> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_sfery](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_sfery). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задачи на площадь сферы с решениями На этой странице собраны теория и типовые **задачи на площадь сферы** из школьного курса геометрии за 11 класс и экзаменационных банков заданий\. Вы узнаете, как рассчитывать площадь через радиус и диаметр, находить площадь поверхности по объёму шара или параметрам сечения, а также сможете закрепить навык в [онлайн\-тренажёре с пошаговой проверкой ответов](#trenazher-zadachi-na-ploshchad-sfery-ekzameo)\. Приступая к **задачам по теме площадь сферы**, важно помнить базовое стереометрическое свойство: сфера представляет собой двумерную замкнутую поверхность в трёхмерном пространстве\. Её площадь строго пропорциональна квадрату линейного размера \(радиуса или диаметра\)\. Поэтому изменение радиуса в $k$ раз всегда приводит к изменению площади ровно в $k^2$ раз\. ##### Ключевая суть: площадь поверхности сферы • **Через радиус \(**$R$**\):** площадь сферы равна учетверённой площади её большого круга: $S = 4\pi R^2$\. • **Через диаметр \(**$D$**\):** так как $D = 2R$, формула принимает вид: $S = \pi D^2$\. • **Связь с объёмом шара \(**$V$**\):** площадь сферы является производной объёма шара по радиусу: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies S = V'(R) = 4\pi R^2$\. ## Формулы для вычисления площади сферы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_sfery](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_sfery). В зависимости от исходных данных задачи на площадь сферы выбирается одна из рабочих формул, которая более удобна в рамках задачи: Через радиус ##### Классическая формула Основной вид для большинства стереометрических задач: $$ S = 4\pi R^2 $$ Через диаметр ##### Без деления на 2 Удобно, если диаметр задан чётным целым числом: $$ S = \pi D^2 $$ Через длину экватора ##### Через длину окружности Если известна длина окружности большого круга $C = 2\pi R$: $$ S = \dfrac{C^2}{\pi} $$ ### Краткая теория к задачам на площадь сферы Перед переходом к практике повторите геометрические свойства сферы и площади её поверхности, которые разбираются в 11 классе и пригодятся в задачах: Сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр, называется **большим кругом**\. Площадь большого круга равна $S_{\text{б.к.}} = \pi R^2$\.  Площадь всей поверхности сферы ровно в $4$ раза больше площади её большого круга: $$ S_{\text{сферы}} = 4 \cdot S_{\text{б.к.}} $$ Если в условии задачи сказано: *«Площадь большого круга шара равна *$15$*»*, то площадь поверхности сферы находится мгновенно: $S = 4 \cdot 15 = 60$\. В задачах, где сфера пересечена плоскостью на расстоянии $d$ от центра и получен круг радиуса $r$, радиус сферы $R$ находится по теореме Пифагора: $$ R^2 = d^2 + r^2 $$ Подставив $R^2$ в формулу площади, получаем прямой расчёт площади поверхности без извлечения промежуточного корня: $$ S = 4\pi (d^2 + r^2) $$ Любые две сферы подобны\. Если радиус \(или диаметр\) одной сферы больше радиуса другой в $k$ раз \($R_2 = k \cdot R_1$\), то: • Площади их поверхностей относятся как квадрат коэффициента подобия: $\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$\. • Объёмы соответствующих шаров относятся как куб коэффициента подобия: $\dfrac{V_2}{V_1} = k^3$\. #### Решение типовых задач на площадь сферы Ниже приведены подробные пошаговые решения пяти распространённых типов задач по теме, которые могут встречаться на самостоятельных и контрольных работах в 11 классе на уроках геометрии\. **Условие:** Радиус сферы равен $6\text{ см}$\. Найдите площадь поверхности сферы\. В ответе укажите $\dfrac{S}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) Запишем формулу площади поверхности сферы: $$ S = 4\pi R^2 $$ 2\) Подставим радиус $R = 6$: $$ S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi\text{ см}^2 $$ 3\) Разделим результат на $\pi$, как требует условие задачи: $$ \dfrac{S}{\pi} = \dfrac{144\pi}{\pi} = 144 $$ **Ответ:** 144\. **Условие:** Площадь поверхности сферы равна $196\pi\text{ см}^2$\. Найдите диаметр этой сферы\. **Пошаговое решение \(Способ 1 — через радиус\):** 1\) Приравняем формулу площади к заданному значению: $$ 4\pi R^2 = 196\pi $$ 2\) Сократим обе части уравнения на $\pi$: $$ 4R^2 = 196 \implies R^2 = \dfrac{196}{4} = 49 $$ 3\) Извлечём квадратный корень: $$ R = \sqrt{49} = 7\text{ см} $$ 4\) Найдём диаметр сферы \($D = 2R$\): $$ D = 2 \cdot 7 = 14\text{ см} $$ *\(Способ 2 — сразу через формулу с диаметром: *$S = \pi D^2 \implies \pi D^2 = 196\pi \implies D^2 = 196 \implies D = 14\text{ см}$*\)*\. **Ответ:** 14\. **Условие:** Сечение шара плоскостью имеет площадь $64\pi\text{ см}^2$ и находится на расстоянии $6\text{ см}$ от центра шара\. Найдите площадь поверхности сферы\. В ответе запишите $\dfrac{S}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) Сечение представляет собой круг площадью $S_{\text{сеч}} = \pi r^2 = 64\pi$\. Отсюда найдём квадрат радиуса сечения: $$ r^2 = 64 \implies r = 8\text{ см} $$ 2\) Секущая плоскость удалена от центра на расстояние $d = 6\text{ см}$\. Свяжем радиус сферы $R$, расстояние $d$ и радиус сечения $r$ теоремой Пифагора: $$ R^2 = d^2 + r^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $$ 3\) Вычислим площадь поверхности сферы: $$ S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 100 = 400\pi\text{ см}^2 $$ 4\) Разделим на $\pi$: $$ \dfrac{S}{\pi} = 400 $$ **Ответ:** 400\. **Условие:** Во сколько раз увеличится площадь поверхности сферы, если её радиус увеличить в $5$ раз? **Пошаговое решение:** 1\) Пусть исходный радиус равен $R_1$, а новая сфера имеет радиус $R_2 = 5R_1$\. 2\) Запишем формулы площадей для обеих сфер: $$ S_1 = 4\pi R_1^2 $$ $$ S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi (5R_1)^2 = 4\pi \cdot 25R_1^2 = 25 \cdot (4\pi R_1^2) = 25S_1 $$ 3\) Найдём отношение площадей: $$ \dfrac{S_2}{S_1} = 25 $$ **Ответ:** в 25 раз\. **Условие:** Объём шара равен $36\pi\text{ см}^3$\. Найдите площадь поверхности ограничивающей его сферы\. В ответе запишите $\dfrac{S}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) Запишем формулу объёма шара: $$ V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi $$ 2\) Разделим обе части на $\pi$ и найдём куб радиуса: $$ \dfrac{4}{3}R^3 = 36 \implies R^3 = 36 \cdot \dfrac{3}{4} = 9 \cdot 3 = 27 $$ 3\) Извлечём кубический корень: $$ R = \sqrt[3]{27} = 3\text{ см} $$ 4\) Вычислим площадь сферы по формуле $S = 4\pi R^2$: $$ S = 4\pi \cdot 3^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi\text{ см}^2 $$ 5\) Разделим на $\pi$: $$ \dfrac{S}{\pi} = 36 $$ **Ответ:** 36\. ### Самые частые ошибки при решении задач > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_sfery](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_sfery). При выполнении контрольных и экзаменационных работ школьники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Подстановка диаметра вместо радиуса Если в условии дан диаметр $D = 10$, его ошибочно подставляют в формулу $S = 4\pi R^2$, получая $4\pi \cdot 100 = 400\pi$ вместо верного $4\pi \cdot 25 = 100\pi$\. Не забывайте делить диаметр на $2$ или используйте формулу $S = \pi D^2$\. ##### Потеря коэффициента 4 Площадь сферы путают с площадью плоского круга \($S = \pi R^2$\)\. Помните: сфера — объёмная оболочка, её площадь ровно в 4 раза больше площади сечения большим кругом \($4\pi R^2$\)\. ##### Линейное масштабирование площади В задачах с увеличением радиуса в $k$ раз пишут, что площадь увеличится тоже в $k$ раз\. Площадь квадратична: при увеличении радиуса в $3$ раза площадь возрастает в $3^2 = 9$ раз, а не в $3$ раза\! ##### Игнорирование требования «разделить на пи» В бланках ЕГЭ или тестах просят записать число без $\pi$ \(то есть $\frac{S}{\pi}$\)\. Если в ответ внести букву $\pi$ или умножить на $3{,}14$, система не сможет распознать целое число и не засчитает балл\. ## Задачи на площадь сферы с решениями Задания на площадь сферы собраны ниже для подготовки к самостоятельным и контрольным работам, а так же к ЕГЭ по математике\. В каждом задании вы найдете подробное решение и проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_sfery](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ploschad_sfery).