> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Вычисление углов между прямыми и плоскостями \- разбор темы На этой странице представлен разбор темы **«Вычисление углов между прямыми и плоскостями» по геометрии для 11 класса**, чтобы помочь одиннадцатиклассникам досконально освоить два главных подхода к поиску углов между прямыми и плоскостями: классический геометрический метод с построением проекций и наглядный векторно\-координатный метод, гарантирующий точный результат в стереометрической задаче профильного ЕГЭ по математике\. Нахождение углов в пространстве — центральная задача стереометрии 11 класса\. На ЕГЭ по математике учащимся предоставляется полная свобода выбора: использовать традиционные дополнительные построения и теорему о трёх перпендикулярах или перевести задачу в систему координат $Oxyz$ и применить формулы скалярного произведения векторов\. ## Теоретический справочник: углы между прямыми и плоскостями > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami). Рассмотрим определения, формулы и алгоритмы для вычисления углов между прямыми, между прямой и плоскостью, а также между двумя плоскостями в пространстве\. ### Угол между двумя прямыми в пространстве **Углом между двумя скрещивающимися или пересекающимися прямыми** называется величина наименьшего из смежных углов, образованных при их пересечении \(лежит в пределах $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$\)\. ##### Классический метод • Параллельным переносом совмещают одну из прямых с другой до пересечения в одной точке\. • Находят угол из треугольника по **теореме косинусов или через тригонометрию, если треугольник прямоугольный**: $$ \cos\varphi=\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} $$ ##### Координатный метод Основная проблема найти направляющие векторы прямых, поскольку уравнения прямой в пространстве параметрическое Зная направляющие векторы прямых $\vec{s}_1 = (m_1; n_1; p_1)$ и $\vec{s}_2 = (m_2; n_2; p_2)$: $$ \cos \varphi = \dfrac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1| \cdot |\vec{s}_2|} = \dfrac{|m_1 m_2 + n_1 n_2 + p_1 p_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2 + p_1^2} \cdot \sqrt{m_2^2 + n_2^2 + p_2^2}} $$ **Задание:** В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все рёбра которой равны $1$, найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$\. **Подробное решение:** 1\) Поместим начало координат в середину ребра $AC$ \(точку $O$\), ось $Ox$ направим вдоль $AC$, ось $Oy$ — вдоль высоты основания $OB$, ось $Oz$ — параллельно боковому ребру $AA_1$\. 2\) Найдём координаты точек в $Oxyz$: • $A\left(-\dfrac{1}{2}; 0; 0\right)$, $B\left(0; \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)$, $C\left(\dfrac{1}{2}; 0; 0\right)$; • $B_1\left(0; \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 1\right)$, $C_1\left(\dfrac{1}{2}; 0; 1\right)$\. 3\) Составим направляющие векторы: • $\vec{s}_1 = \overrightarrow{AB_1} = \left(0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right); \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 0; 1 - 0\right) = \left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 1\right)$\. Длина: $|\vec{s}_1| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} + 1} = \sqrt{2}$\. • $\vec{s}_2 = \overrightarrow{BC_1} = \left(\dfrac{1}{2} - 0; 0 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 1 - 0\right) = \left(\dfrac{1}{2}; -\dfrac{\sqrt{3}}{2}; 1\right)$\. Длина: $|\vec{s}_2| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} + 1} = \sqrt{2}$\. 4\) Вычислим скалярное произведение $\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2$: $\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{1}{2}$\. 5\) Найдем косинус угла $\varphi$: $\cos \varphi = \dfrac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1| \cdot |\vec{s}_2|} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\frac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$\. **Ответ:** $\cos \varphi = 0{,}25$\. ### Угол между прямой и плоскостью > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami). #### Определение угла между прямой и плоскостью 🎯 **Углом между наклонной прямой и плоскостью** называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость \($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$\)\.  #### Формула координатного метода: Пусть $\vec{s} = (m; n; p)$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n} = (A; B; C)$ — вектор нормали плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$\. Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: $$ \sin \alpha = \dfrac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|A m + B n + C p|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{m^2 + n^2 + p^2}} $$ Разберем координатный метод нахождения угла между прямой и плоскостью на примере типичной стереометрической задачи в 11 классе **Задание:** В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $1$ найдите угол между диагональю $AB_1$ и плоскостью $ABC_1$\. **Подробное решение:** 1\) **Введём систему координат **$Oxyz$**:** с началом в вершине $A(0; 0; 0)$, осью $Ox$ вдоль $AB$, осью $Oy$ вдоль $AD$ и осью $Oz$ вдоль $AA_1$\. 2\) Координаты нужных точек: $A(0; 0; 0)$, $B_1(1; 0; 1)$, $B(1; 0; 0)$, $C_1(1; 1; 1)$\. 3\) **Направляющий вектор прямой **$AB_1$**:** $\vec{s} = \overrightarrow{AB_1} = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1)$\. Длина вектора: $|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$\. 4\) **Уравнение плоскости **$ABC_1$**:** проходит через точки $A(0; 0; 0)$, $B(1; 0; 0)$, $C_1(1; 1; 1)$\. Так как точка $A$ — начало координат, $D = 0$\. Уравнение: $Ax + By + Cz = 0$\. • Подставим $B(1; 0; 0) \implies A \cdot 1 = 0 \implies A = 0$\. • Подставим $C_1(1; 1; 1) \implies 0 \cdot 1 + B \cdot 1 + C \cdot 1 = 0 \implies B = -C$\. Положим $C = -1$, тогда $B = 1$\. Уравнение плоскости: $y - z = 0$\. Вектор нормали плоскости: $\vec{n} = (0; 1; -1)$\. Длина $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$\. 5\) **Найдем синус угла **$\alpha$** между прямой и плоскостью:** $\sin \alpha = \dfrac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{|-1|}{2} = \dfrac{1}{2}$\. 6\) Так как $\sin \alpha = \dfrac{1}{2}$, то угол $\alpha = 30^\circ$\. **Ответ:** $30^\circ$\. #### Внимание: не перепутайте тригонометрическую функцию\! 💡 • Для угла между **двумя прямыми** или **двумя плоскостями** вычисляется **КОСИНУС** \($\cos \varphi$\)\. • Для угла между **прямой и плоскостью** координатный метод даёт **СИНУС** \($\sin \alpha$\), так как вектор нормали образует с прямой угол $90^\circ - \alpha$\! ### Угол между двумя плоскостями **Угол между двумя пересекающимися плоскостями** равен величине меньшего из образованных ими двугранных углов\. #### Классический метод На линии пересечения плоскостей выбирают точку и проводят к ней два перпендикуляра в каждой из плоскостей, формируя **линейный угол двугранного угла**\. #### Координатный метод Угол равен углу между векторами нормалей $\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)$ и $\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)$ этих плоскостей: $$ \cos \theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \dfrac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} $$ ### Пошаговый алгоритм координатного метода При вычислении углов координатным методом в 11 классе или на ЕГЭ по математике придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami). **Введение системы координат **$Oxyz$**:** выберите удобное начало координат \(вершину многогранника\) и найдите координаты всех необходимых точек\. **Найдите векторы:** \- Для прямой — найдите координаты её направляющего вектора $\vec{s} = \overrightarrow{M_1M_2}$\. \- Для плоскости — составьте её уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ и выпишите вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C)$\. **Вычислите угол по формуле:** подставьте координаты векторов в соответствующую формулу \($\cos \varphi$ или $\sin \alpha$\) и запишите значение угла \(или арксинуса/арккосинуса\)\. ## Тренажёры по теме «Вычисление углов в пространстве» на Экзамео Ниже представлены задания на углы между прямыми, между прямой и плоскостью и между плоскостями составленные по открытому банку ФИПИ и материалам школьной программы\. К каждому заданию вы найдете подробное решение через стандартный метод и через координатный метод\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_11/topics/vychislenie_uglov_mezhdu_pryamymi_i_ploskostyami).