> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Объёмы тел 11 класс: теория, формулы и тренажёры Тема **«Объёмы тел в стереометрии» в 11 классе** — фундамент курса пространственной геометрии и обязательный компонент профильного и базового ЕГЭ по математике\. Задачи на объёмы многогранников и тел вращения проверяются как в первой части экзамена, так и в развёрнутом критериальном задании по стереометрии\. Успешное освоение темы требует не механического заучивания формул, а ясного понимания геометрической природы объёма, умения разбивать сложные тела на простые составные элементы и безошибочно переводить кубические единицы измерения\. На этой странице представлен полный структурированный справочник: аксиомы и понятие объёма, правила перевода единиц измерения, формулы вычисления объёмов всех многогранников \(куб, параллелепипед, призма, пирамида, усечённая пирамида\) и тел вращения \(цилиндр, конус, усечённый конус, шар и его части\), разбор типовых экзаменационных задач и прямой переход к [интерактивным онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-i-zadachi-obemy-tel-11-klass) с автоматической проверкой ответов\. ##### Понятие объёма и основные свойства **Объём геометрического тела:** положительная величина, характеризующая часть пространства, которую занимает данное тело, и обладающая следующими фундаментальными свойствами\. • **Положительность:** каждое геометрическое тело имеет объём, выражаемый положительным действительным числом \($V > 0$\)\. • **Свойство равных тел:** равные тела имеют равные объёмы\. Если фигуры совмещаются движением пространства, их объёмы строго совпадают \($T_1 = T_2 \implies V_1 = V_2$\)\. • **Аддитивность:** если тело составлено из нескольких непересекающихся тел, его объём равен сумме объёмов этих тел: $$ V = V_1 + V_2 + \dots + V_n $$ • **Единица измерения:** за единицу объёма принимается объём единичного куба, длина ребра которого равна одной единице длины \($V_{\text{ед}} = 1^3 = 1$\)\. • **Отношение объёмов подобных тел:** отношение объёмов двух подобных пространственных фигур равно кубу коэффициента их линейного подобия: $$ \dfrac{V_1}{V_2} = k^3 $$ ## Единицы измерения объёма и правила перевода > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema). При переводе кубических величин линейный коэффициент перевода всегда возводится в третью степень\. В таблице систематизированы основные единицы измерения объёма и их соотношения: Единица объёма Связь с метрической системой Связь с литрами и миллилитрами $1\text{ м}^3$ \(кубический метр\) $1000\text{ дм}^3 = 1\,000\,000\text{ см}^3$ $1000\text{ л}$ $1\text{ дм}^3$ \(кубический дециметр\) $0{,}001\text{ м}^3 = 1000\text{ см}^3$ $1\text{ л}$ $1\text{ см}^3$ \(кубический сантиметр\) $0{,}001\text{ дм}^3 = 1000\text{ мм}^3$ $1\text{ мл}$ $1\text{ мм}^3$ \(кубический миллиметр\) $0{,}001\text{ см}^3 = 10^{-9}\text{ м}^3$ $0{,}001\text{ мл}$ ## Все формулы объёмов многогранников для 11 класса Многогранники подразделяются на две ключевые группы: призматические тела \(с двумя равными параллельными основаниями\) и пирамидальные тела \(с одним основанием и вершиной\)\. #### Объём куба, параллелепипеда и призмы • **Куб с ребром **$a$**:**  $$ V = a^3 $$ • **Прямоугольный параллелепипед** с линейными размерами $a$, $b$, $c$ \(длина, ширина, высота\):  $$ V = a \cdot b \cdot c $$ • **Произвольная призма** \(прямая или наклонная\) с площадью основания $S_{\text{осн}}$ и высотой $h$:  $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h $$ • **Наклонная призма через сечение:** объём равен произведению площади перпендикулярного сечения $S_{\text{перп}}$ на длину бокового ребра $l$: $$ V = S_{\text{перп}} \cdot l $$ #### Объём пирамиды и усечённой пирамиды • **Произвольная пирамида:** объём равен одной трети произведения площади основания на высоту:  $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h $$ • **Правильный тетраэдр с ребром **$a$**:** правильный многогранник, все грани которого — равносторонние треугольники\. Объём вычисляется через длину ребра:  $$ V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$ • **Усечённая пирамида** с высотой $h$ и площадями оснований $S_1$ и $S_2$:  $$ V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right) $$ **Задание:** В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна 18, а боковое ребро равно 6, найдите объём многогранника $ABCA_1$\. **Пошаговое решение:** 1\) Многогранник $ABCA_1$ является треугольной пирамидой с основанием $ABC$ и вершиной $A_1$\. 2\) Площадь основания пирамиды совпадает с площадью основания призмы: $S_{\text{осн}} = 18$\. 3\) Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$\. Следовательно, высота пирамиды равна длине бокового ребра: $h = AA_1 = 6$\. 4\) Вычисляем объём пирамиды по формуле\. $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \dfrac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 36 $$ **Ответ:** 36\. ## Формулы объёмов тел вращения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema). Тела вращения образуются вращением плоских фигур вокруг фиксированной оси\. Их объёмы вычисляются через радиусы оснований и высоты\. ### Объём цилиндра, конуса и усечённого конуса • **Прямой круговой цилиндр** с радиусом основания $R$ и высотой $h$:  $$ V = \pi R^2 h $$ • **Прямой круговой конус** с радиусом основания $R$ и высотой $h$:  $$ V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h $$ • **Усечённый конус** с высотой $h$, радиусом нижнего основания $R_1$ и верхнего основания $R_2$:  $$ V = \dfrac{1}{3}\pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right) $$ ### Объём шара и его частей • **Шар радиуса **$R$**:**  $$ V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 $$ • **Шаровой сегмент:** часть шара, отсекаемая плоскостью\. Объём выражается через высоту сегмента $h$ и радиус шара $R$: $$ V = \pi h^2 \left(R - \dfrac{h}{3}\right) $$ • **Шаровой сектор:** тело, полученное объединением шарового сегмента с конусом, вершина которого находится в центре шара: $$ V = \dfrac{2}{3}\pi R^2 h $$ **Задание:** В цилиндрический сосуд налили $2000\text{ см}^3$ воды\. Уровень жидкости достигает высоты 12 см\. В воду полностью погрузили деталь, после чего уровень жидкости поднялся на 9 см\. Найдите объём детали\. Ответ дайте в кубических сантиметрах\. **Пошаговое решение:** 1\) Объём цилиндра прямо пропорционален высоте столба жидкости при постоянном радиусе основания: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$\. 2\) Найдём площадь основания цилиндрического сосуда\. $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{V_{\text{исх}}}{h_{\text{исх}}} = \dfrac{2000}{12} = \dfrac{500}{3}\text{ см}^2 $$ 3\) По закону Архимеда объём погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости, то есть объёму цилиндрического столба высотой $\Delta h = 9\text{ см}$\. $$ V_{\text{дет}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h = \dfrac{500}{3} \cdot 9 = 500 \cdot 3 = 1500\text{ см}^3 $$ **Ответ:** 1500\. #### Типичные ошибки при нахождении объёмов При решении стереометрических задач на объёмы учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки: ##### Ошибки при переводе кубических единиц Переводят объём по линейному коэффициенту \(например, считают, что в $1\text{ м}^3$ содержится 100 или 1000 см³\)\. Запомните: линейный коэффициент всегда возводится в куб: $1\text{ м} = 100\text{ см} \implies 1\text{ м}^3 = 100^3 = 1\,000\,000\text{ см}^3$\. ##### Потеря коэффициента 1/3 В формулах объёма пирамиды и конуса забывают множитель $\dfrac{1}{3}$ и вычисляют произведение $S_{\text{осн}} \cdot h$\. В результате получают объём призмы или цилиндра, завышая итоговый ответ ровно в три раза\. ##### Подстановка апофемы или ребра вместо высоты В наклонных телах или пирамидах подставляют длину бокового ребра или высоту боковой грани \(апофему\) вместо высоты тела $h$\. Высота тела — это строго перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания\. ## Задания и тренажёр по теме «Объёмы тел» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema). В интерактивных тренажёрах образовательной платформы Экзамео собрана полная база стереометрических задач по теме «Объёмы геометрических тел» для 11 класса: вычисление объёмов многогранников по чертежам, переливание жидкостей в сосудах, комбинации вписанных и описанных тел, а также задания по стереометрии из открытого банка ФИПИ\. Отрабатывайте решение задач онлайн, разбирайте подробные эталоны вычислений и гарантируйте себе максимальные баллы на ЕГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_obema).