> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_3/topics/formula_deleniya_s_ostatkom](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_3/topics/formula_deleniya_s_ostatkom). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Деление с остатком \- объяснение и тренажеры **Деление с остатком в 3 классе по математике **— один из важнейших разделов начальной школы, связывающий табличное умножение с практическим делением любых чисел\. До изучения этой темы третьеклассники делили числа строго нацело \(например, $12 : 3 = 4$ или $24 : 6 = 4$\)\. Однако в реальной жизни поровну делится далеко не всё: если раздать $14$ конфет троим друзьям, каждый получит по $4$ конфеты, а $2$ конфеты останутся лишними\. Этот неделимый остаток и называют остатком от деления\. Понимание того, **как объяснить деление с остатком в 3 классе**, опирается на наглядную модель: мы выясняем, сколько целых раз меньшее число помещается в большем, и каков размер оставшегося хвостика\. Ниже приведены математическая формула деления с остатком, пошаговый алгоритм вычислений, правила проверки, примеры деления двузначных чисел и деления в столбик, карточки с заданиями и [онлайн\-тренажёры](#trenazher-delenie-s-ostatkom-3-klass-ekzameo) с проверкой ответов и подробными пояснениями\. ## Формула деления с остатком > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_3/topics/formula_deleniya_s_ostatkom](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_3/topics/formula_deleniya_s_ostatkom). **При делении числа a на число b** ищем сколько раз делитель $b$ целиком содержится в делимом $a$, и сколько единиц остаётся: $$ a = b \cdot c + r, \quad \text{где } r < b $$ #### **Компоненты деления с остатком:** — **Делимое \(**$a$**\)** — число, которое делят; — **Делитель \(**$b$**\)** — число, на которое делят; — **Неполное частное \(**$c$**\)** — количество целых раз, сколько делитель уложился в делимом; — **Остаток \(**$r$**\)** — число, оставшееся после деления\. • **Как найти неизвестное делимое:** чтобы найти делимое, нужно **делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток**: $a = b \cdot c + r$\.  **САМОЕ ГЛАВНОЕ ПРАВИЛО:** остаток всегда должен быть строго **меньше делителя \(**$r < b$**\)**\! Если при делении на $5$ получился остаток $5, 6$ или $7$, деление выполнено с ошибкой — делитель может поместиться в делимом ещё хотя бы один раз\. В курсе математики 3 класса \(по учебнику Петерсон\) деление с остатком наглядно объясняется с помощью прыжков по числовому лучу: 1\. Представим, что мы делим число $23$ на $5$ \($23 : 5$\)\. 2\. От точки $0$ мы начинаем шагать вправо шагами длиной по $5$ делений: • первый шаг: $5 \cdot 1 = 5$; • второй шаг: $5 \cdot 2 = 10$; • третий шаг: $5 \cdot 3 = 15$; • четвёртый шаг: $5 \cdot 4 = 20$\. 3\. Если сделать пятый шаг, мы попадём в точку $25$, а это больше нашего делимого $23$\. Значит, мы можем сделать только $4$** полных шага**\. Число $4$ — это *неполное частное*\. 4\. От отметки $20$ до точки $23$ остаётся маленький хвостик: $23 - 20 = 3$\. Это *остаток*\. 5\. Так как оставшийся хвостик \($3$\) короче шага \($5$\), шаг завершить нельзя \($3 < 5$\)\. Запись решения: $23 : 5 = 4\text{ (ост. } 3\text{)}$\.  ### Компоненты деления с остатком и формулы взаимосвязи для 3 класса Для успешного решения карточек с заданиями по математике в 3 классе на остаток от деления используйте таблицу взаимосвязи компонентов как шпаргалку, если вдруг забываете как называются буквы: ##### Компонент ##### Буква ##### Роль в вычислениях ##### Формула нахождения **Делимое** $a$ Общее количество предметов, которое делят на группы\. $a = b \cdot c + r$ \(умножить делитель на частное и прибавить остаток\) **Делитель** $b$ Размер одной равной группы \(или количество групп\)\. $b = (a - r) : c$ \(вычесть остаток и разделить на частное\) **Неполное частное** $c$ Сколько полных групп получилось собрать\. $c = (a - r) : b$ \(наибольшее целое число до делимого\) **Остаток** $r$ Оставшаяся часть, строго меньшая делителя \($0 \le r < b$\)\. $r = a - b \cdot c$ \(из делимого вычесть произведение $b \cdot c$\) #### Алгоритм деления с остатком в 3 классе Чтобы безошибочно решать любые примеры на деление чисел с остатком \(включая деление двузначных чисел\), выполняйте действия по следующему алгоритму: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_3/topics/formula_deleniya_s_ostatkom](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_3/topics/formula_deleniya_s_ostatkom). **Вспомните таблицу умножения для делителя:** Определите, делится ли данное число на делитель нацело\. Если нет — переходите к шагу 2\. **Найдите наибольшее число до делимого:** Подберите самое близкое число, которое *меньше делимого* и делится на делитель без остатка\. **Вычислите неполное частное:** Разделите найденное число на делитель — полученный результат запишите в частное\. **Вычислите остаток вычитанием:** Из исходного делимого вычтите найденное число\. Запишите остаток в скобках\. **Выполните проверку деления:** Обязательно проверьте, что **остаток строго меньше делителя \(**$r < b$**\)**, и сосчитайте равенство $b \cdot c + r = a$\. #### Как правильно выполнять проверку деления с остатком В 3 классе проверка деления с остатком обязательно состоит из **двух последовательных шагов**: **Шаг 1 \(проверка остатка\):** сравните остаток с делителем\. Остаток обязан быть меньше: $r < b$\. Если это условие не выполнено, дальше считать бессмысленно — пример решён неверно\! **Шаг 2 \(проверка вычислением\):** умножьте неполное частное на делитель и прибавьте остаток\. Должно получиться исходное делимое: $$ \text{Делитель} \cdot \text{Частное} + \text{Остаток} = \text{Делимое} $$ *Пример:* Решён пример $38 : 7 = 5\text{ (ост. } 3\text{)}$\. 1\) Проверяем остаток: $3 < 7$ \(верно\)\. 2\) Проверяем делимое: $7 \cdot 5 + 3 = 35 + 3 = 38$ \(верно\)\. Деление выполнено абсолютно правильно\! #### Примеры заданий на деление с остатком с решениями Ниже приведены разбор пяти классических заданий по математике за 3 класс на деление с остатком всех основных видов \(включая нахождение неизвестного делимого, деление двузначных чисел и деление в столбик\)\. **Условие:** Выполните деление с остатком и сделайте проверку: $31 : 4$\. **Пошаговое решение:** 1\) Число $31$ не делится на $4$ без остатка по таблице умножения\. 2\) Найдём наибольшее число до $31$, которое делится на $4$: это число $28$ \($4 \cdot 7 = 28$\)\. 3\) Найдём неполное частное: $28 : 4 = 7$\. 4\) Найдём остаток: $31 - 28 = 3$\. Записываем результат: $$ 31 : 4 = 7\text{ (ост. } 3\text{)} $$ **Проверка:** 1\) Остаток меньше делителя: $3 < 4$ \(верно\)\. 2\) $4 \cdot 7 + 3 = 28 + 3 = 31$ \(делимое сошлось\)\. **Ответ:** $7\text{ (ост. } 3\text{)}$\. **Условие:** Некоторое число разделили на $6$\. В результате получилось неполное частное $9$ и остаток $5$\. Какое число делили? Запишите формулу деления с остатком и найдите делимое $a$\. **Пошаговое решение:** 1\) Выпишем известные данные: • делитель $b = 6$; • неполное частное $c = 9$; • остаток $r = 5$\. Остаток меньше делителя \($5 < 6$\), значит данные верны\. 2\) Запишем формулу деления с остатком: $$ a = b \cdot c + r $$ 3\) Подставим числовые значения в формулу: $$ a = 6 \cdot 9 + 5 $$ 4\) Выполним последовательные вычисления: • $6 \cdot 9 = 54$; • $54 + 5 = 59$\. **Ответ:** делимое $a = 59$\. **Условие:** Найдите значение выражения: $75 : 8$\. **Пошаговое решение:** 1\) Вспомним таблицу умножения на $8$: • $8 \cdot 8 = 64$; • $8 \cdot 9 = 72$; • $8 \cdot 10 = 80$ \($80 > 75$, не подходит\)\. 2\) Наибольшее число до $75$, делящееся на $8$ без остатка — это число $72$\. 3\) Неполное частное равно: $72 : 8 = 9$\. 4\) Найдём остаток: $75 - 72 = 3$\. 5\) Проверим остаток: $3 < 8$ \(остаток меньше делителя\)\. $$ 75 : 8 = 9\text{ (ост. } 3\text{)} $$ **Проверка:** $8 \cdot 9 + 3 = 72 + 3 = 75$\. **Ответ:** $9\text{ (ост. } 3\text{)}$\. **Условие:** В кондитерском цехе испекли $46$ кексов\. Их раскладывают в коробки по $6$ штук в каждую\. Сколько полных коробок получится и сколько кексов останется? **Пошаговое решение:** 1\) Чтобы узнать количество коробок, разделим общее количество кексов \($46$\) на вместимость одной коробки \($6$\): $$ 46 : 6 $$ 2\) Найдём наибольшее число до $46$, которое делится на $6$: это число $42$ \($6 \cdot 7 = 42$\)\. 3\) Неполное частное: $42 : 6 = 7$ \(столько полных коробок удастся наполнить\)\. 4\) Найдём остаток: $46 - 42 = 4$ \(столько кексов останется без коробки\)\. 5\) Проверка: $4 < 6$ \(остаток меньше делителя\); $6 \cdot 7 + 4 = 42 + 4 = 46$\. **Ответ:** получится $7$ полных коробок и останется $4$ кекса\. **Условие:** Выполните деление в столбик \(уголком\) с остатком: $87 : 4$\. **Пошаговое деление уголком:** 1\) **Делим десятки:** Первое неполное делимое — $8$ десятков\. $8 : 4 = 2$\. Записываем $2$ в частное на место десятков\. Проверяем: $2 \cdot 4 = 8$\. Остаток от десятков: $8 - 8 = 0$\. 2\) **Делим единицы:** Сносим цифру $7$\. Второе неполное делимое — $7$ единиц\. $7 : 4$: число $4$ помещается в $7$ ровно $1$ раз\. Записываем $1$ в частное на место единиц\. В частном получилось число $21$\. Проверяем: $1 \cdot 4 = 4$\. Находим итоговый остаток: $7 - 4 = 3$\. 3\) Сносить больше нечего, а остаток $3$ меньше делителя $4$ \($3 < 4$\)\. Деление завершено: $$ 87 : 4 = 21\text{ (ост. } 3\text{)} $$ **Проверка:** 1\) $3 < 4$ \(остаток меньше делителя\)\. 2\) $21 \cdot 4 + 3 = 84 + 3 = 87$ \(делимое сошлось\)\. **Ответ:** $21\text{ (ост. } 3\text{)}$\. ##### Типичные ошибки при делении с остатком в 3 классе При решении проверочных карточек и самостоятельных работ третьеклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Остаток больше или равен делителю При делении $26 : 4$ берут частное $5$ и остаток $6$: $26 : 4 = 5\text{ (ост. } 6\text{)}$\. Остаток $6$ больше делителя $4$ \($6 > 4$\), значит число $4$ помещается ещё один раз\! Правильный ответ: $6\text{ (ост. } 2\text{)}$\. ##### Забытый остаток при проверке Выполняя проверку для $31 : 5 = 6\text{ (ост. } 1\text{)}$, просто умножают $5 \cdot 6 = 30$ и не понимают, почему не получилось $31$\. К произведению делителя и частного **обязательно нужно прибавить остаток**: $30 + 1 = 31$\! ##### Подбор числа больше делимого При делении $43 : 7$ берут число $49$ \($7 \cdot 7 = 49$\), потому что оно ближе, чем $42$\. Так делать нельзя: мы подбираем наибольшее число, которое **строго МЕНЬШЕ делимого** \($42 < 43$\), иначе остаток невозможно будет вычесть\. ##### Случай, когда делимое меньше делителя Встречая пример $3 : 7$, ученики говорят, что его нельзя решить\. Если делимое меньше делителя, неполное частное равно $0$, а всё делимое целиком уходит в остаток: $3 : 7 = 0\text{ (ост. } 3\text{)}$, так как $7 \cdot 0 + 3 = 3$ и $3 < 7$\. ## Тренажёры на деление с остатком для 3 класса Тренажёры на Экзамео содержат карточки с заданиями по теме «Деление с остатком» за 3 класс: табличные примеры, деление двузначных чисел, деление в столбик, нахождение неизвестного делимого и текстовые задачи\. Для каждого задания вы найдете подробные решения и автоматическую проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_3/topics/formula_deleniya_s_ostatkom](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_3/topics/formula_deleniya_s_ostatkom).