> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/sfera_i_shar](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/sfera_i_shar). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Сфера и шар 11 класс \- теория и тренажёры Тема **«Сфера и шар» в 11 классе** — один из центральных разделов стереометрии, который связывает тела вращения, планиметрические свойства окружности и координатно\-векторные методы в пространстве\. На этой странице подробно изложен теоретический материал школьного курса по теме **геометрии сфера и шар**: от фундаментальных определений и уравнений до сечений плоскостью, касательных плоскостей и ключевых формул объёма и площади, а также открыт доступ к [интерактивному онлайн\-тренажёру с пошаговыми подсказками](#trenazher-i-test-sfera-i-shar-ekzameo) для подготовки к контрольным работам и ЕГЭ\. Главное различие, с которого начинается освоение темы: **сфера** — это геометрическое место точек пространства, равноудалённых от заданной точки \(то есть исключительно поверхность или «оболочка»\), в то время как **шар** — это тело, состоящее из сферы и всех внутренних точек пространства, ограниченных ею\. Таким образом, у сферы рассчитывают площадь поверхности, а у шара — как площадь граничной сферы, так и объём заполненного пространства\. ##### Базовые понятия темы «Сфера и шар 11 класс» • **Центр сферы и шара \(**$O$**\):** фиксированная точка пространства, от которой измеряется расстояние до любой точки поверхности\. • **Радиус сферы и шара \(**$R$**\):** отрезок, соединяющий центр с любой точкой сферы \(а также длина этого отрезка\)\. Все радиусы одной сферы строго равны между собой\. • **Диаметр сферы и шара \(**$D$**\):** отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр\. Длина диаметра вдвое больше радиуса: $D = 2R$\. • **Хорда:** отрезок, соединяющий две произвольные точки сферы\. Диаметр является наибольшей из возможных хорд\.  ## Основные формулы: площадь сферы и объём шара > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/sfera_i_shar](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/sfera_i_shar). При решении задач школьной программы и экзаменов используются две главные формулы, связывающие **сфера и шар радиус площадь поверхности** и объём: Формула 1 ##### Поверхность шара и сферы Площадь сферы радиуса $R$ равна учетверённой площади её большого круга: $$ S = 4\pi R^2 = \pi D^2 $$ Формула 2 ##### Объём шара Объём шара радиуса $R$ выражается через куб радиуса: $$ V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{1}{6}\pi D^3 $$ ### Теоретический справочник: сечения, касание и координаты Для глубокого понимания геометрии сферы и шара раскройте блоки с ключевыми теоремами стереометрии: **Теорема:** Всякое сечение шара плоскостью есть круг \(а сечение сферы плоскостью — окружность\)\. Центр этого круга является основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость\. Пусть шар имеет радиус $R$, а секущая плоскость удалена от центра шара на расстояние $d$ \($d < R$\)\. Тогда: • **Радиус сечения \(**$r$**\):** находится из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара $R$, расстоянием $d$ и радиусом сечения $r$ по теореме Пифагора: $$ r = \sqrt{R^2 - d^2} $$ • **Большой круг:** если плоскость проходит через центр шара \($d = 0$\), радиус сечения равен радиусу шара \($r = R$\)\. Такое сечение называют *большим кругом* \(а его границу — *большой окружностью*\)\. Площадь большого круга равна $S_{\text{б.к.}} = \pi R^2$\. • **Малый круг:** если плоскость не проходит через центр \($0 < d < R$\), полученное сечение называют малым кругом, и его радиус строго меньше $R$\. Пусть $d$ — расстояние от центра сферы радиуса $R$ до плоскости $\alpha$\. Возможны ровно три геометрических случая: 1\. $d > R$** \(плоскость не пересекает сферу\):** сфера и плоскость не имеют общих точек\. 2\. $d = R$** \(касательная плоскость\):** плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку \(точку касания\)\. Радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости\. 3\. $d < R$** \(секущая плоскость\):** плоскость пересекает сферу по окружности радиуса $r = \sqrt{R^2 - d^2}$\. В пространственной прямоугольной системе координат точка $M(x; y; z)$ принадлежит сфере радиуса $R$ с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ тогда и только тогда, когда расстояние $CM = R$\. • **Каноническое уравнение сферы:** $$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 $$ • **Центр в начале координат \(**$0; 0; 0$**\):** уравнение принимает вид $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$\. • **Неравенство шара:** точки шара удовлетворяют условию $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \le R^2$\. • **Шаровой сегмент:** часть шара, отсекаемая от него секущей плоскостью\. Отрезок высоты сегмента обозначается $h$\. • **Площадь сферического сегмента:** $S_{\text{сегм}} = 2\pi R h$\. • **Объём шарового сегмента:** $V_{\text{сегм}} = \pi h^2 \left(R - \dfrac{h}{3}\right)$\. • **Шаровой сектор:** тело, полученное вращением кругового сектора вокруг оси\. Состоит из шарового сегмента и конуса с общей вершиной в центре шара\. Его объём: $V_{\text{сект}} = \dfrac{2}{3}\pi R^2 h$, где $h$ — высота соответствующего сегмента\. • **Шаровой слой:** часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями\. #### Примеры решения задач для 11 класса на сферу и шар Ниже приведены подробные решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 11 классе: **Условие:** Шар радиуса $25\text{ см}$ пересечён плоскостью на расстоянии $15\text{ см}$ от центра\. Найдите длину окружности полученного сечения и его площадь\. **Пошаговое решение:** 1\) Обозначим параметры шара: радиус $R = 25\text{ см}$, расстояние от центра до секущей плоскости $d = 15\text{ см}$\. 2\) Сечением шара плоскостью является круг\. Найдём его радиус $r$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, соединяющего центр шара, центр сечения и точку на границе сечения: $$ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\text{ см} $$ 3\) Вычислим длину окружности сечения \($C = 2\pi r$\): $$ C = 2\pi \cdot 20 = 40\pi\text{ см} $$ 4\) Вычислим площадь круга сечения \($S = \pi r^2$\): $$ S = \pi \cdot 20^2 = 400\pi\text{ см}^2 $$ **Ответ:** длина окружности $40\pi\text{ см}$, площадь сечения $400\pi\text{ см}^2$\. **Условие:** Во сколько раз увеличится площадь поверхности сферы, если её диаметр увеличить в $3$ раза? **Пошаговое решение:** 1\) Площадь сферы выражается через радиус как $S = 4\pi R^2$, а через диаметр \($D = 2R$\) как $S = \pi D^2$\. 2\) Пусть начальный диаметр равен $D_1$, тогда начальная площадь $S_1 = \pi D_1^2$\. 3\) При увеличении диаметра в $3$ раза новый диаметр равен $D_2 = 3D_1$\. 4\) Найдём новую площадь сферы $S_2$: $$ S_2 = \pi D_2^2 = \pi (3D_1)^2 = \pi \cdot 9D_1^2 = 9 \cdot (\pi D_1^2) = 9S_1 $$ 5\) Найдём отношение площадей: $$ \dfrac{S_2}{S_1} = 9 $$ *\(Общее правило подобия: площадь поверхности геометрического тела масштабируется пропорционально квадрату линейного коэффициента: *$k^2 = 3^2 = 9$*\. При этом объём шара вырос бы в *$k^3 = 3^3 = 27$* раз\)*\. **Ответ:** в 9 раз\. **Условие:** Площадь поверхности сферы равна $100\pi$\. Плоскость пересекает сферу по окружности, площадь круга которой равна $9\pi$\. Найдите расстояние от центра сферы до секущей плоскости\. **Пошаговое решение:** 1\) По формуле площади сферы $S = 4\pi R^2$ найдём радиус сферы $R$: $$ 100\pi = 4\pi R^2 \implies R^2 = \dfrac{100\pi}{4\pi} = 25 \implies R = 5 $$ 2\) Зная площадь сечения $S_{\text{сеч}} = \pi r^2 = 9\pi$, найдём радиус окружности сечения $r$: $$ \pi r^2 = 9\pi \implies r^2 = 9 \implies r = 3 $$ 3\) Найдём расстояние от центра сферы до плоскости $d$ по формуле Пифагора $d = \sqrt{R^2 - r^2}$: $$ d = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $$ **Ответ:** 4\. **Условие:** Сфера задана уравнением $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 49$\. Найдите координаты центра и диаметр сферы\. Лежит ли точка $M(1; 4; 3)$ на этой сфере? **Пошаговое решение:** 1\) Сравним заданное уравнение с каноническим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$: • $x_0 = 1$ • $y_0 = -2$ \(так как $y + 2 = y - (-2)$\) • $z_0 = 3$ • $R^2 = 49 \implies R = 7$ Центр сферы имеет координаты $C(1; -2; 3)$, а диаметр равен $D = 2R = 2 \cdot 7 = 14$\. 2\) Подставим координаты точки $M(1; 4; 3)$ в левую часть уравнения сферы: $$ (1 - 1)^2 + (4 + 2)^2 + (3 - 3)^2 = 0^2 + 6^2 + 0^2 = 36 $$ 3\) Так как $36 \neq 49$ \(а именно $36 < 49$\), точка $M$ не лежит на поверхности сферы, а находится строго внутри соответствующего шара\. **Ответ:** центр $C(1; -2; 3)$, диаметр равен 14; точка $M$ не лежит на сфере\. ### Пошаговый алгоритм решения стереометрических задач > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/sfera_i_shar](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/sfera_i_shar). Чтобы уверенно справляться с контрольными заданиями по стереометрии, действуйте по универсальному алгоритму: **Определите объект задачи:** чётко разграничьте, что рассматривается в условии — сфера \(поверхность, площадь $4\pi R^2$, сечение\-окружность\) или шар \(пространственное тело, объём $\frac{4}{3}\pi R^3$, сечение\-круг\)\. **Постройте осевое сечение:** плоскость, проходящая через центр шара перпендикулярно секущей плоскости, даёт плоский прямоугольный треугольник со сторонами $d$ \(расстояние до плоскости\), $r$ \(радиус сечения\) и $R$ \(радиус шара\)\. **Примените теорему Пифагора:** свяжите величины формулой $R^2 = d^2 + r^2$ и выразите недостающий элемент\. **Контролируйте радиус и диаметр:** при нахождении диаметра не забудьте умножить радиус на 2 \($D = 2R$\), а при подстановке диаметра в формулы делите его пополам\. ### Типичные ошибки в 11 классе При решении стереометрических задач старшеклассники чаще всего допускают три характерные ошибки: ##### Путаница площади сферы и объёма шара Забывают степень радиуса или коэффициент: площадь поверхности сферы всегда квадратична \($S = 4\pi R^2$\), а объём шара всегда кубичен \($V = \frac{4}{3}\pi R^3$\)\. ##### Ошибки с радиусом и диаметром сечения Подставляют в теорему Пифагора диаметр вместо радиуса или путают радиус шара $R$ с радиусом сечения $r$\. Помните, что гипотенузой прямоугольного треугольника всегда является радиус шара $R$\! ##### Ошибки со знаками в координатах центра сферы В каноническом уравнении $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$ знаки координат центра инвертируются\. Например, для скобки $(y + 2)^2$ координата центра равна $y_0 = -2$, а не $+2$\. ## Тренажёр и тесты по теме «Сфера и шар» на Экзамео Чтобы надёжно закрепить теоретический материал и подготовиться к контрольным работам по геометрии в 11 классе, переходите к интерактивным задачам на образовательной платформе Экзамео\. В систему загружены разноуровневые задания на нахождение радиуса и диаметра сферы, расчёт площадей сечений, объёмов частей шара и уравнений сферы в пространстве\. Тренируйтесь регулярно, разбирайте подробные решения и будьте уверены в отличных оценках по стереометрии\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/sfera_i_shar](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/sfera_i_shar).