> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_poverhnosti_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_poverhnosti_konusa). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Площадь поверхности конуса: боковая и полная На этой странице представлен разбор темы **«Площадь поверхности конуса: боковая, полная и формулы вычисления» для 11 класса**\. В курсе стереометрии 11 класса вычисление площадей поверхностей тел вращения занимает особое место: задачи, в которых требуется найти площадь боковой поверхности конуса, площадь основания поверхности конуса или определить, чему равна общая площадь полной поверхности конуса, регулярно встречаются в первой части профильного и базового ЕГЭ по математике, а также при решении составных геометрических конструкций во второй части\. Здесь подробно разобраны развёртка конуса, формулы через радиус основания, образующую и высоту, соотношение площадей боковых поверхностей конуса и цилиндра, а также ключевые вычислительные нюансы экзамена\. После теории на странице доступны [тренажёры с подробными решениями](#trenazhery-po-ploschadi-konusa-ekzameo) и проверкой ответов, в которых можно отработать вычисления и подготовиться к контрольным работам и экзамену\. ## Поверхность конуса и её элементы — 11 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_poverhnosti_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_poverhnosti_konusa). Поверхность прямого кругового конуса состоит из двух частей: плоского кругового основания и криволинейной боковой поверхности\. • **Основание конуса:** круг радиуса $R$\. Площадь основания поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{\text{осн}} = \pi R^2$\. • **Боковая поверхность конуса:** коническая поверхность, образуемая вращением гипотенузы прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов\. • **Развёртка боковой поверхности:** круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса $l$, а длина дуги равна длине окружности основания \($2\pi R$\)\. • **Теорема Пифагора для конуса:** образующая $l$, высота $h$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник: $l = \sqrt{h^2 + R^2}$\. ### Формулы площади поверхности конуса Полная \(общая\) площадь поверхности конуса равна сумме площади его боковой поверхности и площади основания\. В зависимости от известных параметров задачи применяются следующие формулы: ##### Поверхность ##### Формула ##### Описание и переменные **Площадь основания** $S_{\text{осн}} = \pi R^2$ Площадь круга радиуса $R$\. Через диаметр основания: $S_{\text{осн}} = \dfrac{\pi d^2}{4}$\. **Боковая поверхность \(через образующую\)** $S_{\text{бок}} = \pi R l$ Базовая формула\. Произведение числа $\pi$, радиуса основания $R$ и образующей $l$\. **Боковая поверхность \(высота и радиус\)** $S_{\text{бок}} = \pi R \sqrt{h^2 + R^2}$ Применяется, когда образующая неизвестна, но заданы высота конуса $h$ и радиус основания $R$\. **Полная поверхность \(общая площадь\)** $S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (l + R)$ Сумма боковой площади и одного основания\. Удобно выносить общий множитель $\pi R$\. #### Развертка конуса Если разрезать боковую поверхность конуса по одной из образующих и расплющить её на плоскости, получится **сектор круга**\. Когда говорят про площадь боковой поверхности \- имеют в виду площадь сектора круга с радиусом l, а когда про общую площадь боковой поверхности \- площадь сектора круга и площадь основания \(окружности в основании\)  У этого сектора: **Радиус** равен длине образующей конуса \(l\)\. Это логично: каждая точка на окружности основания при разворачивании отходит от вершины конуса ровно на расстояние образующей\. **Длина дуги** равна длине окружности основания \(2πr\)\. Представьте, что вы развернули боковину — нижний край сектора — это и есть бывшая окружность основания\. Центральный угол сектора можно найти по формуле: $$ \alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ $$ ### Цилиндр и конус: соотношение площадей поверхностей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_poverhnosti_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_poverhnosti_konusa). В стереометрии ЕГЭ популярен блок задач на сравнение площади конуса и цилиндра при общих геометрических элементах: ##### При общем основании и образующей 📏 Если конус и цилиндр имеют одинаковый радиус основания $R$ и образующая цилиндра равна образующей конуса \($H_{\text{цил}} = l_{\text{кон}}$\): • Боковая поверхность цилиндра: $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi R H = 2\pi R l$\. • Боковая поверхность конуса: $S_{\text{бок.кон}} = \pi R l$\. Площадь боковой поверхности цилиндра ровно в **2 раза больше** площади боковой поверхности конуса\! ##### Конус, вписанный в цилиндр 🛢️ Если конус вписан в цилиндр \(у них общее основание $R$ и общая высота $h$\): • $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi R h$\. • $S_{\text{бок.кон}} = \pi R \sqrt{h^2 + R^2}$\. В этом случае образующая конуса $l = \sqrt{h^2 + R^2}$ всегда больше высоты цилиндра $h$, что важно учитывать в задачах на оптимизацию\.  Разберём решение экзаменационной задачи на вычисление площади поверхности конуса: **Задание:** Высота конуса равна $12$, а радиус основания равен $5$\. Найдите площадь полной поверхности конуса\. В ответе укажите $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) **Найдём образующую конуса \(**$l$**\):** По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника: $$ l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 $$ 2\) **Найдём площадь боковой поверхности:** $$ S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi $$ 3\) **Найдём площадь основания:** $$ S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi $$ 4\) **Вычислим площадь полной поверхности:** $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 65\pi + 25\pi = 90\pi $$ 5\) Делим результат на $\pi$: $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi} = 90$\. **Ответ:** $90$\. ### Угол сектора развёртки боковой поверхности При разворачивании боковой поверхности конуса на плоскость получается круговой сектор радиуса $l$\. Длина дуги этого сектора в точности равна длине окружности основания $2\pi R$\. Из этого равенства выводится формула центрального угла развёртки $\alpha$: #### Формула угла развёртки конуса: $$ \alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{R}{l} $$ Или в радианах: $$ \alpha = 2\pi \cdot \dfrac{R}{l} $$ *Важное следствие:* если образующая в 2 раза больше радиуса основания \($l = 2R$\), угол развёртки равен ровно $180^\circ$ \(полукруг\)\. Посмотрим, как угол развёртки используется для нахождения площади боковой поверхности: **Задание:** Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с углом $120^\circ$ и радиусом $9$\. Найдите радиус основания конуса и площадь его боковой поверхности\. В ответе укажите $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Радиус кругового сектора является образующей конуса: $l = 9$\. 2\) Выразим радиус основания $R$ через угол развёртки: $$ \alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{R}{l} \implies 120^\circ = 360^\circ \cdot \dfrac{R}{9} \implies \dfrac{1}{3} = \dfrac{R}{9} \implies R = 3 $$ 3\) Найдём площадь боковой поверхности: $$ S_{\text{бок}} = \pi R l = \pi \cdot 3 \cdot 9 = 27\pi $$ 4\) Делим на $\pi$: $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi} = 27$\. **Ответ:** $27$\. #### Алгоритм решения задач на площадь поверхности конуса Чтобы не допускать ошибок в стереометрических вычислениях, выполняйте шаги в строгом порядке: **Определите тип требуемой площади:** проверьте по условию, требуется найти только площадь боковой поверхности \($S_{\text{бок}} = \pi R l$\) или полную площадь с учётом основания \($S_{\text{полн}} = \pi R (l + R)$\)\. **Проверьте радиус:** если в тексте задачи указан диаметр основания, сразу разделите его на 2 для получения радиуса $R$\. **Найдите образующую **$l$**:** если в задаче дана высота $h$, вычислите образующую через теорему Пифагора: $l = \sqrt{h^2 + R^2}$\. **Примените подобие \(если размеры изменились в **$k$** раз\):** при увеличении всех линейных размеров в $k$ раз площадь поверхности увеличивается строго в $k^2$ раз\. **Проверьте формат записи ответа:** если требуется указать $S/\pi$, не забудьте убрать число $\pi$ перед внесением в бланк\. #### Типичные ошибки одиннадцатиклассников При проверке бланков ЕГЭ по стереометрии чаще всего выявляются три типичные ошибки: ##### Подстановка высоты вместо образующей Вычисление боковой поверхности по ложной формуле $\pi R h$\. Площадь боковой поверхности определяется образующей $l$, а не высотой: $S_{\text{бок}} = \pi R l$\. ##### Удвоение оснований как у цилиндра Попытка прибавить к боковой поверхности два основания \($2\pi R^2$\)\. У конуса только одно основание, поэтому $S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2$\. ##### Путаница боковой и полной площади Невнимательное прочтение вопроса: нахождение только боковой поверхности, когда требуется найти полную площадь поверхности конуса \(или наоборот\)\. Площадь боковой поверхности \- площадь сектора развертки, а вот полная площадь поверхности \- включает в себя ещё окружность в основании ## Тренажёры по теме «Площадь поверхности конуса» на Экзамео Ниже собраны интерактивные тренажёры со всеми типами задач на нахождение площади боковой и полной поверхности конуса, работу с развёрткой и сравнение с цилиндром из открытого банка ФИПИ, самостоятельных и контрольных работ в 11 классе\. К каждому номеру подготовлены пошаговые решения, поясняющие чертежи и автоматическая проверка ответов, что позволит закрепить материал и уверенно решать задачи по стереометрии на экзамене\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_poverhnosti_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_poverhnosti_konusa).