> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/usechennyy_konus](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/usechennyy_konus). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Усечённый конус \- полный разбор На этой странице представлен разбор темы **«Усечённый конус: формулы объёма, площади поверхности и решение задач» для 11 класса**\. В курсе стереометрии 11 класса и в экзаменационных вариантах ЕГЭ усечённый конус относится к телам вращения с двумя параллельными круговыми основаниями\. Задачи на вычисление объёма усечённого конуса, нахождение площади его боковой и полной поверхности, а также расчёт высоты и образующей регулярно встречаются в стереометрических заданиях первой части и при моделировании составных пространственных тел во второй части\. Здесь подробно разобраны основные элементы фигуры, осевое сечение в виде равнобедренной трапеции, вывод формул без громоздкого заучивания через подобие конусов и типичные ошибки вычислений\. После теории на странице доступны [тренажёры с подробными решениями](#trenazhery-po-usechennomu-konusu-ekzameo) и проверкой ответов, в которых можно отработать вычисления и подготовиться к контрольным работам и экзамену\. ## Что такое усечённый конус? — 11 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/usechennyy_konus](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/usechennyy_konus). **Усечённый конус** — это часть полного прямого кругового конуса, заключённая между его основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию\. Также его можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной основаниям\. • **Основания:** два параллельных круга разного радиуса — нижнее основание радиуса $R_1$ и верхнее основание радиуса $R_2$ \($R_1 > R_2$\)\. • **Высота \(**$h$**\):** расстояние между параллельными плоскостями оснований \(отрезок, соединяющий центры верхнего и нижнего кругов\)\. • **Образующая \(**$l$**\):** отрезок, соединяющий граничные точки окружностей оснований\. Все образующие прямого усечённого конуса равны между собой\. • **Связь элементов через теорему Пифагора:** образующая, высота и разность радиусов образуют прямоугольный треугольник: $l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$\.  ### Осевое сечение и связь элементов Сечение усечённого конуса плоскостью, проходящей через ось симметрии \(центры обоих оснований\), называется **осевым сечением**\. Осевое сечение всегда представляет собой **равнобедренную трапецию** со следующими параметрами: ##### Элементы трапеции сечения 📐 • Нижнее основание трапеции: $2R_{}$ \(диаметр нижнего круга\)\. • Верхнее основание трапеции: $2r_{}$ \(диаметр верхнего круга\)\. • Боковые стороны трапеции: образующие $l$\. • Высота трапеции: высота конуса $h$\. ##### Формулы связи $h$, $l$ и радиусов 🔍 Опустив высоту из вершины верхнего основания на нижнее, получаем катет, равный разности радиусов $(R - r)$: $$ l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} $$ $$ h = \sqrt{l^2 - (R - r)^2} $$  ### Объём усечённого конуса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/usechennyy_konus](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/usechennyy_konus). Объём усечённого конуса зависит от высоты $h$ и площадей обоих оснований\. В зависимости от условия задачи используют следующие формулы: ##### Формула ##### Запись ##### Когда применять **Через радиусы оснований** $V = \dfrac{1}{3}\pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right)$ Основная расчётная формула, когда известны радиусы обоих оснований $R_1$, $R_2$ и высота $h$\. **Через площади оснований** $V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)$ Применяется, если заданы площади кругов оснований $S_1$ и $S_2$ или для усечённых пирамид\. **Метод разности объёмов** $V = V_{\text{полн}} - V_{\text{отсеч}}$ Удобно применять в задачах, где конус достраивается до полного и используется подобие\. Разберём решение задачи на вычисление объёма усечённого конуса: **Задание:** Радиусы оснований усечённого конуса равны $6$ и $3$, а его образующая равна $5$\. Найдите объём усечённого конуса\. В ответе укажите $\dfrac{V}{\pi}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) **Найдём высоту конуса:** Разность радиусов: $R_1 - R_2 = 6 - 3 = 3$\. Из прямоугольного треугольника в осевом сечении: $$ h = \sqrt{l^2 - (R_1 - R_2)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $$ 2\) **Применим формулу объёма усечённого конуса:** $$ V = \dfrac{1}{3}\pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right) $$ 3\) **Вычислим выражение в скобках:** $$ R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 = 6^2 + 6 \cdot 3 + 3^2 = 36 + 18 + 9 = 63 $$ 4\) **Рассчитаем итоговый объём:** $$ V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 63 = 4 \cdot 21 \cdot \pi = 84\pi $$ 5\) По требованию задачи делим на $\pi$: $\dfrac{V}{\pi} = 84$\. **Ответ:** $84$\. ### Площадь поверхности и развёртка Полная поверхность усечённого конуса складывается из двух плоских круговых оснований и криволинейной боковой поверхности\. **Развёртка боковой поверхности** усечённого конуса представляет собой часть кругового кольца \(круговой сектор с вырезанным меньшим концентрическим сектором\)\. #### Формулы площадей поверхностей: • **Площадь боковой поверхности:** $$ S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l $$ где $R_1$ и $R_2$ — радиусы оснований, $l$ — длина образующей\. • **Площади оснований:** $$ S_{\text{осн1}} = \pi R_1^2,\quad S_{\text{осн2}} = \pi R_2^2 $$ • **Площадь полной поверхности:** $$ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн1}} + S_{\text{осн2}} = \pi \left((R_1 + R_2)l + R_1^2 + R_2^2\right) $$ \[ Место для иллюстрации: Развёртка усечённого конуса — сектор кругового кольца \(боковая поверхность\) и два круга оснований разных радиусов \] Посмотрим на примере, как находится площадь боковой поверхности: **Задание:** Диаметры оснований усечённого конуса равны $14$ и $6$, а высота равна $3$\. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса\. В ответе укажите $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) **Найдём радиусы оснований:** $$ R_1 = \dfrac{14}{2} = 7,\quad R_2 = \dfrac{6}{2} = 3 $$ 2\) **Найдём образующую **$l$**:** Разность радиусов: $R_1 - R_2 = 7 - 3 = 4$\. По теореме Пифагора для образующей: $$ l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$ 3\) **Вычислим площадь боковой поверхности:** $$ S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l = \pi (7 + 3) \cdot 5 = \pi \cdot 10 \cdot 5 = 50\pi $$ 4\) Делим на $\pi$: $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi} = 50$\. **Ответ:** $50$\. #### Алгоритм решения задач на усечённый конус При решении стереометрических задач придерживайтесь следующего порядка действий: **Перейдите к осевому сечению:** нарисуйте равнобедренную трапецию с основаниями $2R_1$ и $2R_2$, высотой $h$ и боковыми сторонами $l$\. **Проверьте радиусы:** если в условии даны диаметры, разделите их на 2, чтобы получить чистые радиусы $R_1$ и $R_2$\. **Найдите недостающий линейный размер:** свяжите образующую и высоту через прямоугольный треугольник: $l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$\. **Подставьте величины в нужную формулу:** для объёма используйте неполный квадрат суммы радиусов $(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$, для боковой поверхности — полусумму длин окружностей\. **Проверьте формат записи ответа:** обратите внимание, требуется ли разделить итоговое число на $\pi$\. #### Типичные ошибки при решении задач При решении задач на усечённый конус школьники чаще всего допускают следующие ошибки: ##### Удвоенное произведение в формуле объёма Ошибочная запись полного квадрата $(R_1 + R_2)^2 = R_1^2 + 2R_1 R_2 + R_2^2$\. В правильной формуле объёма коэффициент перед $R_1 R_2$ равен единице: $(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$\. ##### Путаница между диаметрами и радиусами Прямая подстановка диаметров оснований вместо радиусов приводит к завышению вычисленного объёма в 4 раза\. ##### Забытые основания в полной площади Нахождение площади только боковой поверхности вместо полной, либо учёт только одного нижнего основания\. Полная поверхность обязательно включает оба круга: $\pi R_1^2 + \pi R_2^2$\. ## Задания на усечённый конус на платформе Экзамео Ниже собраны тренажёры с практическими заданиями по теме «Усечённый конус: объём и площади поверхностей» для 11 класса\. К каждому заданию предложены пошаговые решения, поясняющие чертежи и автоматическая проверка ответов, что поможет отработать решение задач и подготовиться к экзаменам\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/usechennyy_konus](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/usechennyy_konus).