> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Конус \- вся теория и тренажеры с решениями Тема **«Конус и тела вращения» в 11 классе** — один из ключевых разделов школьного курса стереометрии\. Изучение конуса завершает курс пространственной геометрии и достаточно часто проверяется в первой и второй частях профильного и базового ЕГЭ по математике\. Для решения задач необходимо владеть не только готовыми формулами объёма и площадей, но и понимать геометрическое строение развёртки, осевых сечений и комбинаций конуса со сферой и цилиндром\. На этой странице представлен полный справочник по теме: определение прямого кругового конуса, теорема Пифагора для его элементов, виды плоских сечений, вывод формул площадей и объёма, комбинации с шаром, а также разбор типовых задач экзаменационного уровня\. После теоретического материала вы сможете закрепить навыки в [онлайн\-тренажёрах](#trenazher-i-zadachi-konus-11-klass) с пошаговыми решениями и проверкой ответов\. ##### Определение конуса и его базовые элементы **Прямой круговой конус:** геометрическое тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов\. Прямая, содержащая этот катет, является **осью вращения \(осью конуса\)**\. • **Вершина конуса \(**$S$**\):** точка, в которой сходятся все образующие конуса \(вершина прямого угла или острого угла вращаемого треугольника, лежащая на оси\)\. • **Основание конуса:** круг радиуса $R$, полученный вращением второго катета вокруг оси\. Центр круга $O$ — основание высоты конуса\. • **Высота конуса \(**$h$** или **$H$**\):** перпендикуляр $SO$, опущенный из вершины на плоскость основания \(совпадает с осью конуса\)\. • **Образующая конуса \(**$l$**\):** отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания \(гипотенуза вращаемого треугольника\)\. В прямом конусе все образующие равны между собой\. • **Ключевое метрическое соотношение:** треугольник $SOA$, образованный высотой, радиусом основания и образующей, является прямоугольным\. По теореме Пифагора получаем базовое равенство: $$ l^2 = h^2 + R^2 \implies l = \sqrt{h^2 + R^2} $$  ## Сечения конуса плоскостями > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa). При пересечении прямого конуса плоскостью в зависимости от её положения образуются различные плоские геометрические фигуры: Осевое сечение ##### Через ось конуса Плоскость проходит через ось $SO$\. • Сечение представляет собой **равнобедренный треугольник** с боковыми сторонами $l$, основанием $2R$ и высотой $h$\. • Площадь осевого сечения равна $S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = R \cdot h$\. • Если осевое сечение — правильный треугольник \($l = 2R$\), конус называют **равносторонним**\. Параллельно основанию ##### Перпендикулярно оси Плоскость перпендикулярна оси $SO$\. • Сечение представляет собой **круг** радиуса $r < R$\. • Центр сечения лежит на высоте конуса\. • Плоскость отсекает от конуса меньший конус, подобный исходному\. Отношение радиусов равно отношению высот и составляет $\dfrac{r}{R} = \dfrac{h_1}{h}$\. Через вершину под углом ##### Хордовое сечение Плоскость проходит через вершину $S$ и пересекает основание по хорде $AB$\. • Сечение — **равнобедренный треугольник** $SAB$ с боковыми сторонами $SA = SB = l$\. • Основание треугольника — хорда $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$, где $d$ — расстояние от центра $O$ до плоскости сечения\. Радиус основания конуса равен 6, а образующая равна 10\. Найдите высоту конуса, площадь его осевого сечения и угол при вершине осевого сечения\. **Пошаговое решение:** 1\) Найдём высоту конуса $h$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $SOA$\. $$ h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 $$ 2\) Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2R = 2 \cdot 6 = 12$ и высотой $h = 8$\. Вычисляем его площадь: $$ S_{\text{сеч}} = R \cdot h = 6 \cdot 8 = 48 $$ 3\) Половина угла при вершине $\angle OSA = \varphi$ определяется через отношение катета к гипотенузе: $$ \sin \varphi = \dfrac{R}{l} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \implies \varphi = \arcsin(0{,}6) $$ Угол при вершине равен удвоенному значению $2\varphi = 2\arcsin(0{,}6)$\. **Ответ:** высота равна 8; площадь осевого сечения равна 48; угол при вершине равен $2\arcsin(0{,}6)$\. ## Площадь поверхности и объём конуса Поверхность конуса состоит из плоского круглого основания и искривлённой боковой поверхности\. Чтобы найти площадь боковой поверхности, конус мысленно разрезают по образующей $l$ и разворачивают на плоскость\. ### Развёртка боковой поверхности и формулы площадей > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa). Развёрткой боковой поверхности конуса является **круговой сектор** радиуса $l$, длина дуги которого в точности равна длине окружности основания конуса $C = 2\pi R$\. • **Центральный угол развёртки \(**$\alpha$** в градусах\)** вычисляется по формуле: $$ \alpha = \dfrac{R}{l} \cdot 360^\circ \quad \left(\text{в радианах: } \alpha = \dfrac{2\pi R}{l}\right) $$ • **Площадь боковой поверхности \(**$S_{\text{бок}}$**\)** равна площади кругового сектора с радиусом $l$ и дугой $2\pi R$: $$ S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{длина дуги} \cdot l = \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi R \cdot l = \pi R l $$ • **Площадь основания \(**$S_{\text{осн}}$**\)** представляет собой площадь круга радиуса $R$: $$ S_{\text{осн}} = \pi R^2 $$ • **Площадь полной поверхности \(**$S_{\text{полн}}$**\)** равна сумме площадей боковой поверхности и основания: $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R(l + R) $$ ### Объём конуса Объём кругового конуса вычисляется аналогично объёму пирамиды\. Он равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h $$ ##### Связь объёмов цилиндра и конуса Если цилиндр и конус имеют **общее основание и равные высоты**, то выполняются следующие соотношения\. • Объём конуса ровно в 3 раза меньше объёма цилиндра и равен: $$ V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{цил}} $$ • Оставшаяся часть цилиндра вокруг вписанного конуса составляет $\dfrac{2}{3}$ объёма цилиндра\. Эта теорема часто встречается в практических задачах ЕГЭ\. **Задание:** Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой полукруг радиуса 12\. Найдите объём этого конуса\. **Пошаговое решение:** 1\) Радиус сектора развёртки равен образующей конуса: $l = 12$\. 2\) Сектор является полукругом, значит его центральный угол равен $\alpha = 180^\circ$\. Используем формулу угла развёртки: $$ \alpha = \dfrac{R}{l} \cdot 360^\circ \implies 180^\circ = \dfrac{R}{12} \cdot 360^\circ \implies \dfrac{R}{12} = \dfrac{1}{2} \implies R = 6 $$ 3\) Найдём высоту конуса $h$ по теореме Пифагора: $$ h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} $$ 4\) Вычислим объём конуса: $$ V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 6\sqrt{3} = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\pi $$ **Ответ:** $72\sqrt{3}\pi$\. ## Усечённый конус: элементы и формулы **Усечённым конусом** называется часть конуса, заключённая между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию\. Усечённый конус также образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной основаниям\. • **Элементы:** нижнее основание радиуса $R_1$, верхнее основание радиуса $R_2$ \($R_1 > R_2$\), высота $h$ \(расстояние между плоскостями оснований\), образующая $l$\. • **Связь образующей, высоты и радиусов:** осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция с основаниями $2R_1$ и $2R_2$\. Опустив высоту из вершины верхнего основания, получаем прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $(R_1 - R_2)$ и гипотенузой $l$: $$ l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2 \implies l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2} $$ ##### Площади поверхностей усечённого конуса **Боковая поверхность** выражается формулой: $$ S_{\text{бок}} = \pi(R_1 + R_2)l $$ **Полная поверхность** равна сумме боковой поверхности и площадей обоих оснований: $$ S_{\text{полн}} = \pi(R_1 + R_2)l + \pi R_1^2 + \pi R_2^2 $$ ##### Объём усечённого конуса Формула аналогична объёму усечённой пирамиды: $$ V = \dfrac{1}{3}\pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right) $$ где $R_1$ и $R_2$ — радиусы нижнего и верхнего оснований, $h$ — высота\. ### Комбинации конуса с другими геометрическими телами > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa). В стереометрии профильного уровня задачи на конус часто строятся на взаимном расположении со сферой: • **Сфера, вписанная в конус:** сфера касается основания конуса в его центре и каждой образующей\. Радиус вписанной сферы $r_{\text{сф}}$ равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса \(равнобедренный треугольник со сторонами $l$, $l$, $2R$\): $$ r_{\text{сф}} = \dfrac{S_{\text{сеч}}}{p_{\text{сеч}}} = \dfrac{R \cdot h}{R + l} $$ • **Сфера, описанная около конуса:** вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности сферы\. Центр сферы лежит на оси конуса \(или её продолжении\) и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника осевого сечения: $$ R_{\text{сф}} = \dfrac{l^2}{2h} $$ • **Конус и правильная пирамида:** пирамида называется вписанной в конус, если её основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса \(боковые рёбра пирамиды являются образующими конуса\)\. Пирамида описана около конуса, если её основание описано около основания конуса, а грани касаются боковой поверхности конуса\. #### Типичные ошибки при решении задач на конус При сдаче ЕГЭ и выполнении контрольных работ школьники чаще всего допускают следующие три ошибки: ##### Путаница высоты и образующей В формуле площади боковой поверхности $S_{\text{бок}} = \pi R l$ подставляют высоту $h$ вместо образующей $l$\. Запомните: образующая всегда длиннее высоты \($l > h$\), так как является гипотенузой прямоугольного треугольника $SOA$\. ##### Потеря множителя 1/3 в формуле объёма Забывают коэффициент $\dfrac{1}{3}$ и вычисляют произведение $\pi R^2 h$, получая объём цилиндра, а не конуса\. Объём конуса всегда составляет ровно треть от объёма соответствующего цилиндра\. ##### Ошибки с радиусом развёртки При вычислении угла развёртки боковой поверхности в качестве радиуса сектора берут радиус основания $R$ вместо образующей $l$\. Сектор развёртки вырезается из круга радиуса $l$, а радиус основания $R$ задаёт лишь длину дуги этого сектора \($2\pi R$\)\. ## Задания и тренажёр по теме «Конус» на Экзамео В интерактивных тренажёрах образовательной платформы Экзамео собрана полная база стереометрических задач по теме «Конус и усечённый конус» для 11 класса: вычисление элементов по осевому сечению, задачи на развёртку и угол при вершине, площади поверхностей, расчёт объёмов тел вращения и сложные комбинации конуса со сферой из банка заданий ЕГЭ\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_konusa).