> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_tsilindra](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_tsilindra). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Цилиндр \- формулы, теория, сечения и задачи **Тема «Цилиндр» в 11 классе по геометрии** открывает ключевой раздел стереометрии, посвящённый телам вращения\. На уроках геометрии, проверочных тестах и в материалах ЕГЭ одиннадцатиклассники сталкиваются с необходимостью рассчитывать геометрические элементы цилиндрических поверхностей, строить сечения и вычислять объёмы\. На этой странице собраны подробная теория, все базовые формулы, разбор сечений и типовые **задачи на цилиндр за 11 класс**, которые помогут уверенно подготовиться к контрольным и самостоятельным работам, а также закрепить навык в [онлайн\-тренажёре с пошаговой проверкой ответов](#trenazher-zadachi-na-tsilindr-11-klass-ekzameo)\. В курсе 11 класса цилиндр рассматривается как пространственное тело вращения, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон\. Границами цилиндра выступают два равных параллельных круглых основания и гладкая боковая поверхность, состоящая из отрезков образующих\. Чтобы безошибочно решать задачи на цилиндр в 11 классе, важно понимать взаимосвязь между высотой, радиусом, диагоналями осевых сечений и хордами оснований\.  **Прямой круговой цилиндр** — тело вращения, ограниченное цилиндрической боковой поверхностью и двумя равными кругами в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси вращения\. • **Ось цилиндра:** прямая, соединяющая центры оснований\. Ось строго перпендикулярна плоскостям оснований и служит осью симметрии тела\. • **Образующая \(**$l$**\):** отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и параллельный оси\. Для прямого цилиндра образующая перпендикулярна основаниям и равна высоте: $l = h$\. • **Равносторонний цилиндр:** цилиндр, у которого высота равна диаметру основания \($h = 2R$\)\. Его осевое сечение является квадратом\. ## Элементы цилиндра в школьной геометрии 11 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_tsilindra](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_tsilindra). При подготовке к самостоятельной работе по теме цилиндр в 11 классе важно разграничивать линейные параметры цилиндра : ##### Элемент цилиндра ##### Определение в курсе 11 класса ##### Формулы и обозначения **Основания** Два равных круга радиуса $R$, лежащих в параллельных плоскостях\. Площадь одного основания: $S_{\text{осн}} = \pi R^2$\. Суммарная площадь двух оснований: $2S_{\text{осн}} = 2\pi R^2$\. **Высота и образующая** Высота $h$ — расстояние между основаниями\. Образующая $l$ — отрезок, описывающий боковую поверхность при вращении\. Для прямого кругового цилиндра высота и образующая равны: $l = h$\. **Ось цилиндра** Отрезок, соединяющий центры верхнего и нижнего оснований \($O_1O_2$\)\. Длина отрезка оси равна высоте цилиндра: $O_1O_2 = h$\. Ось перпендикулярна обоим основаниям\. **Боковая поверхность** Криволинейная внешняя стенка, разворачивающаяся на плоскость в прямоугольник\. Стороны развёртки равны длине окружности основания $2\pi R$ и высоте $h$\. ## Формулы цилиндра: площадь и объём для 11 класса Для успешного выполнения контрольной и самостоятельной работы по теме «Цилиндр» в 11 классе необходимо знать три базовые расчётные формулы: Боковая поверхность ##### Площадь развёртки стенки Произведение длины окружности основания на высоту: $$ S_{\text{бок}} = 2\pi R h $$ Полная поверхность ##### Стенка и два основания Сумма боковой площади и двух круглых оснований: $$ S_{\text{полн}} = 2\pi R(h + R) $$ Объём цилиндра ##### Вместимость тела Произведение площади основания на высоту: $$ V = \pi R^2 h $$ ### Сечение цилиндра: виды и геометрические свойства > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_tsilindra](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_tsilindra). Большинство стереометрических задач на цилиндр в 11 классе строится вокруг расчёта сечений секущими плоскостями\. В зависимости от расположения плоскости выделяют три основных типа сечений: #### Осевое сечение цилиндра **Осевым сечением** называют сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через его ось вращения \($O_1O_2$\): • Осевое сечение прямого цилиндра — это **прямоугольник** со сторонами $2R$ \(диаметр основания\) и $h$ \(высота или образующая цилиндра\)\. • Площадь осевого сечения равна: $$ S_{\text{сеч}} = 2Rh $$ • Отсюда вытекает прямая связь боковой поверхности цилиндра с площадью осевого сечения: $S_{\text{бок}} = \pi \cdot S_{\text{сеч}}$\. • Диагональ осевого сечения $d_{\text{сеч}}$ связывает диаметр и высоту теоремой Пифагора: $d_{\text{сеч}}^2 = (2R)^2 + h^2$\.  #### Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра Если плоскость параллельна оси цилиндра и удалена от неё на расстояние $d < R$, в сечении также получается **прямоугольник**: • Две противоположные стороны сечения являются образующими цилиндра длиной $h$, а две другие — параллельными хордами оснований длиной $a$\. • Отрезок расстояния от оси до секущей плоскости $d$ перпендикулярен хорде $a$ и делит её пополам\. В основании образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и катетами $d$ и $\dfrac{a}{2}$: $$ R^2 = d^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \implies a = 2\sqrt{R^2 - d^2} $$ • Площадь сечения равна произведению длины хорды на высоту: $S = a \cdot h = 2h\sqrt{R^2 - d^2}$\.  #### Поперечное и наклонное сечения цилиндра • **Сечение плоскостью, перпендикулярной оси:** секущая плоскость параллельна основаниям цилиндра и отсекает **круг**, в точности равный основанию \(радиус равен $R$, площадь равна $\pi R^2$\)\. • **Наклонное сечение:** плоскость пересекает все образующие цилиндра под острым углом к плоскости основания\. Полученное сечение имеет форму **эллипса** с малой полуосью $R$ и большой полуосью $\dfrac{R}{\cos\varphi}$, где $\varphi$ — угол наклона плоскости сечения к основанию\. ## Задачи на цилиндр 11 класс с подробными решениями Ниже приведены подробные пошаговые решения пяти типичных задач по теме «Цилиндр», которые регулярно встречаются на самостоятельных работах по геометрии в 11 классе, а также в первой и второй части профильного ЕГЭ по математике\. **Условие:** Диагональ осевого сечения цилиндра равна $16\text{ см}$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$\. Найдите высоту цилиндра, радиус основания и площадь осевого сечения\. **Пошаговое решение:** 1\) Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $2R$ \(диаметр основания\) и $h$ \(высота\)\. Диагональ $d = 16\text{ см}$ образует прямоугольный треугольник с диаметром и высотой\. 2\) Найдём высоту цилиндра $h$ как катет, лежащий напротив угла $30^\circ$: $$ h = d \cdot \sin 30^\circ = 16 \cdot \dfrac{1}{2} = 8\text{ см} $$ 3\) Найдём диаметр основания $2R$ \(прилежащий катет\): $$ 2R = d \cdot \cos 30^\circ = 16 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\text{ см} \implies R = 4\sqrt{3}\text{ см} $$ 4\) Вычислим площадь осевого сечения как произведение диаметра на высоту: $$ S_{\text{сеч}} = 2R \cdot h = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3}\text{ см}^2 $$ **Ответ:** $h = 8\text{ см}$; $R = 4\sqrt{3}\text{ см}$; $S_{\text{сеч}} = 64\sqrt{3}\text{ см}^2$\. **Условие:** Высота цилиндра равна $8\text{ см}$, радиус основания равен $10\text{ см}$\. В цилиндре проведено сечение плоскостью, параллельной оси и удалённой от неё на расстояние $6\text{ см}$\. Найдите площадь этого сечения\. **Пошаговое решение:** 1\) Сечение представляет собой прямоугольник со сторонами $h$ \(высота цилиндра\) и $a$ \(хорда основания\)\. 2\) Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения $d = 6\text{ см}$ делит хорду $a$ пополам под прямым углом\. В основании возникает прямоугольный треугольник с гипотенузой $R = 10\text{ см}$ и катетом $d = 6\text{ см}$\. 3\) Найдём половину длины хорды по теореме Пифагора: $$ \dfrac{a}{2} = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ см} $$ 4\) Полная длина стороны сечения равна: $$ a = 2 \cdot 8 = 16\text{ см} $$ 5\) Вычислим площадь сечения: $$ S_{\text{сеч}} = a \cdot h = 16 \cdot 8 = 128\text{ см}^2 $$ **Ответ:** 128\. **Условие:** Площадь полной поверхности равностороннего цилиндра равна $54\pi\text{ см}^2$\. Найдите радиус основания, высоту и объём цилиндра\. В ответе для объёма запишите $\dfrac{V}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) Для равностороннего цилиндра высота равна диаметру основания: $h = 2R$\. 2\) Подставим $h = 2R$ в формулу полной поверхности: $$ S_{\text{полн}} = 2\pi R(h + R) = 2\pi R(2R + R) = 2\pi R \cdot 3R = 6\pi R^2 $$ 3\) Приравняем к заданному значению площади: $$ 6\pi R^2 = 54\pi \implies R^2 = \dfrac{54}{6} = 9 \implies R = 3\text{ см} $$ 4\) Найдём высоту цилиндра: $$ h = 2R = 2 \cdot 3 = 6\text{ см} $$ 5\) Найдём объём цилиндра: $$ V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi\text{ см}^3 \implies \dfrac{V}{\pi} = 54 $$ **Ответ:** $R = 3\text{ см}$; $h = 6\text{ см}$; 54\. **Условие:** Длина окружности основания прямого цилиндра равна $12\pi$, а его образующая равна $7$\. Найдите объём цилиндра\. В ответе запишите $\dfrac{V}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) Для прямого цилиндра образующая равна высоте: $h = l = 7$\. 2\) Длина окружности основания задаётся формулой $C = 2\pi R$\. Найдём радиус $R$: $$ 2\pi R = 12\pi \implies R = \dfrac{12\pi}{2\pi} = 6 $$ 3\) Вычислим площадь круглого основания: $$ S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi $$ 4\) Вычислим объём цилиндра: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h = 36\pi \cdot 7 = 252\pi $$ 5\) Разделим полученный объём на $\pi$: $$ \dfrac{V}{\pi} = 252 $$ **Ответ:** 252\. **Условие:** В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма со стороной основания $4\sqrt{2}$ и высотой $5$\. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра\. В ответе запишите $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$\. **Пошаговое решение:** 1\) Основанием правильной четырёхугольной призмы служит квадрат со стороной $a = 4\sqrt{2}$\. Высота призмы равна высоте цилиндра: $h = 5$\. 2\) Круг основания цилиндра описан около квадрата со стороной $a$\. Диагональ квадрата $d_{\text{кв}}$ равна диаметру окружности $2R$: $$ d_{\text{кв}} = a\sqrt{2} = (4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8 $$ 3\) Отсюда радиус цилиндра равен половине диагонали: $$ 2R = 8 \implies R = 4 $$ 4\) Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра: $$ S_{\text{бок}} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 4 \cdot 5 = 40\pi $$ 5\) Разделим результат на $\pi$: $$ \dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi} = 40 $$ **Ответ:** 40\. ##### Типичные ошибки в самостоятельных работах по теме «Цилиндр» При выполнении контрольных и самостоятельных работ по геометрии в 11 классе учащиеся чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Подстановка диаметра вместо радиуса Основание осевого сечения равно диаметру \($2R = 10$\)\. Число 10 напрямую подставляют в формулу объёма $V = \pi R^2 h$, получая результат в 4 раза больше истинного\. Если в задаче дан диаметр или основание осевого сечения, сначала обязательно разделите его на 2: $R = 5$\. ##### Потеря половины хорды при параллельном сечении В задаче на сечение, параллельное оси, расстояние $d$ от оси до сечения делит хорду основания пополам\. Вычислив катет по теореме Пифагора $\sqrt{R^2 - d^2} = 8$, его сразу принимают за всю сторону сечения, забывая умножить на 2 \($a = 16$\)\. Это занижает площадь ровно в два раза\. ##### Путаница площади боковой поверхности и полной Когда в задаче требуется найти полную поверхность, находят только боковую стенку $2\pi Rh$ или прибавляют лишь одно круглое основание вместо двух \($2\pi R^2$\)\. Внимательно проверяйте условие: замкнутый цилиндр всегда имеет два основания\. ##### Игнорирование требования разделить на пи В заданиях ЕГЭ и тестах просят записать в ответ величину $\dfrac{S}{\pi}$ или $\dfrac{V}{\pi}$\. Если вписать в поле ответа букву $\pi$ или начать приближённо округлять с числом $3{,}14$, компьютерная система тестирования не сможет распознать целое число и не зачтёт верное решение\. ## Задачи на цилиндр 11 класс с онлайн\-проверкой Банк практических заданий по теме «Цилиндр» для 11 класса собран в интерактивном тренажёре Экзамео\. Тренируйтесь находить площади сечений, объёмы, радиусы и образующие, проверяйте свои ответы за секунду, разбирайте пошаговые подсказки и успешно готовьтесь к самостоятельным и контрольным работам по стереометрии\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_tsilindra](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/ponyatie_tsilindra).