<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Первообразная \- таблица первообразных и тренажеры

На этой странице представлен исчерпывающий учебно\-практический справочник по теме **«Первообразная и неопределённый интеграл» по алгебре и началам анализа для 11 класса**\. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот материал, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально освоить операцию, обратную дифференцированию, выучить полную таблицу первообразных, научиться применять основные правила интегрирования и уверенно сдавать самостоятельные и контрольные работы, а также ЕГЭ по математике\.

В курсе алгебры 11 класса тема первообразных открывает раздел интегрального исчисления\. Если дифференцирование позволяет по известной функции найти её скорость изменения \(производную\), то отыскание первообразной решает обратную задачу: восстанавливает саму функцию по её производной\.

## Теоретический справочник: первообразная и неопределённый интеграл

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral).


Рассмотрим базовые определения, основное свойство первообразных и полное справочное руководство по элементарным функциям\.

### 1\. Определение и основное свойство первообразной

#### Определение первообразной 🎯

Функция $F(x)$ называется **первообразной** для функции $f(x)$ на заданном промежутке $X$, если для всех $x \in X$ выполняется равенство:

$$F'\(x\) = f\(x\)$$

**Основное свойство первообразных:**

Если $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$, то любая другая первообразная имеет вид $F(x) + C$, где $C \in \mathbb{R}$ — произвольная постоянная \(константа\)\.

#### Понятие неопределённого интеграла:

Множество всех первообразных для функции $f(x)$ называется её **неопределённым интегралом** и обозначается символом:

$$
\int f(x) \, dx = F(x) + C
$$

### 2\. Полная таблица первообразных \(11 класс алгебра\)

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral).


Ниже представлена полная **таблица первообразных для 11 класса**, содержащая все основные формулы алгебры и математического анализа:

##### Функция $f(x)$

##### Общий вид первообразных $F(x) + C$

##### Запись в виде неопределённого интеграла

**Число \(константа\)** $k$

$kx + C$

$\int k \, dx = kx + C$

**Степенная** $x^p \quad (p \neq -1)$

$\dfrac{x^{p+1}}{p+1} + C$

$\int x^p \, dx = \dfrac{x^{p+1}}{p+1} + C$

**Обратно пропорциональная** $\dfrac{1}{x}$

$\ln|x| + C$

$\int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

**Корень** $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$2\sqrt{x} + C$

$\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} + C$

**Показательная с экспонентой** $e^x$

$e^x + C$

$\int e^x \, dx = e^x + C$

**Показательная общего вида** $a^x$

$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$

$\int a^x \, dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$

**Синус** $\sin x$

$-\cos x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

**Косинус** $\cos x$

$\sin x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

**Дробно\-тригонометрическая** $\dfrac{1}{\cos^2 x}$

$\mathrm{tg}\,x + C$

$\int \dfrac{1}{\cos^2 x} \, dx = \mathrm{tg}\,x + C$

**Дробно\-тригонометрическая** $\dfrac{1}{\sin^2 x}$

$-\mathrm{ctg}\,x + C$

$\int \dfrac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\mathrm{ctg}\,x + C$

### 3\. Правила отыскания первообразных

При выполнении заданий самостоятельных и контрольных работ за 11 класс применяются три основных правила:

1\. **Первообразная суммы:** Первообразная суммы равна сумме первообразных:
если $f(x) \to F(x)$ и $g(x) \to G(x)$, то $(f(x) + g(x)) \to F(x) + G(x)$\.

2\. **Вынос постоянного множителя:** Постоянный множитель выносится за знак первообразной:
если $f(x) \to F(x)$, то $k \cdot f(x) \to k \cdot F(x)$\.

3\. **Первообразная с линейным аргументом **$f(kx + b)$**:**
Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то для функции $f(kx + b)$ первообразная равна:
$$\\dfrac\{1\}\{k\} F\(kx \+ b\)$$
*\(Не забывайте делить на коэффициент *$k$* перед аргументом *$x$*\!\)*

#### Как найти конкретную первообразную через точку? 💡

В контрольных работах за 11 класс часто просят «найти первообразную функции $f(x)$, график которой проходит через точку $M(x_0; y_0)$»\.
Алгоритм прост:
1\. Запишите общий вид первообразных: $F(x) + C$\.
2\. Подставьте координаты точки $M$: $F(x_0) + C = y_0$\.
3\. Найдите числовое значение $C$ и подставьте его обратно в формулу\!

### Пошаговый алгоритм отыскания первообразной

При решении заданий по теме «Первообразная» в 11 классе придерживайтесь алгоритма:

### Порядок действий:

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral).


**Упростите выражение функции:** раскройте скобки, приведите слагаемые к виде степеней $x^p$ или базовых функций из таблицы\.

**Найдите первообразные для каждого слагаемого:** используйте формулы из таблицы первообразных и правила выноса коэффициента\.

**Учтите линейный аргумент **$kx + b$**:** домножьте результат на $\dfrac{1}{k}$, если внутри функции находится линейное выражение\. Добавьте константу $+ C$\.

### Разбор типовых задач из контрольных работ за 11 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 11 классе\.

**Задание:** Найдите общий вид первообразных для функции $f(x) = 4x^3 - 3\cos x + e^{2x}$\.

**Подробное решение:**

1\) Для $4x^3$: первообразная равна $4 \cdot \dfrac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \dfrac{x^4}{4} = x^4$\.

2\) Для $-3\cos x$: первообразная равна $-3\sin x$\.

3\) Для $e^{2x}$: аргумент имеет вид $kx$ со значением $k = 2$\. По правилу линейного аргумента получаем $\dfrac{1}{2} e^{2x}$\.

4\) Составим общий вид первообразных:
$F(x) = x^4 - 3\sin x + \dfrac{1}{2}e^{2x} + C$\.

**Ответ:** $F(x) = x^4 - 3\sin x + 0{,}5 e^{2x} + C$\.

**Задание:** Найдите первообразную функции $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 2$, график которой проходит через точку $M\left(\dfrac{\pi}{4}; 3\right)$\.

**Подробное решение:**

1\) По таблице первообразных найдем общий вид $F(x)$:
$F(x) = \mathrm{tg}\,x - 2x + C$\.

2\) Подставим координаты точки $M\left(x = \dfrac{\pi}{4}, y = 3\right)$ в уравнение первообразной:
$\mathrm{tg}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} + C = 3$\.

3\) Вычислим значения:
$1 - \dfrac{\pi}{2} + C = 3 \implies C = 3 - 1 + \dfrac{\pi}{2} = 2 + \dfrac{\pi}{2}$\.

4\) Запишем искомую первообразную:
$F(x) = \mathrm{tg}\,x - 2x + 2 + \dfrac{\pi}{2}$\.

**Ответ:** $F(x) = \mathrm{tg}\,x - 2x + 2 + \dfrac{\pi}{2}$\.

## Тренажёры по теме «Первообразная» на Экзамео

Закрепите формулы и правила вычисления первообразных на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все учебные карточки, презентационные материалы и проверочные тесты по теме **«Первообразная и интеграл» за 11 класс** составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС СОО, Федеральной рабочей программой по алгебре и материалами ЕГЭ по математике\.

В базе платформы представлены сотни вариантов самостоятельных и контрольных работ с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по алгебре за 11 класс на **Экзамео**, тренируйтесь в комфортном темпе и получайте отличные оценки за контрольные работы\!

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/pervoobraznaya_i_neopredelennyi_integral).