> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_5/topics/delenie_s_ostatkom](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_5/topics/delenie_s_ostatkom). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Деление с остатком \- теория и тренажер для 5 класса В этом разделе подробно рассматривается **тема «Деление с остатком» по математике за 5 класс**\. В начальной школе и в повседневной жизни одно натуральное число далеко не всегда делится на другое нацело\. Когда поровну разделить предметы не удаётся, возникает **деление числа с остатком**\. На странице собрана вся необходимая теория по программе 5 класса: названия всех компонентов деления, **главное свойство остатка**, формула восстановления делимого, пошаговое **деление столбиком с остатком**, правила проверки вычислений, а также наглядные **примеры деления с остатком за 5 класс с подробными ответами** и текстовые сюжетные задачи\. Закрепить пройденный материал и потренироваться в счёте поможет интерактивный [тренажёр по теме «Деление с остатком» для 5 класса](#deleniye-s-ostatkom-5-klass-na-platforme-ekzameo) с автоматической проверкой ответов\. ## Деление с остатком \- все, что нужно знать для 5 класса > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_5/topics/delenie_s_ostatkom](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_5/topics/delenie_s_ostatkom). При обычном делении нацело результатом является частное\. При делении с остатком результат состоит из двух чисел — неполного частного и остатка\. #### Компоненты деления с остатком 🎯 Пусть число $a$ разделили на число $b$ с остатком: $$ a : b = q \quad (\text{остаток } r) $$ • **Делимое \(**$a$**\)** — число, которое делят\. • **Делитель \(**$b$**\)** — число, на которое делят \($b \neq 0$\)\. • **Неполное частное \(**$q$**\)** — наибольшее количество раз, которое делитель целиком помещается в делимом\. • **Остаток \(**$r$**\)** — часть делимого, которая осталась неразделённой\. #### ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО: Остаток всегда меньше делителя\! ⚠️ При делении с остатком остаток строго меньше делителя: $$ 0 \le r < b $$ • Если остаток $r = 0$, то число разделилось **нацело**\. • Если в ходе вычислений остаток получился **равным или большим делителя \(**$r \ge b$**\)**, значит, неполное частное $q$ выбрано **неправильно** \(делитель можно было взять ещё хотя бы один раз\)\! Разберем деление с остатком на примере жизненной ситуации\. Представим, что у вас есть 14 яблок и 3 корзины под них, как можно разложить яблоки поровну? $$ 14:3=4\left(ост.2\right) $$  Получается, что в каждой корзинке будет по 4 яблока и 2 яблока останутся вне корзин\. ### Формула деления с остатком и проверка Чтобы проверить правильность выполнения действия или найти неизвестное делимое, используют базовую математическую формулу: #### Формула деления с остатком 📐 Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток: $$ a = b \cdot q + r $$ где $0 \le r < b$\. **Алгоритм проверки правильности деления:** ** ** Сравнить остаток с делителем\. Должно строго выполняться: $r < b$ Умножить делитель на неполное частное \($b \cdot q$\)\. Прибавить остаток: $b \cdot q + r$\. Если результат равен делимому $a$, деление выполнено абсолютно верно\! #### Как выполнять деление столбиком с остатком При делении больших многозначных чисел используют запись столбиком \(уголком\)\. Порядок действий точно такой же, как при делении нацело, но последняя разность становится остатком: ### Пошаговый алгоритм деления столбиком: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_5/topics/delenie_s_ostatkom](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_5/topics/delenie_s_ostatkom). **Выделите первое неполное делимое:** отделите слева в делимом минимальное количество цифр, которые образуют число, большее или равное делителю\. **Подберите цифру частного и найдите остаток разряда:** определите, сколько раз делитель помещается в неполном делимом, умножьте и вычтите\. Убедитесь, что промежуточный остаток меньше делителя\. **Снесите следующую цифру:** повторяйте шаги до тех пор, пока не закончатся цифры делимого\. **Зафиксируйте итоговый остаток:** число, оставшееся после сноса последней цифры, и есть остаток $r$\. Если снесённое число меньше делителя, не забудьте записать $0$ в частное\! Давайте попробуем разделить 594 на 7 в качестве примера и попробуем найти остаток  В данном примере число 6 будет являться остатком от деления, потому что дальше его разделить на 7 нельзя #### Частая ошибка пятиклассников: ноль в частном\! 💡 Если вы снесли следующую цифру делимого, но полученное число всё равно **меньше делителя**, обязательно **запишите цифру **$0$** в частное**, и только после этого сносите следующую цифру\! Например: $815 : 4$\. Сносим $1$ — на $4$ не делится $\implies$ пишем $0$ в частное $\implies$ сносим $5$: $15 : 4 = 3$ \(ост\. $3$\)\. Частное: $203$, а не $23$\! ##### Примеры деления с остатком за 5 класс с ответами Ниже приведены решения типовых заданий школьной программы 5 класса по учебникам и с самостоятельных и контрольных работ\. **Задание:** Выполните деление с остатком и сделайте проверку: $79 : 6$\. **Подробное решение:** 1\) Найдём наибольшее число до $79$, которое делится на $6$ нацело\. Это число $78$ \($6 \cdot 13 = 78$\)\. 2\) Вычислим неполное частное и остаток: $79 : 6 = 13$ \(неполное частное\) Остаток: $79 - 78 = 1$ 3\) **Проверка:** • Сравниваем остаток с делителем: $1 < 6$ \(верно\)\. • Применяем формулу $a = b \cdot q + r$: $$ 6 \cdot 13 + 1 = 78 + 1 = 79 $$ Получили исходное делимое $79$\. **Ответ:** $13$ \(остаток $1$\)\. **Задание:** Выполните деление столбиком с остатком: $1627 : 8$\. **Подробное решение:** 1\) Первое неполное делимое — $16$\. $16 : 8 = 2$\. Пишем $2$ в частное\. Остаток $0$\. 2\) Сносим цифру $2$\. Число $2$ меньше делителя $8$, поэтому делить нельзя\. Записываем в частное цифру $0$\. 3\) Сносим следующую цифру $7$\. Получаем число $27$\. $27 : 8 = 3$ \(так как $8 \cdot 3 = 24$\)\. Пишем $3$ в частное\. 4\) Находим остаток: $27 - 24 = 3$\. Все цифры делимого снесены\. Остаток $3 < 8$\. 5\) **Проверка:** $$ 8 \cdot 203 + 3 = 1624 + 3 = 1627 $$ **Ответ:** $203$ \(остаток $3$\)\. **Задание:** Найдите делимое, если делитель равен $14$, неполное частное равно $9$, а остаток равен $5$\. **Подробное решение:** 1\) Выпишем известные величины: $b = 14$, $q = 9$, $r = 5$\. 2\) Проверим корректность остатка: $5 < 14$ \(условие выполнено\)\. 3\) Применим формулу деления с остатком: $$ a = b \cdot q + r = 14 \cdot 9 + 5 $$ 4\) Выполним действия: $14 \cdot 9 = 126$ $126 + 5 = 131$ **Ответ:** $131$\. #### Задачи на деление с остатком для 5 класса В курсе математики в 5 классе так же проходятся сюжетные задачи на деление с остатком, всего они могут быть двух видов \- с недостатком и избытком\. В первом случае в ответ нужно будет писать частное, а во втором случае частное плюс 1\. Задачи на недостаток и избыток очень легко отличаются друг от друга, если вас спрашивают "какое наименьшее количество" и вы получили остаток, значит в ответе нужно увеличить частное на 1, а если наибольшее, то использовать полученное частное\.  ##### Тип задачи ##### Условие задачи ##### Решение и ответ **Задача 1** \(с недостатком\) У Миши есть $250$ рублей\. Одна тетрадь стоит $40$ рублей\. Какое наибольшее количество таких тетрадей сможет купить Миша? $250 : 40 = 6$ \(ост\. $10$\)\. На оставшиеся $10$ руб\. тетрадь не купить\. **Ответ:** $6$ тетрадей \(и останется $10$ руб\. сдачи\)\. **Задача 2** \(с избытком\) В туристический поход идут $34$ школьника\. В одну палатку помещается не более $4$ человек\. Какое наименьшее количество палаток нужно взять с собой? $34 : 4 = 8$ \(ост\. $2$\)\. В $8$ палатках разместятся $32$ человека, а $2$ останутся без ночлега\. Нужна ещё одна палатка: $8 + 1 = 9$\. **Ответ:** $9$ палаток\. ## Задания на деление с остатком для 5 класса Ниже собраны тренажеры с заданиями по делению с остатком \- задачи на остатки всех видов, с избытком и недостатком, а также простые тренажеры на отработку деления\. Для каждого задания вы найдете подробные решения и автоматическую проверку ответов с подсказками\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_5/topics/delenie_s_ostatkom](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_5/topics/delenie_s_ostatkom).