт при переливании жидкости Если диаметр второго сосуда меньше в 3 раза, уровень ошибочно умножают на 3 вместо 9\. Площадь основания зависит от **квадрата радиуса** \($R^2$\), поэтому высота уровня жидкости изменяется в $k^2 = 3^2 = 9$ раз\! ##### Подстановка диаметра вместо радиуса Зная, что диаметр равен 8, подставляют его в формулу $V = \pi \cdot 8^2 \cdot h$\. Это завышает истинный объём ровно в 4 раза\. Диаметр необходимо предварительно **разделить на два**: $R = 4$, либо делить формулу на 4: $\dfrac{\pi D^2 h}{4}$\. ##### Путаница объёма и боковой поверхности Путают формулу объёма $V = \pi R^2 h$ с площадью боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 2\pi R h$\. Объём измеряется в кубических единицах \($\text{см}^3$\), поэтому радиус обязательно возводится **во вторую степень** \($R^2$\)\. ## Задания на объём цилиндра для 11 класса и ЕГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_tsilindra](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_tsilindra). Интерактивные онлайн\-тренажёры Экзамео содержат полный банк прототипов заданий на объём цилиндра из открытого банка ФИПИ для базового и профильного ЕГЭ по математике, а также самостоятельных работ 11 класса\. Решайте задачи на переливание жидкостей, комбинации цилиндра и конуса, проверяйте ответы, разбирайте пошаговые решения, чтобы полноценно освоить тему --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_tsilindra](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/obem_tsilindra).