<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# Модуль числа

**Модуль числа** \- это одно из самых важных и часто используемых понятий в математике\. Без понимания модуля невозможно решать уравнения и неравенства с модулем, работать с координатной прямой, сравнивать числа и выполнять многие другие операции\. На этой странице вы узнаете всё о модуле числа: что это такое, как его находить, какими свойствами он обладает и как применяется в математике\.

Вы уже знаете, что числа бывают положительными, отрицательными и нулём\. Но есть одна важная характеристика числа, которая не зависит от его знака, это **расстояние от нуля**\. Именно это расстояние и называется модулем числа\.

### Что такое модуль числа

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla).


Разберёмся с основным определением на простых примерах\. Модуль числа показывает, **на каком расстоянии** от нуля находится данное число на координатной прямой\. При этом направление \(вправо или влево\) не имеет значения — важно только расстояние\.

### **Определение модуля**

**Определение\.** **Модулем** числа $a$ называется **расстояние** от точки $a$ на координатной прямой до точки $0$ \(начала отсчёта\)\.

**Краткая запись:**

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

**Примеры:**

$|5| = 5$ \(расстояние от 5 до 0 равно 5\)

$|-3| = 3$ \(расстояние от −3 до 0 равно 3\)

$|0| = 0$ \(расстояние от 0 до 0 равно 0\)

**📌 Важно запомнить:** Модуль числа **всегда неотрицателен**\. Он показывает расстояние, а расстояние не может быть отрицательным\. Поэтому $|a| \ge 0$ для любого числа $a$\.

### Модуль на координатной прямой

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla).


На координатной прямой модуль числа \- это длина отрезка от нуля до точки, изображающей это число\.

### **Геометрическая интерпретация**

⟵ −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 ⟶

Расстояние от −3 до 0 равно 3 → $|-3| = 3$\.

Расстояние от 4 до 0 равно 4 → $|4| = 4$\.

Расстояние от 0 до 0 равно 0 → $|0| = 0$\.

**Важно:** Противоположные числа имеют **одинаковые модули**, так как находятся на одинаковом расстоянии от нуля\.

### Свойства модуля числа

У модуля числа есть несколько важных свойств, которые часто используются при решении задач\.

### **Основные свойства**

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla).


**Свойство 1\.** $|a| \ge 0$ — модуль всегда неотрицателен\.

**Свойство 2\.** $|a| = |-a|$ — модули противоположных чисел равны\.

**Свойство 3\.** $|a| = 0$ тогда и только тогда, когда $a = 0$\.

**Свойство 4\.** $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ — модуль произведения равен произведению модулей\.

**Свойство 5\.** $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$ при $b \neq 0$ — модуль частного равен частному модулей\.

**Свойство 6\.** $|a + b| \le |a| + |b|$ — неравенство треугольника \(модуль суммы не превосходит суммы модулей\)\.

#### Примеры применения свойств

**Пример 1:** $|-8| = 8$, $|8| = 8$ \(свойство 2\)\.

**Пример 2:** $|5 \cdot (-3)| = |-15| = 15$, $|5| \cdot |-3| = 5 \cdot 3 = 15$ \(свойство 4\)\.

**Пример 3:** $\left|\dfrac{-6}{3}\right| = |-2| = 2$, $\dfrac{|-6|}{|3|} = \dfrac{6}{3} = 2$ \(свойство 5\)\.

**Пример 4:** $|3 + (-5)| = |-2| = 2$, $|3| + |-5| = 3 + 5 = 8$, $2 \le 8$ \(свойство 6\)\.

### Как найти модуль числа

Чтобы найти модуль числа, нужно определить его расстояние от нуля на координатной прямой\.

### **Простое правило**

Если число **положительное** или равно нулю, модуль равен **самому числу**\.
Если число **отрицательное**, модуль равен **числу без знака «минус»** \(противоположному числу\)\.

**Примеры:**

$|12| = 12$

$|-7| = 7$

$|0| = 0$

$|-3,5| = 3,5$

$\left|-\dfrac{2}{3}\right| = \dfrac{2}{3}$

### Модуль в уравнениях

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla).


Понимание модуля необходимо для решения уравнений, содержащих знак модуля\.

### **Уравнение вида \|x\| = a**

Уравнение $|x| = a$, где $a > 0$, имеет **два корня**: $x = a$ и $x = -a$\.

**Пример:** $|x| = 5 \Rightarrow x = 5$ или $x = -5$

Если $a = 0$, то $|x| = 0 \Rightarrow x = 0$ \(один корень\)\.

Если $a < 0$, то уравнение $|x| = a$ **не имеет корней**, так как модуль не может быть отрицательным\.

#### Примеры уравнений с модулем

**Пример 1:** $|x| = 7$

**Решение:** $x = 7$ или $x = -7$

**Пример 2:** $|x| = -4$

**Решение:** корней нет \(модуль не может быть отрицательным\)

**Пример 3:** $|x| = 0$

**Решение:** $x = 0$

**Пример 4:** $|x - 3| = 2$

**Решение:** $x - 3 = 2$ или $x - 3 = -2 \Rightarrow x = 5$ или $x = 1$

### Модуль в неравенствах

Модуль также используется при решении неравенств\.

### **Неравенства с модулем**

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla).


$|x| < a$ при $a > 0$ равносильно **двойному неравенству**: $-a < x < a$\.

**Пример:** $|x| < 5 \Rightarrow -5 < x < 5$

$|x| > a$ при $a > 0$ равносильно **совокупности**: $x < -a$ или $x > a$\.

**Пример:** $|x| > 5 \Rightarrow x < -5$ или $x > 5$

### Модуль в жизни

Модуль числа помогает описывать реальные ситуации, где важно расстояние или абсолютное значение, а не направление\.

**Температура:** «Модуль температуры» \- это просто значение температуры без учёта знака\. Например, мороз −10°C имеет модуль 10\.
**Долги и доходы:** сумма долга \- это модуль отрицательного числа\.
**Расстояние:** расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат\.
**Отклонение:** в статистике и физике модуль используется для измерения отклонения величины от среднего значения\.

**💡 Совет:** Чтобы найти модуль числа, **отбросьте знак «минус»**, если он есть\. Модуль всегда равен расстоянию от нуля, поэтому он всегда неотрицателен\.

## Тренажёры по модулю числа

Тренажёры разработаны в соответствии с требованиями ФГОС и охватывают все ключевые аспекты темы «Модуль числа» школьной программы\. Задания последовательно выстроены от простых к более сложным, что позволяет ученику постепенно закрепить понимание понятия модуля и научиться уверенно применять его на практике\.

Регулярные занятия по тренажёрам помогают отработать навык быстрого и безошибочного вычисления модуля числа, а также решения уравнений и неравенств, содержащих модуль\. Такая практика формирует прочную базу, необходимую для успешного изучения последующих тем курса математики\.

Тренажёры особенно полезны при подготовке к контрольным и самостоятельным работам: они позволяют заранее проверить уровень усвоения материала, выявить пробелы в знаниях и своевременно их устранить\. Благодаря этому ученик подходит к проверочной работе уверенно и без лишнего стресса\.

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/modul_chisla).