> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Теорема Менелая \- теория и задачи с решениями На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Теорема Менелая» по геометрии для 11 класса**\. Теория составлена таким образом, что подойдет и для 8 класса и для олимпиадной подготовки по математике\. Теорема Менелая — это один из главных «секретных инструментов» в арсенале старшеклассника\. Хотя в базовой школьной программе её часто проходят обзорно, при сдаче ЕГЭ и олимпиад по математике именно применение теоремы Менелая позволяет сэкономить время и решить сложную задачу на отношение отрезков буквально в одно действие, избегая громоздких дополнительных построений\. ## Теоретический справочник \- всё про теорему Менелая > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya). Ниже подробно разобрана формулировка прямой теоремы Менелая для треугольника с удобной запоминалкой \- порядком обхода\. Так же рассмотрено доказательство, связь с теоремой Чевы и примеры задач\. ### Формулировка теоремы Менелая для треугольника #### Прямая теорема Менелая 🎯 Если прямая \(секущая $KMP$\) пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $P$, а продолжение стороны $AC$ — в точке $K$, то произведение отношений длин соответствующих отрезков равно единице: $$ \dfrac{AM}{MB} \cdot \dfrac{BP}{PC} \cdot \dfrac{CK}{KA} = 1 $$  #### Запоминалка: Правило «Вершина — Точка — Вершина» 💡 Чтобы не запутаться, как правильно составить дробь теоремы Менелая, двигайтесь по периметру треугольника по кругу от вершины к вершине через точки пересечения на прямых: $$ \text{Вершина } A \to \text{Точка } M \to \text{Вершина } B \to \text{Точка } P \to \text{Вершина } C \to \text{Точка } K \to \text{Вершина } A $$ Визуально порядок обхода треугольника для теоремы Менелая выглядит следующим образом:  Записывайте отрезки по очереди: $$ \dfrac{AM}{MB} \cdot \dfrac{BP}{PC} \cdot \dfrac{CK}{KA} = 1 $$ **Доказательство:** 1\) Пусть секущая прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $C_1$ и $A_1$, а продолжение стороны $AC$ — в точке $B_1$\. 2\) Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную секущей $C_1B_1$, и обозначим точку её пересечения со стороной $AC$ как $D$ \($BD \parallel C_1B_1$\)\. 3\) По теореме Фалеса о пропорциональных отрезках для угла $A$ получаем:$\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AB_1}{B_1D}$\. 4\) По теореме Фалеса для угла $C$ получаем:$\dfrac{BA_1}{A_1C} = \dfrac{DB_1}{B_1C}$\. 5\) Перемножим эти две пропорции и отношение $\dfrac{CB_1}{B_1A}$:$\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = \left(\dfrac{AB_1}{B_1D}\right) \cdot \left(\dfrac{DB_1}{B_1C}\right) \cdot \left(\dfrac{CB_1}{B_1A}\right) = 1$\. Теорема полностью доказана\. ### Связка: Теорема Чевы и Менелая > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya). В планиметрии Теорема Чевы** и теорема Менелая** идут парой, потому что их формулировки достаточно близки, но решают противоположные геометрические задачи: ##### Параметр ##### Теорема Менелая ##### Теорема Чевы **Геометрический объект** **Прямая \(секущая\)**, пересекающая 3 стороны/продолжения **Три чевианы \(отрезка\)**, выходящие из вершин к сторонам **Ключевое условие** Три точки пересечения **лежат на одной прямой** Три чевианы **пересекаются в одной точке** **Формула произведения** $\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$ $\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$ #### В каких задачах применяется теорема Менелая? Важно отметить, что в общую школьную программу теорема Менелая не входит и встречается она только при углубленном изучении геометрии в 8 классе, 10 классе и в 11 классе, что конечно делает её использование в геометрических задачах необязательным, но очень эффектным\. Применение теоремы Менелая охватывает три широких класса задач по геометрии, которые могут встречаться во второй части ЕГЭ, как в планиметрии, так и в стереометрических задачах, а так же на дополнительных вступительных испытаниях в вузы и на олимпиадах: #### 1\. **Задачи на отношение отрезков медиан, биссектрис и чевиан: ** Когда две чевианы или медианы пересекаются, мы можем рассмотреть одну из них как секущую для треугольника, образованного другой чевианой, и моментально найти отношение отрезков\. #### 2\. **Задачи на отношение площадей \(Задание второй части ЕГЭ\): ** Площади треугольников с общими высотами относятся как их основания\. Находя через теорему Менелая отношение отрезков оснований, мы легко находим соотношения площадей любых частей фигуры\. #### 3\. **Стереометрические задачи на сечения пирамид и призм:** При построениях сечений секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым линиям\. Применяя теорему Менелая к плоским граням пирамиды или призмы, мы находим точные координаты точек пересечения ребер плоскостью сечения\! ### Пошаговый алгоритм применения теоремы Менелая В задачах на теорему Менелая есть две проблемы: нужно понять, что задача решается именно через неё и правильно записать обход треугольника для составления выражения, именно поэтому, для того, чтобы безошибочно применять теорему Менелая в задачах, используйте алгоритм: ### Порядок действий: **Выберите базовый треугольник:** выделите на чертеже треугольник $ABC$, стороны которого пересекаются прямой\. **Найдите секущую прямую и 3 точки пересечения:** отметьте точки пересечения прямых сторон с секущей линиями\. **Запишите равенство произведений отношений:** пройдите по кругу по правилу «Вершина — Точка — Вершина», подставьте известные значения и выразьте искомый отрезок\. ### Разбор типовых задач профильного ЕГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya). Рассмотрите подробные решения задач, как пример оформления **Задание:** В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK : KB = 1 : 2$\. Медиана $AM$ пересекает отрезок $CK$ в точке $O$\. Найдите отношение $AO : OM$\. **Подробное решение:** 1\) Рассмотрим $\triangle ABM$ и прямую $CK$, которая является секущей для сторон этого треугольника\. 2\) Точки пересечения секущей $CK$ с прямыми сторон $\triangle ABM$: • На стороне $AB$ — точка $K$; • На стороне $AM$ — точка $O$; • На продолжении стороны $BM$ — точка $C$\. 3\) Запишем теорему Менелая для $\triangle ABM$ и секущей $K-O-C$: $$ \dfrac{AK}{KB} \cdot \dfrac{BC}{CM} \cdot \dfrac{MO}{OA} = 1 $$ 4\) Из условия задачи знаем отрезки: • $\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{1}{2}$; • Так как $M$ — середина $BC$, то $BM = MC \implies BC = 2 MC \implies \dfrac{BC}{CM} = \dfrac{2}{1}$\. 5\) Подставим эти значения в равенство Менелая: $$ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{MO}{OA} = 1 \implies 1 \cdot \dfrac{MO}{OA} = 1 \implies MO = OA $$ 6\) Следовательно, точка $O$ делит медиану пополам, а отношение $AO : OM = 1 : 1$\. **Ответ:** $1 : 1$\. **Задание:** На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $N$ такие, что $AM : MB = 3 : 1$ и $BN : NC = 2 : 3$\. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $P$\. Найдите, какую часть площадь треугольника $APC$ составляет от площади треугольника $ABC$\. **Подробное решение:** 1\) Применим теорему Менелая к $\triangle ABN$ и секущей $M-P-C$: $$ \dfrac{AM}{MB} \cdot \dfrac{BC}{CN} \cdot \dfrac{NP}{PA} = 1 $$ 2\) Из условий $AM : MB = 3 : 1$ и $BN : NC = 2 : 3 \implies BC = 5$, $NC = 3 \implies \dfrac{BC}{CN} = \dfrac{5}{3}$\. 3\) Подставим в формулу Менелая: $$ \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{NP}{PA} = 1 \implies 5 \cdot \dfrac{NP}{PA} = 1 \implies \dfrac{NP}{PA} = \dfrac{1}{5} $$ 4\) Значит, отрезок $PA = 5 \cdot NP$, а весь отрезок $AN = 6 \cdot NP \implies \dfrac{AP}{AN} = \dfrac{5}{6}$\. 5\) Площадь $\triangle ANC$ составляет $\dfrac{3}{5}$ от площади $\triangle ABC$ \(так как $NC : BC = 3 : 5$\)\. А площадь $\triangle APC$ составляет $\dfrac{5}{6}$ от площади $\triangle ANC$ \(общая высота из вершины $C$\): $$ S_{\triangle APC} = \dfrac{5}{6} S_{\triangle ANC} = \dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{3}{5} S_{\triangle ABC}\right) = \dfrac{3}{6} S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} S_{\triangle ABC} $$ **Ответ:** $\dfrac{1}{2}$ \(половину площади\)\. ## Тренажёры по теме «Теорема Менелая» на Экзамео Закрепите применение теоремы Менелая для треугольника на практике с помощью онлайн\-тренажёров на образовательной платформе **Экзамео**\. Все геометрические задачи теме **«Теорема Менелая» за 11 класс** составлены строго в соответствии со школьной программой, актуальным банком ФИПИ и спецификациями профильного ЕГЭ по математике\. В базе платформы представлены задачи с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/teorema_menelaya).