> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Уравнение плоскости в пространстве \- понятный разбор На этой странице представлен исчерпывающий теоретический и практический справочник по теме **«Уравнение плоскости в пространстве» для 11 класса**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот учебный материал, чтобы помочь старшеклассникам освоить векторно\-координатный метод стереометрии, научиться составлять общее уравнение плоскости по вектору нормали или трём точкам, вычислять расстояния и углы в пространстве и без ошибок решать Задание 13 профильного ЕГЭ по математике\. Составление уравнения плоскости — ключевой элемент координатного метода в пространстве\. В отличие от планиметрии, где линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую, в пространственной системе координат $Oxyz$ любое линейное уравнение с переменными $x, y, z$ задаёт двумерную плоскость\. ## Теоретический справочник: уравнение плоскости в пространстве $Oxyz$ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti). Рассмотрите общее уравнение плоскости, геометрический смысл коэффициентов, вектор нормали и способы построения плоскости через точки\. ### Общее уравнение плоскости и вектор нормали #### Общее уравнение плоскости В прямоугольной декартовой системе координат $Oxyz$ **общее уравнение плоскости** имеет вид: $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$ где числа $A, B, C$ не равны нулю одновременно \($A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$\)\.  #### Геометрический смысл коэффициентов A, B, C: Коэффициенты $(A; B; C)$ при переменных $x, y, z$ являются координатами **вектора нормали** $\vec{n} = (A; B; C)$ — ненулевого вектора, перпендикулярного данной плоскости\! #### **Частные случаи общего уравнения плоскости:** • Если $D = 0$ \($Ax + By + Cz = 0$\), плоскость проходит через **начало координат** $(0; 0; 0)$\. • Если $A = 0$ \($By + Cz + D = 0$\), плоскость параллельна оси $Ox$\. • Если $B = 0$ \($Ax + Cz + D = 0$\), плоскость параллельна оси $Oy$\. • Если $C = 0$ \($Ax + By + D = 0$\), плоскость параллельна оси $Oz$\. • Уравнения координатных плоскостей: $Oxy \implies z = 0$; $Oxz \implies y = 0$; $Oyz \implies x = 0$\. ### Уравнение плоскости, проходящей через данную точку > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti). Если известна точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$, лежащая на плоскости, и вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, уравнение плоскости записывается в виде: #### Уравнение плоскости через точку и вектор нормали 🎯 $$ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 $$ При раскрытии скобок и обозначении $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$ получаем общее уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$\. ### Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки Через три точки $M_1(x_1; y_1; z_1)$, $M_2(x_2; y_2; z_2)$ и $M_3(x_3; y_3; z_3)$, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость\. Её уравнение задаётся матричным определителем $3 \times 3$: #### Формула через определитель матрицы: $$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $$ Также коэффициенты $A, B, C, D$ можно найти, подставив координаты $3$ точек в систему $3$ уравнений: $$ \begin{cases} Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0, \\ Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0, \\ Ax_3 + By_3 + Cz_3 + D = 0. \end{cases} $$ #### Формула расстояния от точки до плоскости\! 💡 Расстояние $d$ от любой точки $K(x_k; y_k; z_k)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле: $$ d = \dfrac{|Ax_k + By_k + Cz_k + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$ Эта формула спасет вас в Задании 13 профильного ЕГЭ при вычислении расстояний от вершины до секущей плоскости\! ### Пошаговый алгоритм составления уравнения плоскости При решении стереометрических задач координатным методом придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti). **Введение системы координат **$Oxyz$**:** выберите удобное начало координат \(вершину куба, призмы или пирамиды\) и найдите координаты $3$ точек плоскости\. **Составьте систему или определитель:** подставьте координаты $3$ точек в уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$\. **Найдите коэффициенты и вектор нормали:** выразите $A, B, C$ через свободный член $D$, сократите его и запишите общее уравнение плоскости\. ### Разбор типовых задач профильного ЕГЭ по математике Рассмотрите решения задач, характерных для Задания 13 профильного ЕГЭ по математике\. **Задание:** Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через три точки $M_1(1; 0; 2)$, $M_2(2; 1; 0)$ и $M_3(0; 2; 1)$\. **Подробное решение:** 1\) Подставим координаты точек в общее уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$: • $M_1(1; 0; 2) \implies A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot 2 + D = 0 \implies A + 2C + D = 0$; • $M_2(2; 1; 0) \implies 2A + B + D = 0$; • $M_3(0; 2; 1) \implies 2B + C + D = 0$\. 2\) Положим $D = -3$ \(выберем удобную константу\) и решим систему: • Из первого уравнения: $A + 2C = 3 \implies A = 3 - 2C$; • Из второго уравнения: $2A + B = 3 \implies B = 3 - 2A = 3 - 2(3 - 2C) = 4C - 3$; • Из третьего уравнения: $2B + C = 3 \implies 2(4C - 3) + C = 3 \implies 9C - 6 = 3 \implies 9C = 9 \implies C = 1$\. 3\) Найдем оставшиеся коэффициенты: $A = 3 - 2 \cdot 1 = 1$; $B = 4 \cdot 1 - 3 = 1$; $C = 1$, $D = -3$\. 4\) Запишем общее уравнение плоскости: $x + y + z - 3 = 0$\. **Ответ:** $x + y + z - 3 = 0$\. **Задание:** Найдите расстояние от точки $P(2; -1; 4)$ до плоскости, заданной уравнением $2x - 2y + z + 3 = 0$\. **Подробное решение:** 1\) Из уравнения плоскости $2x - 2y + z + 3 = 0$ имеем коэффициенты: $A = 2, B = -2, C = 1, D = 3$\. 2\) Воспользуемся формулой расстояния $d = \dfrac{|Ax_k + By_k + Cz_k + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$: $d = \dfrac{|2 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 4 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$\. 3\) Вычислим значение в числителе и знаменателе: Числитель: $|4 + 2 + 4 + 3| = |13| = 13$; Знаменатель: $\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$\. 4\) Получаем расстояние: $d = \dfrac{13}{3} = 4\dfrac{1}{3}$\. **Ответ:** $4\dfrac{1}{3}$\. ## Тренажёры по теме «Уравнение плоскости» на Экзамео Закрепите векторы и составление уравнений плоскостей на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все стереометрические карточки, тесты и задачи координатного метода по теме **«Уравнение плоскости в пространстве» за 11 класс** составлены строго в соответствии с актуальным банком заданий ФИПИ и КИМ профильного ЕГЭ по математике\. В базе платформы представлены сотни прототипов Задания 13 с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями\. Переходите к тренажёрам по геометрии за 11 класс на **Экзамео**, тренируйтесь в комфортном темпе и гарантированно получайте максимальные баллы на ЕГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/uravnenie_ploskosti).