> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Наименьшее общее кратное \- разбор темы и тренажёры **Наименьшее общее кратное \(НОК\) натуральных чисел** \- это важнейшее понятие в математике 6 класса, которое широко применяется при решении задач на дроби, нахождение общего знаменателя, а также в задачах на движение, работу и многие другие\. Понимание НОК необходимо для успешного изучения алгебры в старших классах и для сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике\. В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с задачами, где нужно найти общее время, общий объём или общее количество\. Например, если два события происходят с разной периодичностью, нам нужно найти момент, когда они совпадут\. Именно для этого и используется наименьшее общее кратное\. На этой странице вы узнаете, что такое НОК, как его находить разными способами, и научитесь применять эти знания на практике\. Наименьшее общее кратное тесно связано с **наибольшим общим делителем \(НОД\)** и **разложением чисел на простые множители** \- навыками, которые вы уже освоили\. Умение находить НОК пригодится вам на протяжении всего школьного курса математики, особенно при работе с дробями, решении уравнений и выполнении практических задач\. **Наименьшее общее кратное \(НОК\)** \- это наименьшее натуральное число, которое **делится без остатка** на каждое из данных чисел \. ### Что такое наименьшее общее кратное > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel). Прежде чем перейти к формальному определению, разберём идею на простом примере\. Представьте, что вам нужно найти число, в которое одинаково укладываются сразу несколько других чисел \- без остатка\. Именно это число и называют наименьшим общим кратным\. Такое свойство делает НОК незаменимым при работе с дробями и с любыми повторяющимися и периодическими процессами\. ### **Определение** **Наименьшим общим кратным \(НОК\)** нескольких натуральных чисел называется **наименьшее** натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел \. **Пример:** Найдём НОК чисел 4 и 6\. Кратные числа 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, \.\.\. Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, \.\.\. Общие кратные: 12, 24, 36, \.\.\. Наименьшее общее кратное: **12**\. Запись: НОК\(4, 6\) = 12\. **📌 Важно запомнить:** НОК всегда **больше или равен** каждому из чисел, для которых он находится\. НОК двух чисел не может быть меньше большего из них\. НОК используется в самых разных ситуациях\. Например, если один автобус приезжает на остановку каждые 12 минут, а другой \- каждые 18 минут, то через сколько минут они встретятся на остановке одновременно? Для ответа на этот вопрос нужно найти НОК чисел 12 и 18\. Это число покажет, через сколько минут оба автобуса окажутся на остановке в одно и то же время\. ### Способы нахождения НОК > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel). Существует два основных способа нахождения НОК: перебором кратных и с помощью разложения на простые множители\. Перебор кратных \- самый интуитивно понятный способ: вы просто выписываете кратные каждого числа, пока не найдёте первое совпадение\. Такой метод отлично подходит для небольших чисел и часто используется в начале изучения темы, а также в устном счёте и на первых по сложности заданиях ОГЭ\. Разложение на простые множители работает надёжно с любыми числами и особенно выручает, когда числа большие или их несколько\. Этот способ чаще встречается в более сложных задачах, при работе с дробями, а также в заданиях, где перебор занял бы слишком много времени\. Разберем подробно каждый из способов нахождения НОК #### Способ 1: Перебор кратных Этот способ основан на выписывании кратных чисел до тех пор, пока не будет найдено общее кратное\. Он хорошо работает для небольших чисел и помогает понять суть понятия НОК\. В силу его простоты, им удобно пользоваться при решении небольших задач и для быстрого поиска ответа, что очень полезно в условиях ограниченного времени, например при решении самостоятельных работ на НОК в 6 классе\. ### **Алгоритм перебора** Выписать несколько первых кратных каждого числа\. Найти общие кратные\. Выбрать наименьшее из общих кратных\. **Пример:** Найдём НОК\(8, 12\)\. Кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, \.\.\. Кратные 12: 12, 24, 36, 48, \.\.\. Общие кратные: 24, 48, \.\.\. НОК\(8, 12\) = **24**\. #### Способ 2: Разложение на простые множители Этот способ является более универсальным и эффективным для любых чисел\. Он основан на разложении чисел на простые множители и позволяет находить НОК быстро и без ошибок\. Именно этот способ чаще всего используется в старших классах и на экзаменах\. ### **Алгоритм разложения** **Разложить** каждое число на простые множители \. **Выписать** все простые множители, которые встречаются в разложениях\. Каждый множитель взять с **наибольшим** показателем степени, встречающимся в разложениях \. **Перемножить** выбранные множители\. #### Примеры нахождения НОК через разложение **Решение:** Разложим числа на простые множители: 12 = 2² $\cdot$ 3 18 = 2 $\cdot$ 3² Выписываем все множители: 2 и 3\. Берём каждый с **наибольшим** показателем: 2² и 3²\. НОК\(12, 18\) = 2² $\cdot$ 3² = 4 $\cdot$ 9 = **36** **Решение:** Разложим числа на простые множители: 72 = 2³ $\cdot$ 3² 96 = 2⁵ $\cdot$ 3 Выписываем все множители: 2 и 3\. Берём каждый с наибольшим показателем: 2⁵ и 3²\. НОК\(72, 96\) = 2⁵ $\cdot$ 3² = 32 $\cdot$ 9 = **288** #### НОК трёх и более чисел **Решение:** Разложим числа на простые множители: 48 = 2⁴ $\cdot$ 3 72 = 2³ $\cdot$ 3² 120 = 2³ $\cdot$ 3 $\cdot$ 5 Выписываем все множители: 2, 3, 5\. Берём каждый с наибольшим показателем: 2⁴, 3², 5\. НОК\(48, 72, 120\) = 2⁴ $\cdot$ 3² $\cdot$ 5 = 16 $\cdot$ 9 $\cdot$ 5 = **720** ### Связь между НОД и НОК > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel). Между наибольшим общим делителем \(НОД\) и наименьшим общим кратным \(НОК\) существует важная связь, которая позволяет находить одно через другое\. Это соотношение часто используется при решении задач, так как позволяет сэкономить время и избежать лишних вычислений\. ### **Формула связи НОД и НОК** Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство: $НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = a \cdot b$ **Пример:** Для чисел 12 и 18: НОД\(12, 18\) = 6, НОК\(12, 18\) = 36\. НОД $\cdot$ НОК = 6 $\cdot$ 36 = 216\. 12 $\cdot$ 18 = 216\. Равенство верно\. ### Применение НОК Наименьшее общее кратное широко используется в математике и повседневной жизни\. Особенно часто оно применяется при работе с дробями, решении задач на периодические процессы и в задачах на движение\. ### **Где применяется НОК** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel). **Приведение дробей к общему знаменателю** \- общий знаменатель двух или нескольких дробей \- это их НОК \. **Решение задач на движение** \- определение момента встречи движущихся объектов \. **Решение задач на периодические процессы** \- определение момента совпадения событий с разной периодичностью\. **Нахождение общей продолжительности** \- вычисление времени, когда несколько процессов совпадают\. #### Пример задачи на НОК Один светофор загорается зелёным каждые 15 секунд, а другой \- каждые 25 секунд\. Они загорелись одновременно в некоторый момент\. Через сколько секунд они снова загорятся одновременно? **Решение:** Нужно найти наименьшее общее кратное чисел 15 и 25\. 15 = 3 $\cdot$ 5 25 = 5² НОК\(15, 25\) = 3 $\cdot$ 5² = 3 $\cdot$ 25 = **75** **Ответ:** через 75 секунд\. #### Пример применения в дробях Приведите дроби $\dfrac{5}{12}$ и $\dfrac{7}{18}$ к общему знаменателю\. **Решение:** Общий знаменатель \- это НОК\(12, 18\)\. 12 = 2² $\cdot$ 3 18 = 2 $\cdot$ 3² НОК\(12, 18\) = 2² $\cdot$ 3² = 4 $\cdot$ 9 = **36** $\dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \dfrac{15}{36}$ $\dfrac{7}{18} = \dfrac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \dfrac{14}{36}$ **Ответ:** $\dfrac{15}{36}$ и $\dfrac{14}{36}$\. ### Типичные ошибки при нахождении НОК #### Ошибка 1: Путают НОД и НОК **Неправильно** НОК\(12, 18\) = 6 \(это НОД, а не НОК\) **Правильно** НОК\(12, 18\) = 36 #### Ошибка 2: Берут наименьшие показатели вместо наибольших **Неправильно** 24 = 2³ $\cdot$ 3, 36 = 2² $\cdot$ 3² НОК = 2² $\cdot$ 3 = 12 \(взяли наименьшие показатели\) **Правильно** НОК = 2³ $\cdot$ 3² = 72 #### Ошибка 3: Забывают про множитель, встречающийся только в одном числе **💡 Совет:** При нахождении НОК через разложение **всегда** берите все множители, встречающиеся в разложениях, каждый с **наибольшим** показателем степени\. И не путайте НОК \(наименьшее общее кратное\) с НОД \(наибольшим общим делителем\)\! ## Тренажёры по наименьшему общему кратному На платформе **Экзамео** вы найдёте множество **интерактивных тренажёров** по теме «Наименьшее общее кратное натуральных чисел»\. Мы подготовили задания разного уровня сложности \- от нахождения НОК двух чисел до решения сложных задач на применение НОК\. Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным **решением и объяснением**, что позволяет не просто получить ответ, но и **понять алгоритм выполнения**\. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку\. Начните тренироваться прямо сейчас, чтобы уверенно решать задачи на НОК в школе и на экзаменах\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel](https://exameo.ru/subjects/math/courses/math_grade_6/topics/naimenshee_obschee_kratnoe_naturalnyh_chisel).