> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Определенный интеграл \- теория и тренажеры для 11 класса На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Определённый интеграл» по алгебре и началам математического анализа для 11 класса**\. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально понять геометрический смысл определенного интеграла, выучить формулу Ньютона — Лейбница, освоить вычисление площадей криволинейных трапеций и без ошибок справляться с задачами из контрольных работ и ЕГЭ\. ##### Определенные интегралы в ЕГЭ В открытом банке ФИПИ ЕГЭ по профильной математике в 2027 году нет интегралов \- следовательно их 100% не может быть в первой части, но вы можете их встретить в пробниках различных авторов и например на ЕГКР\. Определённый интеграл — одна из завершающих и самых красивых тем школьного курса математического анализа\. В отличие от неопределённого интеграла \(первообразной\), который представляет собой семейство функций, определённый интеграл равен конкретному числу и имеет четкий физический и геометрический смысл\. После теории на странице доступны [тренажёры с заданиями на определенные интегралы с подробными решениями](#opredelennyy-integral-11-klass-na-platforme-ekzameo) и проверкой ответов ## Определённый интеграл \- 11 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral). Рассмотрим понятия криволинейной трапеции, геометрический смысл интеграла и формулу Ньютона — Лейбница\. ### Криволинейная трапеция и геометрический смысл определенного интеграла #### Что такое криволинейная трапеция? 🎯 **Криволинейной трапецией** называется фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$, снизу — отрезком ос $Ox$ $[a; b]$, а с боков — прямыми $x = a$ и $x = b$\.  #### Геометрический смысл определённого интеграла: Определённый интеграл от неотрицательной функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ **численно равен площади **$S$** криволинейной трапеции**, ограниченной этим графиком: $$ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$ Обозначения: $a$ — нижний предел интегрирования, $b$ — верхний предел интегрирования, $f(x)$ — подинтегральная функция\. ### Формула Ньютона — Лейбница > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral). Для основного вычисления определённых интегралов применяется фундаментальная **формула Ньютона — Лейбница**: #### Формула Ньютона — Лейбница 🎯 Если функция $F(x)$ является первообразной для непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$, то: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(b) - F(a) $$ где $F(x) \Big|_{a}^{b}$ — подстановка \(двойная замена\)\. ### Главные свойства определённого интеграла При решении интегралов за 11 класс активно используются четыре линейных свойства: 1\. **Вынос постоянного множителя:** $$ \int_{a}^{b}k\cdot f(x)\,dx=k\cdot\int_{a}^{b}f(x)\,dx $$ 2\. **Интеграл суммы/разности:** $$ \int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int_{a}^{b}g(x)\,dx $$ 3\. **Разбиение отрезка интегрирования** $$ \int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx $$ 4\. **Перестановка пределов:** $$ \int_{a}^{b}f(x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx $$ если $a = b$, то $$ \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0 $$ #### Площадь фигуры между двумя графиками\! 💡 Если фигура ограничена сверху графиком $y = f(x)$, а снизу графиком $y = g(x)$ на отрезке $[a; b]$, то её площадь находится по формуле: $$ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx $$ *\(Из верхнего графика всегда вычитается нижний график\!\)* ### Пошаговый алгоритм вычисления интеграла При решении определённого интеграла придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral). **Найдите первообразную **$F(x)$**:** используя таблицу интегралов, найдите любую первообразную для подинтегральной функции $f(x)$ \(константу $C$ опускают\)\. **Запишите подстановку:** оформите результат с помощью квадратной скобки двойной подстановки: $F(x) \Big|_{a}^{b}$\. **Вычислите разность **$F(b) - F(a)$**:** подставьте сначала верхний предел $b$, затем нижний предел $a$ и найдите их разность\. ### Разбор типовых задач из контрольных работ за 11 класс Рассмотрите решения задач, характерных для урока математического анализа за 11 класс и контрольных работ\. **Задание:** Вычислите определённый интеграл $\int_{1}^{3} (3x^2 - 2x + 1) \, dx$\. **Подробное решение:** 1\) Найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$: $F(x) = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + x = x^3 - x^2 + x$\. 2\) Применим формулу Ньютона — Лейбница: $\int_{1}^{3} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = (x^3 - x^2 + x) \Big|_{1}^{3}$\. 3\) Подставим верхний предел $x = 3$: $F(3) = 3^3 - 3^2 + 3 = 27 - 9 + 3 = 21$\. 4\) Подставим нижний предел $x = 1$: $F(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$\. 5\) Вычислим разность $F(3) - F(1)$: $21 - 1 = 20$\. **Ответ:** $20$\. **Задание:** Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 4 - x^2$ и $y = 0$\. **Подробное решение:** 1\) Найдем пределы интегрирования, приравняв $y = 4 - x^2$ к нулю: $4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$\. Значит, пределы интегрирования: $a = -2, b = 2$\. 2\) Запишем площадь криволинейной трапеции через интеграл: $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$\. 3\) Найдем первообразную и применим формулу Ньютона — Лейбница: $F(x) = 4x - \dfrac{x^3}{3}$\. $S = \left(4x - \dfrac{x^3}{3}\right) \Big|_{-2}^{2}$\. 4\) Подставим пределы: $F(2) = 4 \cdot 2 - \dfrac{2^3}{3} = 8 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{16}{3}$\. $F(-2) = 4 \cdot (-2) - \dfrac{(-2)^3}{3} = -8 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{16}{3}$\. $S = F(2) - F(-2) = \dfrac{16}{3} - \left(-\dfrac{16}{3}\right) = \dfrac{32}{3} = 10\dfrac{2}{3}$\. **Ответ:** $10\dfrac{2}{3}$\. ## Тренажёры по теме «Определённый интеграл» для 11 класса Тренажеры на определенные интегралы для 11 класса помогут отработать свойства и формулы, а так же навыки их вычисления и применения формулы Ньютона\-Лейбница\. Для каждого задания вы найдете подробные решения и объяснения с автоматической проверкой ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/opredelennyi_integral).